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初三数学暑假班讲义第03讲-因式分解-教案

1、 高效提分 源于优学 第03讲 因式分解 温故知新一、重点回顾回忆:因式分解的一般方法:1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法 课堂导入课题扩展:因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,也是处理数学问题的重要手段和工具,学习因式分解,除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外,还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或某几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程

2、中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式,从而使问题化繁为简,迅速获解。四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可展开重新组合,然后再用基本方法分解。五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 因式分解1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定

3、义: 我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法: 确定公因式的一般步骤:(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符号取“”;(2)确定公因式的数字因数:当各项系数都是整数时,取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数;(3)确定公因式的字母及其指数:取多项式各项都含有的相同字母(或因式),其指数取最低次。5、提公因式法: 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法(

4、1)用平方差公式因式分解: (2)用完全平方公式因式分解: (3)因式分解的一般步骤:步骤: 有公因式先提公因式; 没有公因式,可以尝试公式法因式分解; 如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解; 必须分解到最后。 典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()A(3x)(3+x)=9x2 Bm2n2=(mn)(m+n)C(y+1)(y3)=(3y)(y+1) D4yz2y2z+z=2y(2zyz)+z【解答】选:B例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,那么p+q的值等于31【解答】(x4+px2+q)(x2+2x+5)=x22x+p1(122

5、p)x+q5p+5,x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,余数中122p=0,q5p+5=0,解得:p=6,q=25,p+q=31故答案为:31学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形,二者是一个式子的不同表现形式;者赤裸裸的残酷的掠夺,激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是()Am2m6=(m+2)(m3) B(m+2)(m3)=m2m6Cx2+8x9=(x+3)(x3)+8x Dx2+1=x(x+)【解答】故选A2、已知多项式x2+7xy+my25x+43y24可分解成x、y的两个一次因式,则实数m=18【解答】设x2+7xy+my25x+4

6、3y24=(x+ay+3)(x+by8),(x+ay+3)(x+by8)=x2+(a+b)xy+aby25x+(8a+3b)y24,x2+7xy+my25x+43y24=x2+(a+b)xy+aby25x+(8a+3b)y24,解得,m=ab=(2)9=18故答案为:183、先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题(1)已知多项式2x3x2+m有一个因式是2x+1,求m的值解法一:设2x3x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则:2x3x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b比较系数得,解得,解法二:设2x3x2+m=A(2x+1)(A为整式)由于上式为恒等式,为方便计

7、算了取,2=0,故 (2)已知x4+mx3+nx16有因式(x1)和(x2),求m、n的值【解答】设x4+mx3+nx16=A(x1)(x2)(A为整式),取x=1,得1+m+n16=0,取x=2,得16+8m+2n16=0,由、解得m=5,n=20二、提公因式法 典例分析例1、计算a2(2a)3a(3a+8a4)的结果是()A3a2 B3a C3a2 D16a5【解答】故选:C例2、先化简,再求值:(1)2(a2bab2)3(a2b1)+2ab2+1,其中a=1,b=2(2)2a(a+b)(a+b)2,其中a=3,b=5【解答】(1)2(a2bab2)3(a2b1)+2ab2+1=2a2b2

8、ab23a2b+3+2ab2+1=a2b+4当a=1,b=2时,原式=122+4=2;(2)原式=(a+b)(2aab)=(a+b)(ab)=a2b2,当a=3,b=5时,原式=3252=16 举一反三1、把多项式3m(xy)2(yx)2分解因式的结果是()A(xy)(3m2x2y) B(xy)(3m2x+2y)C(xy)(3m+2x2y) D(yx)(3m+2x2y)【解答】 故选B2、已知a=3+2,b=32,则代数式ab2a2b的值是4【解答】原式=ab(ba)=1(4)=4故答案为:43、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2(1+x)1+x+

9、x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需用上述方法3次,结果是(x+1)4(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)结果是(x+1)n+1【解答】(1)上述分解因式:提公因式法,共应用了2次故答案为:提公因式法,2次;(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3=(1+x)1+x+x(1+x)+x(1+x)2=(1+x)(1+x)1+x+x(1+x)=(1+x)2(1+x)(1+x)=(1+x)4,故分解1+x+

10、x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需应用上述方法3次,结果是:(x+1)4(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1故答案为:(x+1)n+13、 公式法补充(1) 分组分解法:当被分解的多项式有四项或四项以上时,可以对多项式中的各个单项式适当的分组,然后再利用提公因式法、公式法对其进行分解因式。(2) 十字相乘法 典例分析例1、把下列各式分解因式(1); (2); 【解答】(1);(2)例2、分解因式 (1) (2) 【解答】: (3) (4) (5)【解答】(3);(4);(5)例3、已知:a=2014x+20

