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初一数学寒假班讲义第01讲-有理数及其运算(提高)-教案

1、 学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题第01讲-有理数及其运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握有理数的乘方; 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念1、有理数的定义及分类(1)有理数:整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数;按照定义分类可以分为整数、分数。2、数轴、相反数和绝对值(1)数轴的概念:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为

2、正方向,这样的直线叫做数轴,如下图所示:数轴三要素:原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。(2)相反数的概念:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。特别地,0的相反数为0。两个数互为相反数,那么这两个数之和为0。(3)绝对值的概念:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数的绝对值可以表示为下式,可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数a,有 |a|0 3、倒数倒数的概念:乘积为1的两个有理数,那么就称其中的一个数是另一个数的倒数,也称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。4

3、、有理数的运算法则 (1)加、减法运算 加法运算:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加,仍得这个数。 减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数。 (2)乘、除法运算 乘法运算:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数与0相乘,积仍为0 除法运算:除以一个等于乘这个数的倒数. (3)乘方及混合运算 一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作:读作:a的n次方(或a的n 次幂)其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数,即: 有理数的混合运算: 混合运算

4、法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的。 注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算最重要的原则。5、科学计数法 (1)一般地,一个大于10的数可以表示成的形式,其中,是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点: 科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a(),另一个因数为,n的值等于整数部分的位数减1; 用科学记数法表示数时,不改变数的符号,只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如:;典例分析 考点一:有理数、数轴、绝对值例1、下列说法正确的是()A非负数包括零和整数 B正整数包括自然数和零C零是最小的整数 D整数和分数

5、统称为有理数【解析】根据有理数的分类,利用排除法求解。非负数包括零和正数,A错误;正整数指大于0的整数,B错误;没有最小的整数,C错误;整数和分数统称为有理数,这是概念,D正确。故选D例2、在实数,0,1.414,有理数有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案,0,1.414,是有理数,故选:C例3、有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是() Aa+b0 Bab0 Cab0 D0【解析】根据a,b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可1a0,b1,A、a+b0,故错误,不符合题意;B、ab0,正确,符合题意;C、ab0,错

6、误,不符合题意;D、0,错误不符合题意;故选B例4、的相反数是()A2 B2 C D【解析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答。的相反数是。故选C例5、若|m2|+|n+3|=0,求m+n的值【解析】根据非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零。可求出m、n的值,再将它们代入代数式中求解即可。由题意得,m2=0,n+3=0,解得,m=2,n=3,则m+n=1。例6、已知+=0,则的值为【解析】先判断出a、b异号,再根据绝对值的性质解答即可+=0,a、b异号,ab0,=1故答案为:1考点二:有理数的加减运算例1、比3大2的数是()A5 B1 C1 D5【解析】有理数运算

7、中加法法则:异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并把绝对值相减。 3+2=(32)=1故选B例2、计算:(1) 8+(26)+13+(8)+0 (2) (-14)+(+19)+(-6)+(+31)+(-19) (3)(-1.5)+2.5+(-7.5)+4.5+(-1) (4)【解析】(1)-13 (2)11 (3)-3 (4)5例3、计算的值为_【解析】根据原式=,然后计算同分母的分数的加减,最后进行加减运算即可原式=12=3故答案是:3例4、计算(1)3+8715 (2)(1)(+6)2.25+(3)+() (4)(1)|(4)(2)|【解析】(1)3+8715=3715+8=25+8=17

8、;(2)(1)(+6)2.25+=162.25+=12.256+=43=7;(3)+()=+=+=;(4)(1)|(4)(2)|=1 - = 考点三:有理数的乘除运算例1、(1)3(-4) (2)(-6)(-2) (3) (4)(-0.5)(-8) 【解析】(1)异号得负,原式= -12 (2)同号得正,原式= 12 (3)异号得负,原式= - (4)同号得正,原式= 4 例2、简便计算: 【解析】分析:根据乘法分配律展开,然后根据有理数乘法的运算法则进行计算解:(1) (2)提取,逆运用乘法分配律进行计算即可得解解:= 例3、的倒数为()A B C2013 D2013【解析】分析:根据乘积是

