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初三数学暑假班讲义第03讲-因式分解-学案

1、 高效提分 源于优学 第03讲 因式分解 温故知新一、重点回顾回忆:整式乘法运算法则:1、单项式乘多项式2、多项式乘多项式 课堂导入课题扩展:因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形,也是处理数学问题的重要手段和工具,学习因式分解,除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外,还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或某几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中,

2、通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式,从而使问题化繁为简,迅速获解。四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可展开重新组合,然后再用基本方法分解。五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 因式分解1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定义:

3、 我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法: 确定公因式的一般步骤:(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符号取“”;(2)确定公因式的数字因数:当各项系数都是整数时,取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数;(3)确定公因式的字母及其指数:取多项式各项都含有的相同字母(或因式),其指数取最低次。5、提公因式法: 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法(1)

4、用平方差公式因式分解: (2)用完全平方公式因式分解: (3)因式分解的一般步骤:步骤: 有公因式先提公因式; 没有公因式,可以尝试公式法因式分解; 如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解; 必须分解到最后。 典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()A(3x)(3+x)=9x2 Bm2n2=(mn)(m+n)C(y+1)(y3)=(3y)(y+1) D4yz2y2z+z=2y(2zyz)+z例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,那么p+q的值等于 学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形,二者是一个式子的不同表现形式;者赤裸裸的残酷的掠

5、夺,激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是()Am2m6=(m+2)(m3) B(m+2)(m3)=m2m6Cx2+8x9=(x+3)(x3)+8x Dx2+1=x(x+)2、已知多项式x2+7xy+my25x+43y24可分解成x、y的两个一次因式,则实数m= 3、先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题(1)已知多项式2x3x2+m有一个因式是2x+1,求m的值解法一:设2x3x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则:2x3x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b比较系数得,解得,解法二:设2x3x2+m=A(2x+1)(A

6、为整式)由于上式为恒等式,为方便计算了取,2=0,故 (2)已知x4+mx3+nx16有因式(x1)和(x2),求m、n的值二、提公因式法 典例分析例1、计算a2(2a)3a(3a+8a4)的结果是()A3a2 B3a C3a2 D16a5例2、先化简,再求值:(1)2(a2bab2)3(a2b1)+2ab2+1,其中a=1,b=2(2)2a(a+b)(a+b)2,其中a=3,b=5 举一反三1、把多项式3m(xy)2(yx)2分解因式的结果是()A(xy)(3m2x2y) B(xy)(3m2x+2y)C(xy)(3m+2x2y) D(yx)(3m+2x2y)【解析】 故选B2、已知a=3+2

7、,b=32,则代数式ab2a2b的值是 3、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需用上述方法3次,结果是 (3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)结果是 三、公式法 典例分析例1、把下列各式分解因式(1); (2); 例2、分解因式 (1) (2) (3) (4) (5)例3、已知:a=2014x+2015,b=2014x+2016,

8、c=2014x+2017,则a2+b2+c2abacbc的值是()A0 B1 C2 D3例4、若a4+b4=a22a2b2+b2+6,则a2+b2= 举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式,得(x1)(x+3),则a,b的值分别是()Aa=2,b=3 Ba=2,b=3Ca=2,b=3 Da=2,b=32、分解因式:(a+b)212(a+b)+36= 3、阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,例如:将式子x2+3x+2分解因式分

9、析:这个式子的常数项2=12,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+12解:x2+3x+2=(x+1)(x+2)请仿照上面的方法,解答下列问题(1)分解因式:x2+7x18= 启发应用(2)利用因式分解法解方程:x26x+8=0;(3)填空:若x2+px8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是 课堂闯关 初出茅庐 1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A(a+3)(a3)=a29 BCa24a5=a(a4)5 Da2b2=(a+b)(ab)2、下列由左到右的变形,属于因式分解的是()A(x+2)(x2)=x24 Bx24=(x+2)(x2)Cx24+

