1、高效提分 源于优学 第08讲 立方根与估算 温故知新一、上节课重点回顾1. 有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。不能写成分数形式。2、算术平方根的概念一般地，如果一个正数 的平方根等于 ，即 ，那么这个正数就叫做的算术平方根，记做，读作“根号”。3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的平方根（也叫做二次方根）。（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。（3）开平方的概念：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。知识要点一 立方根的概念及性质 1、立方根的概念一般地，如果一个
2、数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。注意：每一个数有且只有一个立方根，记为 ，读作“三次根号”。2、立方根的性质（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。3、开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（2）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0；（3） ， 。 典例分析例1、8的立方根是（）A2 B2 C2 D【解析】B例2、64的立方根是（）A8 B4 C4
3、 D8 【解析】C例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=3【解析】，满足条件的最小正整数n=3，故答案为：3例4、计算的结果是【解析】=，故答案为：例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求mn的平方根【解析】由题意得，解得：故可得mn=16，mn的平方根是4举一反三1解方程 （x4）2=4 ， 【解析】解：（x4）2=4 x4=2或 x4=2，解得x6或x=2，（x+3）3=27，x+3=3， 解得x=02已知+|2yx|=0，求x2+4y的立方根【解析】解：+|2yx|=0，x2=0，2yx=0，x=2，y=1，x2+4y=8，x2+4y的立方根是23已知2a1
4、的平方根是3，3ab+2的算术平方根是4，求a+3b的立方根【解析】解：2a1的平方根是32a1=9，解得，a=5，3ab+2的算术平方根是 4， a=5， 3ab+2=16， 15b+2=16， 解得，b=1，a+3b=8， a+3b的立方根是2 知识要点二估算与比较大小1.用估算法确定无理数的大小对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。2.用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。注意：（1
5、） ；（2） 典例分析例1、下列四个数中，最大的一个数是（）A2 B C0 D2【解析】A例2、下面实数比较大小正确的是（）A37 B C02 D223【解析】B例3、估计的值在（）A2到3之间 B3到4之间 C4到5之间 D5到6之间【解析】B例4、判断21之值介于下列哪两个整数之间？（）A3，4 B4，5 C5，6 D6，7【解析】C举一反三1、比较大小：32、先比较大小，再计算（1）比较大小：与3，1.5与；（2）依据上述结论，比较大小：2与；（3）根据（2）的结论，计算：|2|【解析】（1）79，3，1.52=2.253，1.5；（2）1.5，23，又3，2；（3）原式=2+=233、
6、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是3【解析】56，的整数部分a=5，45，的整数部分b=4，a+b=5+4=9，9的平方根是3，故答案为：3学霸说比较两数的大小时，数的范围确定不精确而出错；比较两个无理数的大小时，不能只确定无理数取值范围的左端点或者右端点的取值，而应该把两个端点的取值都确定出来 课堂闯关初出茅庐1下列叙述中，不正确的是（）A绝对值最小的实数是零 B算术平方根最小的实数是零C平方最小的实数是零 D立方根最小的实数是零【解析】D2的值为（）A3 B3 C2 D2【解析】A3在实数，2，0，3中，大小在1和2之间的数是（）A B2 C0 D3【解析】C4下列实数中，（）
7、，|3|，3中，最大的是（）A B（）C|3| D3【解析】B5已知a、b为两个连续整数，且ab，则a+b=（）A4 B5 C6 D8【解析】B6把表示成幂的形式是【解析】把表示成幂的形式是故答案为：7 的立方根是【解析】（）3=，的立方根是故答案为：8比较大小：1（填“”或“”或“=”）9设a=|2|，b=（1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是4【解析】a=|2|=2，b=（1）=1，c=3，则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，a、b、c中最大实数与最小实数的差是bc=1（3）=4；故答案为：410若nn+1，且n是正整数，则n=3【解析】91316，34n是正整数，n=
8、3故答案为：311已知：2x+3y2的平方根为3，3xy+3的立方根为2，求的平方根【解析】2x+3y2的平方根为3，3xy+3的立方根为2，解得：3x+4y+2=6+20+2=16，=44的平方根是212已知实数x、y满足，求2x的立方根【解析】由非负数的性质可知：2x16=0，x2y+4=0，解得：x=8，y=62xy=286=82x的立方根是213设A=+，B=+，试比较A，B的大小【解析】A=+0，B=+0，A2=（+）2=8+2，B2=（+）2=8+2，1215，22，A2B2，AB优学学霸1已知a、b分别是6的整数部分和小数部分（1）分别写出a、b的值； （2）求3ab2的值【解答
9、】解：（1）23，32，364，a=3，b=63=3；（2）3ab2=33（3）2=99+65=652设1996x3=1997y3=1998z3，xyz0，且，求的值【解答】解：设1996x3=1997y3=1998z3=k，则=，+=+，=+，=+，xyz0，+=13设a，b都是正实数，且（1）证明必在和之间（2）试说明这两个数中，哪一个更接近？【解答】（1）证明：（）（）=0，所以结论成立（2）解：用赋值法a=b=1，代入得，所以更接近4设S=1+，求S的整数部分S【解答】解：=，=，S1+2（1）88.73，S1+2（）87.93，S的整数部分是S=88 考场直播1.【2012秋蛇口期中
10、】已知：x-2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根 解：x-2的平方根是2，x-2=4，x=6，2x+y+7的立方根是32x+y+7=27把x的值代入解得：y=8，x2+y2的算术平方根为102. 【2013秋深圳校级期中】 （1）比较大小：与9；（2）化简：【解答】解：（1）9=，9；（2）原式=2 自我挑战1.下列说法正确的是（）A9的倒数是 B9的相反数是9C9的立方根是3 D9的平方根是3【解析】B2. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（）Aab Bab Ca=b D不能确定【解析】B3. 给出四个数0，1，其中最小的是（）A0 B C D1【解
11、析】D4. 2的值在（）A1和2之间 B2和3之间 C3和4之间 D4和5之间【解析】B5. 若a2=64，则=26. 已知x+2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为【解析】x+2的平方根是2，x+2=22=4，解得x=2；2x+y+7的立方根是3，2x+y+7=33=27，22+y+7=27，解得y=16；x2+y=22+16=4+16=20x2+y的立方根为故答案为：7. 比较大小：41（填“”、“=”或“”）【解析】23，32，43442，142，故答案为：8比较大小：【解析】1.7，11，故答案为：9已知x的两个平方根分别是2a1和a5，且，求x+y的值【解析】由题意可知 2a1+a5=0a=22a1=3x=32=9xy2=27y=20x+y=1110如果A=是a+3b的算术平方根，B=的1a2的立方根试求：AB的平方根【解析】依题意有，解得，A=3，B=2 ，AB=3+2=5，故AB的平方根是11已知，比较a，b的大小【解析】，=+，=+，1，1，ab 11 思考乐优学产品中心初中组