11、15,b=2014x+2016,c=2014x+2017,则a2+b2+c2abacbc的值是()A0 B1 C2 D3【解答】故选D例4、若a4+b4=a22a2b2+b2+6,则a2+b2=3【解答】有a4+b4=a22a2b2+b2+6,变形后(a2+b2)2(a2+b2)6=0,(a2+b23)(a2+b2+2)=0,又a2+b20,即a2+b2=3,故答案为3 举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式,得(x1)(x+3),则a,b的值分别是()Aa=2,b=3 Ba=2,b=3Ca=2,b=3 Da=2,b=3【解答】故选:B2、分解因式:(a+b)212(a+b)+36=(a+

12、b6)2【解答】原式=(a+b6)2故答案为:(a+b6)23、阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,例如:将式子x2+3x+2分解因式分析:这个式子的常数项2=12,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+12解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)请仿照上面的方法,解答下列问题(1)分解因式:x2+7x18=(x2)(x+9)启发应用(2)利用因式分解法解方程:x26x+8=0;(3)填空:若x2+px8

13、可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是7或7或2或2【解答】(1)原式=(x2)(x+9);(2)方程分解得:(x2)(x4)=0,可得x2=0或x4=0,解得:x=2或x=4;(3)8=18;8=81;8=24;8=42,则p的可能值为1+8=7;8+1=7;2+4=2;4+2=2故答案为:(1)(x2)(x+9);(3)7或7或2或2 课堂闯关 初出茅庐 1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A(a+3)(a3)=a29 BCa24a5=a(a4)5 Da2b2=(a+b)(ab)【解答】故选:D2、下列由左到右的变形,属于因式分解的是()A(x+2)(x2)=x24

14、Bx24=(x+2)(x2)Cx24+3x=(x+2)(x2)+3x Dx2+4=(x+2)2【解答】 故选:B 3、将m2(a2)+m(a2)分解因式的结果是()A(a2)(m2m) Bm(a2)(m1)Cm(a2)(m+1) Dm(2a)(m1)【解答】m2(a2)+m(a2)=m(a2)(m+1)故选:C4、多项式2x212xy2+8xy3的公因式是()A2xy B24x2y3 C2x D以上都不对【解答】多项式2x212xy2+8xy3各项的公因式是:2x故选:C5、对下列各整式因式分解正确的是()A2x2x+1=x(2x1)+1 Bx22x1=(x21)2C2x2xyx=2x(xy1

15、) Dx2x6=(x+2)(x3)【解答】故选D6、10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰好比赛一场,比赛中,没有平局,第一名胜x1局,负y1局;第二名胜x2局,负y2局;第十名胜x10局,负y10局,若记M=x12+x22+x102,N=y12+y22+y102,则() AMN BMN CM=N DM、N的大小关系不确定【解答】由题意可得,xn+yn=9,yn=(9xn),MN=x12+x22+x102(y12+y22+y102)=x12+x22+x102,=810+18(x1+x2+x10),10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰好比赛一场,比赛中,没有平局,x1+x2+x10=45,

16、810+18(x1+x2+x10)=810+1845=810+810=0,M=N,故选C7、由(x2)(x1)=x23x+2,则x23x+2分解因式为(x2)(x1)【解答】(x2)(x1)=x23x+2,x23x+2=(x2)(x1)故答案为(x2)(x1) 8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2a3b)2,则k的值为12【解答】(2a3b)2=4a212ab+9b2=4a2+kab+9b2,k=12故应填12 9、分解因式:3a312a2b+12ab2=3a(a2b)2【解答】原式=3a(a24ab+4b2)=3a(a2b)2,故答案为:3a(a2b)2 10、分解因式:2xy2+

17、8xy8x=2x(y2)2【解答】2xy2+8xy8x=2x(y24y+4)=2x(y2)2故答案为:2x(y2)2 优学学霸 1、仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x24x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值解:设另一个因式为(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n),则x24x+m=x2+(n+3)x+3nn+3=4,m=3n,解得:n=7,m=21另一个因式为(x7),m的值为21问题:(1)若二次三项式x25x+6可分解为(x2)(x+a),则a=3;(2)若二次三项式2x2+bx5可分解为(2x1)(x+5),则b=9;(3)仿照以上方法解答下面问题

18、:已知二次三项式2x2+5xk有一个因式是(2x3),求另一个因式以及k的值【解答】(1)(x2)(x+a)=x2+(a2)x2a=x25x+6,a2=5,解得:a=3;(2)(2x1)(x+5)=2x2+9x5=2x2+bx5,b=9;(3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5xk=(2x3)(x+n)=2x2+(2n3)x3n,则2n3=5,k=3n,解得:n=4,k=12,故另一个因式为(x+4),k的值为12故答案为:(1)3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一个因式是x+4,k=12(6分)2、先化简,再求值:(1)已知a+b=2,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值(2)