9、1的两个数叫做互为倒数解答解:()(2013)=1,的倒数为2013故选D例4、若a与b互为倒数,则35ab= 【解析】分析:根据互为倒数的两个数的积为1,直接求出ab的值,从而得到35ab的值解:ab=1,35ab=351=2故答案为2例5、计算: (16.8)(3) 18(+3.25) 【解析】分析:根据有理数的除法运算法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;几个数相除,先把除法化为乘法,再按乘法法则进行计算解答:原式=16.83=16.8 =5.6; 原式=;原式= ; 原式=1.250.5 = =4;原式=183.25 = = 原式=(-)(-)= -= -例6、已知|x|

10、=3,|y|=7,且xy0,则x+y的值等于()A 10 B 4 C4 D 4或4【解析】分析:首先根据绝对值的性质可得x=3,y=7,再根据条件xy0可得此题有两种情况x=3,y=7,x=3,y=7,再分别计算出x+y即可解:|x|=3,|y|=7,x=3,y=7, xy0,x=3,y=7,x+y=4;x=3,y=7,x+y=4,故选D考点四:有理数的乘方及其混合运算例1、计算(1) (2)(3) (4)【解析】(1) (2)2 (3)59 (4)1例2、关于(a)2的相反数,有下列说法:等于a2;等于(a)2;值可能为0;值一定是正数其中正确的有() A1个 B2个 C3个 D4个菁优网版

11、权所有【解析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断。(a)2=a2,它的相反数是a2显然是正确的 (a)2=a2,也是正确的当a=0时,a2=0,原式的值可能为0,也是正确的 是错误的,没有考虑0故有3个是正确的故选C例3、现规定一种新的运算“”:,如32=8,则3等于()A B 8C D 【解析】A例4、若,则的值是()A1B 1C 0D 2012【解析】B例5、已知,求值【解析】平方和绝对值都有非负性,几个非负数之和为0,那么这几个非负数都为0。a=2,b=-3,c=5,原式=2-2(-3)+55=33例6、如图是某种细胞分裂示意图,这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个根据此规律可得:(

12、1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成个细胞;(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成个细胞;(3)这样的一个细胞经过n(n为正整数)小时后可分裂成个细胞【解析】(1)16;(2)64;(3)考点五:科学计数法 例1、在“十二五”期间,达州市经济保持稳步增长,地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元,年均增长约10%,将1351亿元用科学记数法表示应为()A、1.3511011 B、13.511012 C、1.3511013 D、0.13511012【解析】A例2、在日本核电站事故期间,我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘131,其浓度为0.000 0963贝克/立方米数据“

13、0.000 0963”用科学记数法可表示为()A、9.63105 B、96.3106 C、0.963105 D、963104【解析】A例3、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1105km/h,把它写成原数是()A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h【解析】BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列说法中,正确的是()A正整数、负整数统称为整数 B正分数和负分数统称为分数C0既是正整数又是负整数 D正数和负数统称为有理数【解析】按照有理数的分类做出判断。A整数包括正整数、负整数和

14、零,故此选项错误;B分数包括正分数和负分数,故此选项正确;C.0是整数,但既不是正的,也不是负的,故此选项错误;D有理数包括正有理数、负有理数和零,故此选项错误;故选B2、若|y+3|的相反数是|2x4|,则xy=【解析】根据绝对值的相反数是绝对值,可得两个绝对值都等于0,再根据绝对值可得x,y,可得答案,|y+3|的相反数是|2x4|,y+3=0,2x4=0,y=3,x=2,xy=2(3)=5,故答案为:53、若有理数x,y满足|x|=7,|y|=4,且|x+y|=x+y,则xy=【解析】|x|=7,|y|=4,x=7,y=4,而|x+y|=x+y,x=7,y=4或x=7,y=4,xy=74

