1、解析几何一、直线与抛物线（2019年全国卷I）已知抛物线：的焦点为F，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（1）若，求的方程；（2）若，求【肢解1】若，求的方程；【肢解2】若，求试题解析【肢解1】若，求的方程；【解析】设直线方程为，由抛物线焦半径公式可知，所以，联立得，由得，所以，解得，所以直线的方程为，即.【肢解2】若，求【解析】设直线方程为，联立得，由得，由韦达定理知，因为，所以，所以，所以，.则.应对策略设抛物线的焦点为，过点的而直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二
2、次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点拓展延伸【拓展1】已知抛物线：的焦点为F，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为若，求在轴上的截距.【解析】设直线方程为，由抛物线焦半径公式可知，所以，联立得，由得，所以，解得，所以直线的方程为，令得，所以直线在轴上的截距为.【拓展2】已知抛物线：的焦点为F，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为若，求的面积【解析】设直线方程为，联立得，由得，由韦达定理知，因为，所以，所以，所以.，所以，直线方程为，即，所以点到的距离，
3、所以的面积为变式训练一1.（2019年山西太原一模)已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，求.【解析】由题意知抛物线的焦点的坐标为，易知当直线垂直于轴时，的面积为2，不满足题意，所以可设直线的方程为，与联立，消去得，设，由韦达定理知，所以，所以的面积为，解得，所以.2.（2019年湖北荆州模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.【解析】（1）依题意可设直线，将直线与抛物线联立，设，由韦达定理得，因为，所以，即，所以直线的斜率为或（2），当时，四边形的面积最
4、小，最小值为4（2020届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，求当所取何值时，的面积最大.【肢解1】求椭圆的方程；【肢解2】设直线与椭圆交于，两点，求当所取何值时，的面积最大.试题解析【肢解1】求椭圆的方程；【解析】（1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得 解得，所以椭圆.【肢解2】设直线与椭圆交于，两点，求当所取何值时，的面积最大.【解析】将直线代入得：.整理得.得.由韦达定理得，.由二次函数可知当即时，的面积的最大应对策略直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C
5、相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.变式训练二【变式1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求的值.【解析】（1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得 解得，.所以椭圆.（2）将直线代入得.整理得.得.设，韦达定理得，.所以，由点到直线的距离公式得点到直线的距离.所以的面积为，因为的面积为，所以，解得或（舍去）.所以【变式2】已知椭圆的离心率为，其中左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，的面积为，求直线的方程【解析】(1)由题意，得解得，
6、所以椭圆的方程为.（2）设点，由消去得，由得，由韦达定理知，所以，由点到直线的距离公式得到直线的距离，所以的面积为，解得，满足，所以所求直线方程为或.模拟训练1.（2019年山东高考模拟）已知圆，抛物线（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值【解析】（1）由题意知，所以.所以抛物线的方程为.将与联立得点的纵坐标为，结合抛物线定义得.（2）由得，所以直线的斜率为，故直线的方程为.即.又由得且，所以.令，则，令，则；当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以，即的最大值为.2.（2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期
7、末）已知椭圆：过点与点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，由，整理得，所以，即，.且，所以线段的中点横坐标，纵坐标为，将代入直线方程，可得 ，由可得，又，所以，又，且原点到直线AB的距离，所以，所以时，最大值，此时，所以时，最大值.3.（2020福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线的焦点为，在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程及的值；（2）若过点的直线与相交于两点，为的中点，是坐标原点，且，求直线的方程.【解析】（1）因
8、为，所以，所以，抛物线的方程为：，将代入得，（2）设， 显然直线的斜率存在，设直线：，联立，消去得，因为，得且，所以，因为，所以，所以 ，即， 因为是的中点，所以，所以，整理得所以，解得，所以直线的方程为：或.4.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点A(0，2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，为坐标原点. （1）求E的方程；（2）设过点A的动直线与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求的方程.【解析】（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，
9、所以或，由韦达定理知.所以，点到直线的距离，所以，设，则，所以，当且仅当，即，解得时取等号，满足，所以的面积最大时直线的方程为：或.5.（2020广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.【解析】（1）由题意得，结合，解得，故所求椭圆的方程为.（2）易知定直线的方程为.联立，整理得，解得，令点的坐标为.因为，由对称性可知，点为的中点，故，又在直线：上，故，解得，所以点的坐标为或，所以或，所以的长度为4或.6.（2020广西名校高三上学期12月高考
10、模拟）如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P（1）当射线绕点旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线的距离为时，求的取值范围【解析】（1）设,OT与x轴正方向夹角为,则，即，化简得,即P点的轨迹E的方程为.（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点至直线的距离,即,解得，联立方程得，设,则,，所以，则.7.（2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟）已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求面积的最大值【解析】（1）设，则又，代入上式可得，又，解得所以椭圆的标准方程为：（2）设直线的方程为：，联立，化为，由韦达定理知，因为，所以，所以，代入可得：所以的面积，所以，当且仅当时取等号所以面积的最大值为