1、 高效提分 源于优学 第03讲 因式分解 温故知新一、重点回顾回忆：因式分解的一般方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法 课堂导入课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程
2、中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定
3、义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法： 确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符号取“”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。5、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法（
4、1）用平方差公式因式分解： （2）用完全平方公式因式分解： （3）因式分解的一般步骤：步骤： 有公因式先提公因式； 没有公因式，可以尝试公式法因式分解； 如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解； 必须分解到最后。 典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A（3x）（3+x）=9x2 Bm2n2=（mn）（m+n）C（y+1）（y3）=（3y）（y+1） D4yz2y2z+z=2y（2zyz）+z【解答】选：B例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么p+q的值等于31【解答】（x4+px2+q）（x2+2x+5）=x22x+p1（122
5、p）x+q5p+5，x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，余数中122p=0，q5p+5=0，解得：p=6，q=25，p+q=31故答案为：31学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；者赤裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）Am2m6=（m+2）（m3） B（m+2）（m3）=m2m6Cx2+8x9=（x+3）（x3）+8x Dx2+1=x（x+）【解答】故选A2、已知多项式x2+7xy+my25x+43y24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m=18【解答】设x2+7xy+my25x+4
6、3y24=（x+ay+3）（x+by8），（x+ay+3）（x+by8）=x2+（a+b）xy+aby25x+（8a+3b）y24，x2+7xy+my25x+43y24=x2+（a+b）xy+aby25x+（8a+3b）y24，解得，m=ab=（2）9=18故答案为：183、先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题（1）已知多项式2x3x2+m有一个因式是2x+1，求m的值解法一：设2x3x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，解法二：设2x3x2+m=A（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计
7、算了取，2=0，故 （2）已知x4+mx3+nx16有因式（x1）和（x2），求m、n的值【解答】设x4+mx3+nx16=A（x1）（x2）（A为整式），取x=1，得1+m+n16=0，取x=2，得16+8m+2n16=0，由、解得m=5，n=20二、提公因式法 典例分析例1、计算a2（2a）3a（3a+8a4）的结果是（）A3a2 B3a C3a2 D16a5【解答】故选：C例2、先化简，再求值：（1）2（a2bab2）3（a2b1）+2ab2+1，其中a=1，b=2（2）2a（a+b）（a+b）2，其中a=3，b=5【解答】（1）2（a2bab2）3（a2b1）+2ab2+1=2a2b2
8、ab23a2b+3+2ab2+1=a2b+4当a=1，b=2时，原式=122+4=2；（2）原式=（a+b）（2aab）=（a+b）（ab）=a2b2，当a=3，b=5时，原式=3252=16 举一反三1、把多项式3m（xy）2（yx）2分解因式的结果是（）A（xy）（3m2x2y） B（xy）（3m2x+2y）C（xy）（3m+2x2y） D（yx）（3m+2x2y）【解答】 故选B2、已知a=3+2，b=32，则代数式ab2a2b的值是4【解答】原式=ab（ba）=1（4）=4故答案为：43、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）1+x+
9、x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需用上述方法3次，结果是（x+1）4（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）结果是（x+1）n+1【解答】（1）上述分解因式：提公因式法，共应用了2次故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3=（1+x）1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）（1+x）1+x+x（1+x）=（1+x）2（1+x）（1+x）=（1+x）4，故分解1+x+
10、x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法3次，结果是：（x+1）4（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1故答案为：（x+1）n+13、 公式法补充(1) 分组分解法:当被分解的多项式有四项或四项以上时，可以对多项式中的各个单项式适当的分组，然后再利用提公因式法、公式法对其进行分解因式。(2) 十字相乘法 典例分析例1、把下列各式分解因式（1）； (2）； 【解答】(1);(2)例2、分解因式 （1） （2） 【解答】： （3） （4） （5）【解答】（3）；（4）；（5）例3、已知：a=2014x+20
11、15，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2abacbc的值是（）A0 B1 C2 D3【解答】故选D例4、若a4+b4=a22a2b2+b2+6，则a2+b2=3【解答】有a4+b4=a22a2b2+b2+6，变形后（a2+b2）2（a2+b2）6=0，（a2+b23）（a2+b2+2）=0，又a2+b20，即a2+b2=3，故答案为3 举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x1）（x+3），则a，b的值分别是（）Aa=2，b=3 Ba=2，b=3Ca=2，b=3 Da=2，b=3【解答】故选：B2、分解因式：（a+b）212（a+b）+36=（a+
12、b6）2【解答】原式=（a+b6）2故答案为：（a+b6）23、阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式分析：这个式子的常数项2=12，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+12解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x18=（x2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x26x+8=0；（3）填空：若x2+px8
13、可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7或7或2或2【解答】（1）原式=（x2）（x+9）；（2）方程分解得：（x2）（x4）=0，可得x2=0或x4=0，解得：x=2或x=4；（3）8=18；8=81；8=24；8=42，则p的可能值为1+8=7；8+1=7；2+4=2；4+2=2故答案为：（1）（x2）（x+9）；（3）7或7或2或2 课堂闯关 初出茅庐 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A（a+3）（a3）=a29 BCa24a5=a（a4）5 Da2b2=（a+b）（ab）【解答】故选：D2、下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A（x+2）（x2）=x24
