1、大题专项训练卷（2）1.（本小题满分12分）（2020四川省资阳市高三第一诊）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 （1）求角B的大小； （2）若，求的最大值【解析】（1）由，根据正弦定理，有，即有，则有，又，所以，（2）由（1），根据余弦定理，得，即，所以， 所以，当且仅当时，取故的最大值为82.（本小题满分12分）（2020吉林省榆树市第一高级中学期末）我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植
2、发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；种植地编号种植地编号（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列与期望
3、.【解析】（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有, 空气湿度指标为1的有, 空气湿度指标为2的有，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数, 这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数,所以这两地的空气温度的指标z相同的概率.（2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:编号综合指标1446245353其中长势等级是一级有,共6个, 长势等级不是一级的有,共4个, 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5, , , , , （注：每一个
4、正确得1分）所以的分布列为所以.3.（本小题满分12分）（2019广东郴州市模拟）如图，菱形中，与相交于点，平面，.（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.【解析】（1）证明：四边形是菱形，.平面，平面，又平面，平面，平面.（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则.设，则，设平面的法向量为，则即令，得，直线与平面所成角的大小为，解得或（舍），.4.（本小题满分12分）（2020甘肃省白银市会宁县第一中学高三上学期12月月考）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.（1）求的标准方程；（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不
5、同的两点，求面积的最大值.【解析】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，故设的方程为，联立方程得消去，整理得， ，当且仅当时等号成立，此时：，所以面积的最大值为5.（本小题满分12分）（2020四川省三台县芦溪中学高三上学期“二诊”）设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在零点，证明：【解析】函数的定义域为，因为，所以所以当时， 在上是增函数；当时，在上是减函数所以在上是增函数，在上是减函数（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解令，则设函数，所以在上单调递增又，所以在上存在唯一的零点故在上存在唯一的零点设此零点为，则当时，；当时，所以在
6、上的最小值为又由，可得，所以，因为在上有解，所以，即解法2：（2）证明：由题意可得，当时，有解，由（1）可知在上是增函数，在上是减函数，且当，即时，在上单调递增，所以当时，不符合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，由题意可知，设，则，所以函数在上单调递减，又，而，所以6.（本小题满分10分）（2020河北省保定七校高三上学期第三次联考）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围【解析】（1），平方后得，又，的普通方程为，即，将代入即可得到（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），则，其中，所以7.（本小题满分10分）（2020重庆市西南大学附属中学校高三第四次月考）【选修45：不等式选讲】（10分）已知函数（1）解不等式；（2）设函数的最小值为t，实数满足，且求证：【解析】（1），即.则不等式等价于或或可解得或或无解.所以原不等式的解集为.（2）因为，当且仅当取等号，所以函数的最小值为即.由柯西不等式：，所以，即，当且仅当即时取等号.又，所以当且仅当时等号成立.