1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-有理数及其运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握有理数的乘方； 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念1、有理数的定义及分类（1）有理数：整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按照定义分类可以分为整数、分数。2、数轴、相反数和绝对值（1）数轴的概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为
2、正方向，这样的直线叫做数轴，如下图所示：数轴三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（2）相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。两个数互为相反数，那么这两个数之和为0。（3）绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数的绝对值可以表示为下式，可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数a，有 |a|0 3、倒数倒数的概念：乘积为1的两个有理数，那么就称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。4
3、、有理数的运算法则 （1）加、减法运算 加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。 减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）乘、除法运算 乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0 除法运算：除以一个等于乘这个数的倒数. （3）乘方及混合运算 一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a的n次方（或a的n 次幂）其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即： 有理数的混合运算： 混合运算
4、法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。5、科学计数法 （1）一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点: 科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a（），另一个因数为，n的值等于整数部分的位数减1； 用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如：；典例分析 考点一：有理数、数轴、绝对值例1、下列说法正确的是（）A非负数包括零和整数 B正整数包括自然数和零C零是最小的整数 D整数和分数
5、统称为有理数【解析】根据有理数的分类，利用排除法求解。非负数包括零和正数，A错误；正整数指大于0的整数，B错误；没有最小的整数，C错误；整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确。故选D例2、在实数，0，1.414，有理数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案，0，1.414，是有理数，故选：C例3、有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（） Aa+b0 Bab0 Cab0 D0【解析】根据a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可1a0，b1，A、a+b0，故错误，不符合题意；B、ab0，正确，符合题意；C、ab0，错
6、误，不符合题意；D、0，错误不符合题意；故选B例4、的相反数是（）A2 B2 C D【解析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答。的相反数是。故选C例5、若|m2|+|n+3|=0，求m+n的值【解析】根据非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零。可求出m、n的值，再将它们代入代数式中求解即可。由题意得，m2=0，n+3=0，解得，m=2，n=3，则m+n=1。例6、已知+=0，则的值为【解析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可+=0，a、b异号，ab0，=1故答案为：1考点二：有理数的加减运算例1、比3大2的数是（）A5 B1 C1 D5【解析】有理数运算
7、中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减。 3+2=（32）=1故选B例2、计算：（1） 8+（26）+13+（8）+0 （2） （-14）+（+19）+（-6）+（+31）+（-19） （3）（-1.5）+2.5+（-7.5）+4.5+（-1） （4）【解析】(1)-13 (2)11 （3）-3 （4）5例3、计算的值为_【解析】根据原式=，然后计算同分母的分数的加减，最后进行加减运算即可原式=12=3故答案是：3例4、计算（1）3+8715 （2）（1）（+6）2.25+（3）+（） （4）（1）|（4）（2）|【解析】（1）3+8715=3715+8=25+8=17
8、；（2）（1）（+6）2.25+=162.25+=12.256+=43=7；（3）+（）=+=+=；（4）（1）|（4）（2）|=1 - = 考点三：有理数的乘除运算例1、（1）3（-4） （2）（-6）（-2） （3） （4）（-0.5）（-8） 【解析】（1）异号得负，原式= -12 （2）同号得正，原式= 12 （3）异号得负，原式= - （4）同号得正，原式= 4 例2、简便计算： 【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算解：（1） （2）提取，逆运用乘法分配律进行计算即可得解解：= 例3、的倒数为（）A B C2013 D2013【解析】分析：根据乘积是
9、1的两个数叫做互为倒数解答解：（）（2013）=1，的倒数为2013故选D例4、若a与b互为倒数，则35ab= 【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到35ab的值解：ab=1，35ab=351=2故答案为2例5、计算： （16.8）（3） 18（+3.25） 【解析】分析：根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算解答：原式=16.83=16.8 =5.6； 原式=；原式= ； 原式=1.250.5 = =4；原式=183.25 = = 原式=（-）（-)= -= -例6、已知|x|
10、=3，|y|=7，且xy0，则x+y的值等于（）A 10 B 4 C4 D 4或4【解析】分析：首先根据绝对值的性质可得x=3，y=7，再根据条件xy0可得此题有两种情况x=3，y=7，x=3，y=7，再分别计算出x+y即可解：|x|=3，|y|=7，x=3，y=7， xy0，x=3，y=7，x+y=4；x=3，y=7，x+y=4，故选D考点四：有理数的乘方及其混合运算例1、计算（1） （2）（3） （4）【解析】（1） （2）2 （3）59 （4）1例2、关于（a）2的相反数，有下列说法：等于a2；等于（a）2；值可能为0；值一定是正数其中正确的有（） A1个 B2个 C3个 D4个菁优网版
11、权所有【解析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断。（a）2=a2，它的相反数是a2显然是正确的 （a）2=a2，也是正确的当a=0时，a2=0，原式的值可能为0，也是正确的 是错误的，没有考虑0故有3个是正确的故选C例3、现规定一种新的运算“”：，如32=8，则3等于（）A B 8C D 【解析】A例4、若，则的值是（）A1B 1C 0D 2012【解析】B例5、已知，求值【解析】平方和绝对值都有非负性，几个非负数之和为0，那么这几个非负数都为0。a=2，b=-3，c=5，原式=2-2（-3）+55=33例6、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个根据此规律可得：（