10、3x=(x+2)(x2)+3x Dx2+4=(x+2)2 3、将m2(a2)+m(a2)分解因式的结果是()A(a2)(m2m) Bm(a2)(m1)Cm(a2)(m+1) Dm(2a)(m1)4、多项式2x212xy2+8xy3的公因式是()A2xy B24x2y3 C2x D以上都不对5、对下列各整式因式分解正确的是()A2x2x+1=x(2x1)+1 Bx22x1=(x21)2C2x2xyx=2x(xy1) Dx2x6=(x+2)(x3)6、10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰好比赛一场,比赛中,没有平局,第一名胜x1局,负y1局;第二名胜x2局,负y2局;第十名胜x10局,负y10

11、局,若记M=x12+x22+x102,N=y12+y22+y102,则() AMN BMN CM=N DM、N的大小关系不确定7、由(x2)(x1)=x23x+2,则x23x+2分解因式为 8、 若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2a3b)2,则k的值为 9、分解因式:3a312a2b+12ab2= 10、分解因式:2xy2+8xy8x= 优学学霸 1、仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x24x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值解:设另一个因式为(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n),则x24x+m=x2+(n+3)x+3nn+3=4,m=3n,解

12、得:n=7,m=21另一个因式为(x7),m的值为21问题:(1)若二次三项式x25x+6可分解为(x2)(x+a),则a= ;(2)若二次三项式2x2+bx5可分解为(2x1)(x+5),则b= ;(3)仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+5xk有一个因式是(2x3),求另一个因式以及k的值2、先化简,再求值:(1)已知a+b=2,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值(2)求(2xy)(2x+y)(2y+x)(2yx)的值,其中x=2,y=13、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成

13、两个因数a1,a2的积,即a=a1a2,把y2项系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)例:分解因式:x22xy8y2解:如图1,其中1=11,8=(4)2,而2=12+1(4)x22xy8y2=(x4y)(x+2y)而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图2,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第

14、1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);例:分解因式:x2+2xy3y2+3x+y+2解:如图3,其中1=11,3=(1)3,2=12;而2=13+1(1),1=(1)2+31,3=12+11;x2+2xy3y2+3x+y+2=(xy+1)(x+3y+2)请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:(1)分解因式:6x217xy+12y2= 2x2xy6y2+2x+17y12= x2xy6y2+2x6y= (2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积,求m的值 考场直播1、【2016春深圳期末】

15、仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x24x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值解:设另一个因式为(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n)则x24x+m=x2+(n+3)x+3n解得:n=7,m=21另一个因式为(x7),m的值为21问题:仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是(2x5),求另一个因式以及k的值2、【2015深圳】因式分解:(1)6xy29x2yy3 (2)(p4)(p+1)+3p套路揭密:(1)掌握因式分解的定义及意义;(2)因式分解中,提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。 自我挑战 1、下列各式中,从左到右的变形

16、是因式分解的是()A2a22a+1=2a(a1)+1 B(x+y)(xy)=x2y2Cx26x+5=(x5)(x1) Dx2+y2=(xy)2+2xy2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是()Am(a+b)=ma+mb Ba2a=2=a(a1)2C4a2+9b2=(2a+3b)(2a+3b) Dx2=(x)(x+)3、多项式5mx3+25mx210mx各项的公因式是()A5mx2 B5mx3 Cmx D5mx4、多项式18a2b212a3b2c6ab2的公因式是()A6ab2 B6ab2c Cab2 D6a3b2c5、下列因式分解正确的是()Am2+n2=(m+n)(mn) Bx2+2x1=

17、(x1)2Ca2a=a(a1) Da2+2a+1=a(a+2)+16、因式分解的结果是(x+yz)(xy+z)的多项式是()Ax2(y+z)2 B(xy)2z2 C(xy)2+z2Dx2(yz)27、多项式xnyn因式分解的结果是(xy)(x+y)(x2+y2),则n= 8、因式分解:6x3y12xy2+3xy= 9、分解因式:(3ab)(a+b)abb2= 10、把下列各式分解因式:(1)2m(mn)28m2(nm)(2)8a2b+12ab24a3b311、下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24x+6)+4进行因式分解的过程解:设x24x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4)2(第三步)=(x24x+4)2(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A提取公因式 B平方差公式C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解13思考乐优学产品中心 初中组