19、求(2xy)(2x+y)(2y+x)(2yx)的值,其中x=2,y=1【解答】(1)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,当a+b=2,ab=2时,原式=222=8;(2)原式=4x2y2(4y2x2)=5x25y2,当x=2,y=1时,原式=522512=153、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1a2,把y2项系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2

20、=(a1x+c1y)(a2x+c2y)例:分解因式:x22xy8y2解:如图1,其中1=11,8=(4)2,而2=12+1(4)x22xy8y2=(x4y)(x+2y)而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图2,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);例:分解因式:x2+2xy3y2+3x+y+2解:如图3,其中1=11,3=(1)3,2=1

21、2;而2=13+1(1),1=(1)2+31,3=12+11;x2+2xy3y2+3x+y+2=(xy+1)(x+3y+2)请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:(1)分解因式:6x217xy+12y2=(3x4y)(2x3y)2x2xy6y2+2x+17y12=(x2y+3)(2x+3y4)x2xy6y2+2x6y=(x3y)(x+2y+2)(2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积,求m的值【解答】(1)6x217xy+12y2=(3x4y)(2x3y),2x2xy6y2+2x+17y12=(x2y+3)(2x+3y4),x2xy6y2+2

22、x6y=(x3y)(x+2y+2),故答案为:(3x4y)(2x3y),(x2y+3)(2x+3y4),(x3y)(x+2y+2),(2)如图,m=39+(8)(2)=43或m=9(8)+3(2)=78 考场直播1、【2016春深圳期末】仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x24x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值【解答】:设另一个因式为(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n)则x24x+m=x2+(n+3)x+3n解得:n=7,m=21另一个因式为(x7),m的值为21问题:仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是(2x5),求另

23、一个因式以及k的值【解答】设另一个因式为(x+a),得2x2+3xk=(2x5)(x+a)则2x2+3xk=2x2+(2a5)x5a,解得:a=4,k=20故另一个因式为(x+4),k的值为202、【2015深圳】因式分解:(1)6xy29x2yy3 (2)(p4)(p+1)+3p【解答】(1)6xy29x2yy3=y(y26xy+9x2)=y(3xy)2; (2)(p4)(p+1)+3p=p23p4+3p=(p+2)(p2)套路揭密:(1)掌握因式分解的定义及意义;(2)因式分解中,提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。 自我挑战 1、下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是()A2a22a+

24、1=2a(a1)+1 B(x+y)(xy)=x2y2Cx26x+5=(x5)(x1) Dx2+y2=(xy)2+2xy【解答】故选C2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是()Am(a+b)=ma+mb Ba2a=2=a(a1)2C4a2+9b2=(2a+3b)(2a+3b) Dx2=(x)(x+)【解答】故选C3、多项式5mx3+25mx210mx各项的公因式是()A5mx2 B5mx3 Cmx D5mx【解答】5mx3+25mx210mx各项的公因式是5mx,故选:D4、多项式18a2b212a3b2c6ab2的公因式是()A6ab2 B6ab2c Cab2 D6a3b2c【解答】多项式1

25、8a2b212a3b2c6ab2的公因式是6ab2,故选A5、下列因式分解正确的是()Am2+n2=(m+n)(mn) Bx2+2x1=(x1)2Ca2a=a(a1) Da2+2a+1=a(a+2)+1【解答】故选:C6、因式分解的结果是(x+yz)(xy+z)的多项式是()Ax2(y+z)2 B(xy)2z2 C(xy)2+z2Dx2(yz)2【解答】故选:D7、多项式xnyn因式分解的结果是(xy)(x+y)(x2+y2),则n=4【解答】(xy)(x+y)(x2+y2)=(x2y2)(x2+y2)=x4y4xnyn=x4y4,即n=4故应填:48、因式分解:6x3y12xy2+3xy=3

26、xy(2x24y+1)【解答】6x3y12xy2+3xy=3xy(2x24y+1)故答案为:3xy(2x24y+1)9、分解因式:(3ab)(a+b)abb2=(3a2b)(a+b)【解答】答案为:(3a2b)(a+b)10、把下列各式分解因式:(1)2m(mn)28m2(nm)(2)8a2b+12ab24a3b3【解答】(1)2m(mn)28m2(nm)=2m(mn)(mn)+4m=2m(mn)(5mn);(2)8a2b+12ab24a3b3=4ab(2a3b+a2b2)11、下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24x+6)+4进行因式分解的过程解:设x24x=y,原式=(y+2)(y+

27、6)+4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4)2(第三步)=(x24x+4)2(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的CA提取公因式 B平方差公式C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底?不彻底(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(x2)4(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解【解答】(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;故选:C;(2)该同学因式分解的结果不彻底,原式=(x24x+4)2=(x2)4;故答案为:不彻底,(x2)4;(3)(x22x)(x22x+2)+1=(x22x)2+2(x22x)+1=(x22x+1)2=(x1)415