14、Bx24=（x+2）（x2）Cx24+3x=（x+2）（x2）+3x Dx2+4=（x+2）2【解答】 故选：B 3、将m2（a2）+m（a2）分解因式的结果是（）A（a2）（m2m） Bm（a2）（m1）Cm（a2）（m+1） Dm（2a）（m1）【解答】m2（a2）+m（a2）=m（a2）（m+1）故选：C4、多项式2x212xy2+8xy3的公因式是（）A2xy B24x2y3 C2x D以上都不对【解答】多项式2x212xy2+8xy3各项的公因式是：2x故选：C5、对下列各整式因式分解正确的是（）A2x2x+1=x（2x1）+1 Bx22x1=（x21）2C2x2xyx=2x（xy1
15、） Dx2x6=（x+2）（x3）【解答】故选D6、10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+x102，N=y12+y22+y102，则（） AMN BMN CM=N DM、N的大小关系不确定【解答】由题意可得，xn+yn=9，yn=（9xn），MN=x12+x22+x102（y12+y22+y102）=x12+x22+x102，=810+18（x1+x2+x10），10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+x10=45，
16、810+18（x1+x2+x10）=810+1845=810+810=0，M=N，故选C7、由（x2）（x1）=x23x+2，则x23x+2分解因式为（x2）（x1）【解答】（x2）（x1）=x23x+2，x23x+2=（x2）（x1）故答案为（x2）（x1） 8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为（2a3b）2，则k的值为12【解答】（2a3b）2=4a212ab+9b2=4a2+kab+9b2，k=12故应填12 9、分解因式：3a312a2b+12ab2=3a（a2b）2【解答】原式=3a（a24ab+4b2）=3a（a2b）2，故答案为：3a（a2b）2 10、分解因式：2xy2+
17、8xy8x=2x（y2）2【解答】2xy2+8xy8x=2x（y24y+4）=2x（y2）2故答案为：2x（y2）2 优学学霸 1、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n），则x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4，m=3n，解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21问题：（1）若二次三项式x25x+6可分解为（x2）（x+a），则a=3；（2）若二次三项式2x2+bx5可分解为（2x1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题
18、：已知二次三项式2x2+5xk有一个因式是（2x3），求另一个因式以及k的值【解答】（1）（x2）（x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6，a2=5，解得：a=3；（2）（2x1）（x+5）=2x2+9x5=2x2+bx5，b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5xk=（2x3）（x+n）=2x2+（2n3）x3n，则2n3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12故答案为：（1）3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）2、先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值（2）
19、求（2xy）（2x+y）（2y+x）（2yx）的值，其中x=2，y=1【解答】（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=222=8；（2）原式=4x2y2（4y2x2）=5x25y2，当x=2，y=1时，原式=522512=153、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2
20、=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=1
21、2；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y）2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4）x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值【解答】（1）6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y），2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4），x2xy6y2+2
22、x6y=（x3y）（x+2y+2），故答案为：（3x4y）（2x3y），（x2y+3）（2x+3y4），（x3y）（x+2y+2），（2）如图，m=39+（8）（2）=43或m=9（8）+3（2）=78 考场直播1、【2016春深圳期末】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值【解答】：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n）则x24x+m=x2+（n+3）x+3n解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另
23、一个因式以及k的值【解答】设另一个因式为（x+a），得2x2+3xk=（2x5）（x+a）则2x2+3xk=2x2+（2a5）x5a，解得：a=4，k=20故另一个因式为（x+4），k的值为202、【2015深圳】因式分解：（1）6xy29x2yy3 （2）（p4）（p+1）+3p【解答】（1）6xy29x2yy3=y（y26xy+9x2）=y（3xy）2； （2）（p4）（p+1）+3p=p23p4+3p=（p+2）（p2）套路揭密：（1）掌握因式分解的定义及意义；（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。 自我挑战 1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A2a22a+
24、1=2a（a1）+1 B（x+y）（xy）=x2y2Cx26x+5=（x5）（x1） Dx2+y2=（xy）2+2xy【解答】故选C2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）Am（a+b）=ma+mb Ba2a=2=a（a1）2C4a2+9b2=（2a+3b）（2a+3b） Dx2=（x）（x+）【解答】故选C3、多项式5mx3+25mx210mx各项的公因式是（）A5mx2 B5mx3 Cmx D5mx【解答】5mx3+25mx210mx各项的公因式是5mx，故选：D4、多项式18a2b212a3b2c6ab2的公因式是（）A6ab2 B6ab2c Cab2 D6a3b2c【解答】多项式1
25、8a2b212a3b2c6ab2的公因式是6ab2，故选A5、下列因式分解正确的是（）Am2+n2=（m+n）（mn） Bx2+2x1=（x1）2Ca2a=a（a1） Da2+2a+1=a（a+2）+1【解答】故选：C6、因式分解的结果是（x+yz）（xy+z）的多项式是（）Ax2（y+z）2 B（xy）2z2 C（xy）2+z2Dx2（yz）2【解答】故选：D7、多项式xnyn因式分解的结果是（xy）（x+y）（x2+y2），则n=4【解答】（xy）（x+y）（x2+y2）=（x2y2）（x2+y2）=x4y4xnyn=x4y4，即n=4故应填：48、因式分解：6x3y12xy2+3xy=3
26、xy（2x24y+1）【解答】6x3y12xy2+3xy=3xy（2x24y+1）故答案为：3xy（2x24y+1）9、分解因式：（3ab）（a+b）abb2=（3a2b）（a+b）【解答】答案为：（3a2b）（a+b）10、把下列各式分解因式：（1）2m（mn）28m2（nm）（2）8a2b+12ab24a3b3【解答】（1）2m（mn）28m2（nm）=2m（mn）（mn）+4m=2m（mn）（5mn）；（2）8a2b+12ab24a3b3=4ab（2a3b+a2b2）11、下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y，原式=（y+2）（y+
27、6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的CA提取公因式 B平方差公式C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x2）4（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x24x+4）2=（x2）4；故答案为：不彻底，（x2）4；（3）（x22x）（x22x+2）+1=（x22x）2+2（x22x）+1=（x22x+1）2=（x1）415