12、1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成个细胞；（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成个细胞；（3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成个细胞【解析】（1）16；（2）64；（3）考点五：科学计数法 例1、在“十二五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（）A、1.3511011 B、13.511012 C、1.3511013 D、0.13511012【解析】A例2、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米数据“
13、0.000 0963”用科学记数法可表示为（）A、9.63105 B、96.3106 C、0.963105 D、963104【解析】A例3、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1105km/h，把它写成原数是（）A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h【解析】BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列说法中，正确的是（）A正整数、负整数统称为整数 B正分数和负分数统称为分数C0既是正整数又是负整数 D正数和负数统称为有理数【解析】按照有理数的分类做出判断。A整数包括正整数、负整数和
14、零，故此选项错误；B分数包括正分数和负分数，故此选项正确；C.0是整数，但既不是正的，也不是负的，故此选项错误；D有理数包括正有理数、负有理数和零，故此选项错误；故选B2、若|y+3|的相反数是|2x4|，则xy=【解析】根据绝对值的相反数是绝对值，可得两个绝对值都等于0，再根据绝对值可得x，y，可得答案，|y+3|的相反数是|2x4|，y+3=0，2x4=0，y=3，x=2，xy=2（3）=5，故答案为：53、若有理数x，y满足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，则xy=【解析】|x|=7，|y|=4，x=7，y=4，而|x+y|=x+y，x=7，y=4或x=7，y=4，xy=74
15、=3或xy=7（4）=11 故答案为3或114、的相反数是（） AB C D【解析】C5、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|ba|b的结果为（） Aa2b Ba C2ba D2ba【解析】先根据数轴确定出a、b的正负情况，然后求出ba0，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合并同类项即可得解由数a、b在数轴上的位置可以得到a0，b0，ab，ba0，所以b-ab=bab=a，故选择B6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求2mn+x的值【解析】解：a、b互为相反数，a+b=0；m、n互为倒数，mn=1；x的绝对值为2，x=2 当x=2时，原式=2+02=4； 当x=2时，
16、原式=2+0+2=07、计算：（1） （2） （3） （4）【解析】（1）-20；（2）23 （3）0 （4）-548、下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D.【解析】C9、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量把130 000 000kg用科学记数法可表示为（）A、13107kg B、0.13108kg C、1.3107kg D、1.3108kg【解析】D10、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，请你根据数形结合的思想，依
17、据图形的变化，推断当n为整数时，_【解析】11、若与互为相反数，求的值【解析】3 课后反击1、已知，如图，则下列式子正确的是（）A ab0B |a|b|C a+b0 D ab0【解析】解：根据数轴可知b10a1ab0，|a|b|，a+b0，ab0故正确的只有C2、如果a+b0，a0，ab0那么（）A a，b异号且ab B a，b同号，且abC a，b异号，且|a|b|Da，b异号，且|a|b|【解析】解：ab0，a，b为异号，a0，b0，a+b0，|b|a|故选：D3、已知|a|=3，|b|=4，ab0，则ab=1或1【解析】若a，b都大于0则：a=3，b=4，ab=1；若a，b都小于0，则a
18、=3，b=4，ab=14、的倒数是（）A B C D 【解析】解：1=，（）（）=1，1的倒数是故选C5、计算：（1） （2）32 （3）（）（）0 （4）（）（24） （5） （6）【解析】（1）原式=（5）（）6 =（4）6=16=6 （2）（321121）=0 （3）原式=0 （4）原式=（24）（24）（24）=20+18+8= （5）1.530.75+1.531.53=1.53（0.75+0.5+0.8），=1.53（1.30.75）=1.530.55=0.8415； （6） = = =2+3 =3 =6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求2mn+x的值【解析】解
19、：a、b互为相反数，a+b=0；m、n互为倒数，mn=1；x的绝对值为2，x=2 当x=2时，原式=2+02=4； 当x=2时，原式=2+0+2=0 7、若，则的值为（）A4B1C0D4【解析】B8、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（）（保留两位有效数字）。A、0.10106m B、1107m C、1.0107m D、0.1106m【解析】C9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，第2002个数应是（）AB.CD以上答案不对【解析】C10、小刚学习了有理数运算法则后，编写了一个计算程序，当他输
20、入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入有理数的平方与1的和，当他第一次输入2，然后又将所得结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是_。【解析】2611、图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有个苹果、第十行有个（可用乘方形式表示）【解析】直击中考 1、如果实数a，b满足，那么等于（）A 1B1C3D 3【解析】B2、计算7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的
21、个位数字为【解析】73、观察下列等式：311=2，321=8，331=26，341=80，351=242，通过观察，用你所发现的规律确定320081的个位数字是【解析】04、定义一种新的运算ab=ab，如23=23=8，那么请试求（32）2=【解析】8。S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、有理数的定义及分类2、数轴、相反数和绝对值3、有理数的运算法则及混合运算名师点拨 1、有理数的分类。：整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按照定义分类可以分为整数、分数。2、数轴、相反数和绝对值及倒数的定义，一定要清楚明白，不能混淆。3、有理数的运算法则及混合运算学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 15