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2020年高考数学(理)大题专题解析与训练《解析几何》

1、解析几何一、直线与抛物线(2019年全国卷I)已知抛物线:的焦点为F,斜率为的直线与的交点为,与轴的交点为(1)若,求的方程;(2)若,求【肢解1】若,求的方程;【肢解2】若,求试题解析【肢解1】若,求的方程;【解析】设直线方程为,由抛物线焦半径公式可知,所以,联立得,由得,所以,解得,所以直线的方程为,即.【肢解2】若,求【解析】设直线方程为,联立得,由得,由韦达定理知,因为,所以,所以,所以,.则.应对策略设抛物线的焦点为,过点的而直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p.弦长的计算方法:求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二

2、次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后进行整体代入弦长公式求解温馨提示:注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;(2)直线过圆锥曲线的焦点拓展延伸【拓展1】已知抛物线:的焦点为F,斜率为的直线与的交点为,与轴的交点为若,求在轴上的截距.【解析】设直线方程为,由抛物线焦半径公式可知,所以,联立得,由得,所以,解得,所以直线的方程为,令得,所以直线在轴上的截距为.【拓展2】已知抛物线:的焦点为F,斜率为的直线与的交点为,与轴的交点为若,求的面积【解析】设直线方程为,联立得,由得,由韦达定理知,因为,所以,所以,所以.,所以,直线方程为,即,所以点到的距离,

3、所以的面积为变式训练一1.(2019年山西太原一模)已知抛物线的焦点为,过焦点的直线交抛物线于,两点,为坐标原点,若的面积为,求.【解析】由题意知抛物线的焦点的坐标为,易知当直线垂直于轴时,的面积为2,不满足题意,所以可设直线的方程为,与联立,消去得,设,由韦达定理知,所以,所以的面积为,解得,所以.2.(2019年湖北荆州模拟)已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点.(1)若,求直线的斜率;(2)设点在线段上运动,原点关于点的对称点为,求四边形面积的最小值.【解析】(1)依题意可设直线,将直线与抛物线联立,设,由韦达定理得,因为,所以,即,所以直线的斜率为或(2),当时,四边形的面积最

4、小,最小值为4(2020届广东省珠海市高三上学期期末)中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆过、两点,(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于,两点,求当所取何值时,的面积最大.【肢解1】求椭圆的方程;【肢解2】设直线与椭圆交于,两点,求当所取何值时,的面积最大.试题解析【肢解1】求椭圆的方程;【解析】(1)由题意可设椭圆的方程为,代入、两点得  解得,所以椭圆.【肢解2】设直线与椭圆交于,两点,求当所取何值时,的面积最大.【解析】将直线代入得:.整理得.得.由韦达定理得,.由二次函数可知当即时,的面积的最大应对策略直线与圆锥曲线的相交弦长问题:设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C

5、相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2|y1y2|.变式训练二【变式1】中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆过、两点,(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于,两点,若的面积为,求的值.【解析】(1)由题意可设椭圆的方程为,代入、两点得  解得,.所以椭圆.(2)将直线代入得.整理得.得.设,韦达定理得,.所以,由点到直线的距离公式得点到直线的距离.所以的面积为,因为的面积为,所以,解得或(舍去).所以【变式2】已知椭圆的离心率为,其中左焦点为(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于不同的两点,的面积为,求直线的方程【解析】(1)由题意,得解得,

6、所以椭圆的方程为.(2)设点,由消去得,由得,由韦达定理知,所以,由点到直线的距离公式得到直线的距离,所以的面积为,解得,满足,所以所求直线方程为或.模拟训练1.(2019年山东高考模拟)已知圆,抛物线(1)若抛物线的焦点在圆上,且为抛物线和圆的一个交点,求;(2)若直线与抛物线和圆分别相切于两点,设,当时,求的最大值【解析】(1)由题意知,所以.所以抛物线的方程为.将与联立得点的纵坐标为,结合抛物线定义得.(2)由得,所以直线的斜率为,故直线的方程为.即.又由得且,所以.令,则,令,则;当时,单调递减,当时,单调递增,又,所以,即的最大值为.2.(2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期

7、末)已知椭圆:过点与点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线过定点,且斜率为,若椭圆上存在,两点关于直线对称,为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值.【解析】(1)由题意,可得,解得,所以椭圆的方程为.(2)由题意,设直线的方程为,由,整理得,所以,即,.且,所以线段的中点横坐标,纵坐标为,将代入直线方程,可得 ,由可得,又,所以,又,且原点到直线AB的距离,所以,所以时,最大值,此时,所以时,最大值.3.(2020福建省宁德市高三第一次质量检查)已知抛物线的焦点为,在抛物线上,且.(1)求抛物线的方程及的值;(2)若过点的直线与相交于两点,为的中点,是坐标原点,且,求直线的方程.【解析】(1)因

8、为,所以,所以,抛物线的方程为:,将代入得,(2)设, 显然直线的斜率存在,设直线:,联立,消去得,因为,得且,所以,因为,所以,所以 ,即, 因为是的中点,所以,所以,整理得所以,解得,所以直线的方程为:或.4.(2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考)已知点A(0,2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,为坐标原点. (1)求E的方程;(2)设过点A的动直线与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求的方程.【解析】(1)设,因为直线的斜率为,所以,. 又,解得,所以椭圆的方程为.(2)设由题意可设直线的方程为:,联立消去得,当,所以,

9、所以或,由韦达定理知.所以,点到直线的距离,所以,设,则,所以,当且仅当,即,解得时取等号,满足,所以的面积最大时直线的方程为:或.5.(2020广东省佛山市高三教学质量检测)已知椭圆:的离心率为,点在椭圆上,直线过椭圆的右焦点与上顶点,动直线:与椭圆交于,两点,交于点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为坐标原点,若点满足,求此时的长度.【解析】(1)由题意得,结合,解得,故所求椭圆的方程为.(2)易知定直线的方程为.联立,整理得,解得,令点的坐标为.因为,由对称性可知,点为的中点,故,又在直线:上,故,解得,所以点的坐标为或,所以或,所以的长度为4或.6.(2020广西名校高三上学期12月高考

10、模拟)如图,中心为坐标原点O的两圆半径分别为,射线OT与两圆分别交于A、B两点,分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、,交于点P(1)当射线绕点旋转时,求P点的轨迹E的方程;(2)直线l:与曲线E交于M、N两点,两圆上共有6个点到直线的距离为时,求的取值范围【解析】(1)设,OT与x轴正方向夹角为,则,即,化简得,即P点的轨迹E的方程为.(2)当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点至直线的距离,即,解得,联立方程得,设,则,,所以,则.7.(2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟)已知为椭圆的右顶点,点在椭圆的长轴上,过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点,当点与坐标原点重合时,直线的斜率之积为(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求面积的最大值【解析】(1)设,则又,代入上式可得,又,解得所以椭圆的标准方程为:(2)设直线的方程为:,联立,化为,由韦达定理知,因为,所以,所以,代入可得:所以的面积,所以,当且仅当时取等号所以面积的最大值为