1、数列一、分组法求数列的前项和【宁夏银川一中2019届高三第二次模拟】已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.在已知条件下求出数列的通项公式；在“肢解1”的基础上，数列满足，求数列的前项和.试题解析在已知条件下求出数列的通项公式；【解析】设数列的公差为，由已知得，即，解得或.又，所以，可得.在以上基础上，数列满足，求数列的前项和.【解析】由以上得， 所以.应对策略1.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减2.分组转化法求和的常见类型(1)若anb
2、ncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和拓展延伸【拓展1】已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且，成等比数列（1）求；（2）设数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公差为，由已知得，即，解得或.又，所以，可得.所以.（2）由（1）得， 所以.【拓展2】已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，首项，且，成等比数列（1）求；（2）若是与的等差中项，求的值.【解析】（1）设数列的公差为，由已知得，即，解得或.又，所以，可得.所以.（2）由（1）得，所以， ，因为是与的
3、等差中项，所以，解得.变式训练一1.（2019年山东高考模拟）已知是递增的等比数列，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，即，所以，解得或（舍去），又，所以.所以.（2）由条件及（1）可得因为，所以，所以，所以又满足上式，所以所以2.（2019年湖北宜昌高考模拟）已知数列是以3为首项，为公差的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为，成等比数列，所以，即.因为，所以，即，所以或（舍去），所以.（2）由（1）知，所以.二、裂项法求数列的前项和（2019年
4、广东省东莞市末调研）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.试题解析（1）求数列的通项公式；设等差数列的首项为，公差为，由已知条件可知，解得.所以.（2）求的值.【解析】因为，所以，所以.应对策略1.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和2.利用裂项相消法求和应注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.拓
5、展延伸【拓展1】已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知条件可知，解得.所以，所以.（2）因为，所以，所以.【拓展1】已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知条件可知，解得.所以.所以.（2）因为，所以，所以，所以.变式训练二 1.（2019年重庆西南大学附中月考）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为若，（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】（1）由，则，设等差数列的公差为，则，所以.所以.设等比数列的公比为，由题，即，所以.
6、所以；（2），所以的前项和为.2.（2019年广东高考模拟）等差数列前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和【解析】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，可得，解得，可得；（2）由，可得，所以，则前项和 模拟训练1.（2019年湖南高考模拟）已知数列是以3为首项，为公差的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为，成等比数列，所以，即.因为，所以，即，所以或（舍去），所以.（2）由（1）知，所以.2.（2019年重庆一中5月月考）已知数列满足：，数列中，且，成等比数列.（1）求证：数列是等差数列；（2）若是数列的前项和
7、，求数列的前项和.【解析】（1）由已知得所以数列是公差为1的等差数列；（2）由题意可得，即，所以，所以，所以，所以，所以.3.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，且数列的前项和为，证明：【解析】（1）依题意，得，即，得因为，所以，所以，所以数列的通项公式（2）因为，所以，所以，因为，所以，故，又为单调递增，所以当时，取最小值，故.4.（2019山东高考模拟）已知是递增的等比数列，成等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，
8、即，所以，解得或（舍去），又，所以.所以.（2）由条件及（1）可得因为，所以，所以，所以又满足上式，所以所以5.（2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考）已知数列的前项和为，满足：，数列为等比数列，满足， （1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小【解析】（1），可得，即数列为首项和公差均为1的等差数列，所以；数列为等比数列，满足，设公比为，可得，可得，即有时，可得；不成立，舍去，所以；（2）， ；，则，即有6.（201湖南高考模拟）已知数列是以3为首项，为公差的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】
9、（1）因为，成等比数列，所以，即.因为，所以，即，所以或（舍去），所以.（2）由（1）知，所以.7.（2020河北省邢台市高三上学期第二次月考）设等比数列的前n项和为，且（1）求的通项公式；（2）若，求的前n项和【解析】（1）等比数列的前n项和为，且当时，解得当时得，所以常数，故（2）由于，所以，所以8.（2020甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试）已知等差数列中，公差，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围【解析】（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以 .因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.