15、=3或xy=7(4)=11 故答案为3或114、的相反数是() AB C D【解析】C5、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|ba|b的结果为() Aa2b Ba C2ba D2ba【解析】先根据数轴确定出a、b的正负情况,然后求出ba0,根据绝对值的性质去掉绝对值号,再合并同类项即可得解由数a、b在数轴上的位置可以得到a0,b0,ab,ba0,所以b-ab=bab=a,故选择B6、已知a、b互为相反数,m、n互为倒数,x绝对值为2,求2mn+x的值【解析】解:a、b互为相反数,a+b=0;m、n互为倒数,mn=1;x的绝对值为2,x=2 当x=2时,原式=2+02=4; 当x=2时,

16、原式=2+0+2=07、计算:(1) (2) (3) (4)【解析】(1)-20;(2)23 (3)0 (4)-548、下列式子中正确的是( ) A. B. C. D.【解析】C9、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量把130 000 000kg用科学记数法可表示为()A、13107kg B、0.13108kg C、1.3107kg D、1.3108kg【解析】D10、王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,请你根据数形结合的思想,依

17、据图形的变化,推断当n为整数时,_【解析】11、若与互为相反数,求的值【解析】3 课后反击1、已知,如图,则下列式子正确的是()A ab0B |a|b|C a+b0 D ab0【解析】解:根据数轴可知b10a1ab0,|a|b|,a+b0,ab0故正确的只有C2、如果a+b0,a0,ab0那么()A a,b异号且ab B a,b同号,且abC a,b异号,且|a|b|Da,b异号,且|a|b|【解析】解:ab0,a,b为异号,a0,b0,a+b0,|b|a|故选:D3、已知|a|=3,|b|=4,ab0,则ab=1或1【解析】若a,b都大于0则:a=3,b=4,ab=1;若a,b都小于0,则a

18、=3,b=4,ab=14、的倒数是()A B C D 【解析】解:1=,()()=1,1的倒数是故选C5、计算:(1) (2)32 (3)()()0 (4)()(24) (5) (6)【解析】(1)原式=(5)()6 =(4)6=16=6 (2)(321121)=0 (3)原式=0 (4)原式=(24)(24)(24)=20+18+8= (5)1.530.75+1.531.53=1.53(0.75+0.5+0.8),=1.53(1.30.75)=1.530.55=0.8415; (6) = = =2+3 =3 =6、已知a、b互为相反数,m、n互为倒数,x绝对值为2,求2mn+x的值【解析】解

19、:a、b互为相反数,a+b=0;m、n互为倒数,mn=1;x的绝对值为2,x=2 当x=2时,原式=2+02=4; 当x=2时,原式=2+0+2=0 7、若,则的值为()A4B1C0D4【解析】B8、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m,则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为()(保留两位有效数字)。A、0.10106m B、1107m C、1.0107m D、0.1106m【解析】C9、下面一组按规律排列的数:1,2,4,8,16,第2002个数应是()AB.CD以上答案不对【解析】C10、小刚学习了有理数运算法则后,编写了一个计算程序,当他输

20、入任意一个有理数时,显示屏上出现的结果总等于所输入有理数的平方与1的和,当他第一次输入2,然后又将所得结果再次输入后,显示屏上出现的结果应是_。【解析】2611、图中是一幅“苹果图”,第一行有1个苹果,第二行有2个,第三行有4个,第四行有8个,你是否发现苹果的排列规律?猜猜看,第六行有个苹果、第十行有个(可用乘方形式表示)【解析】直击中考 1、如果实数a,b满足,那么等于()A 1B1C3D 3【解析】B2、计算7的正整数次幂:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801归纳各计算结果中的个位数字规律,可得的

21、个位数字为【解析】73、观察下列等式:311=2,321=8,331=26,341=80,351=242,通过观察,用你所发现的规律确定320081的个位数字是【解析】04、定义一种新的运算ab=ab,如23=23=8,那么请试求(32)2=【解析】8。S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、有理数的定义及分类2、数轴、相反数和绝对值3、有理数的运算法则及混合运算名师点拨 1、有理数的分类。:整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数;按照定义分类可以分为整数、分数。2、数轴、相反数和绝对值及倒数的定义,一定要清楚明白,不能混淆。3、有理数的运算法则及混合运算学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 15