1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第12讲-图形的相似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度; 掌握平行线分线段成比例的常见模型,并准确计算线段长度; 掌握判定三角形相似的三个条件,熟练进行相关证明; 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题; 理解三角形相似的性质及图形的位似,并能进行简单计算。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念(一)比例的性质 1.比例中项; 2.合分比性质; 3.等比性质(二)平行线分线段成比例定理 1.两
2、条直线被一组平行线所截,所得的线段成比例。2.如右图所示,所得的对应线段成比例的有:= ,等等。3.所得的线段必须是对应的,否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示: (三)平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系,不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交,也可以与三角形的两边的延长线相交,如下图所示,若DEBC,则有(四)相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边
3、对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 (五)相似三角形基本类型 1、平行线型:常见的有如下两种,DEBC,则ADEABC 2、相交线型:常见的有如下四种情形 (1)如图,已知1=B,则由公共角A得,ADEABC (2)如下左图,已知1=B,则由公共角A得,ADCACB (3)如下右图,已知B=D,则由对顶角1=2得,ADEABC 3、旋转型:已知BAD=CAE,B=D,则ADEABC, 右图为常见的基本图形 4、母子型:已知ACB=90,ABCD,则CBDABCACD 5、斜交型: 如图:其中1=2
4、,则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”) 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) (六)黄金分割在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果ACAB,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比约为0.618,一条线段的黄金分割点有2个。(七)相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等,对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似
5、三角形面积的比等于相似比的平方.(八)利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高:根据太阳光线是平行的,寻找相似三角形. 在同一时刻, 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高(九)图形的位似 1、位似图形的定义:位似图形的定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应边互相平行或位于同一直线上,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质:位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。*位似图形对应线段的比等于相似比; *位似图形的对应角都相等;*位似图形对应点连
6、线的交点是位似中心; *位似图形面积的比等于相似比的平方;*位似图形高、周长的比都等于相似比; *位似图形对应边互相平行或在同一直线上。考点一:成比例线段与平行线分线段成比例例1、已知,(1)求的值; (2)如果,求x的值【解析】(1)令=k,则x=2k,y=3k,z=4k,原式的值是1;(2)x=2k,y=3k,z=4k,=yz,x+3=(yz)2,解得k=1或k=3(舍去),x=2例2、如图,ACBD,AD、BC相交于E,EFBD,求证:+=【解析】ACBD,EFBD,=1,+=考点二:三角形相似的条件例1、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且CF=3FD则图中相似
7、三角形的对数是()A1 B2 C3 D4【解析】有三对相似三角形,RtABERtDEF,RtABERtEBF,RtEBFRtDEF 故选C例2、在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0t6),那么当t为何值时,APQ与ABD相似?说明理由【解析】设AP=2tcm,DQ=tcm,AB=12cm,AD=6cm,AQ=(6t)cm,A=A, 当 =时,APQABD,=,解得:t=3;当 =时,APQADB,=,解得:t=1.2当t=3或1.2时
8、,APQ与ABD相似考点三: 利用三角形相似测高例1、如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是()A3.25m B4.25m C4.45m D4.75m【解析】如图,设BD是BC在地面的影子,树高为x,根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2,BD=0.96,树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,再竹竿的高与其影子
9、的比值和树高与其影子的比值相同得,x=4.45,树高是4.45m故选C例2、如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,求建筑物的高【解析】ABBH,CDBH,EFBH,ABCDEF,CDGABG,EFHABH,=,=,CD=DG=EF=2m,DF=52m,FH=4m,=,=,=,解得BD=52,=,解得AB=54答:建筑物的高为54
10、米考点四:相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=12cm,高AD=8cm,把它加工成矩形零件如图,要使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上且矩形的长与宽的比为3:2,求这个矩形零件的边长【解析】如图所示四边形PQMN是矩形,BCPQ,APQABC,由于矩形长与宽的比为3:2,分两种情况:若PQ为长,PN为宽,设PQ=3k,PN=2k,则,解得:k=2,PQ=6cm,PN=4cm;PN为6,PQ为宽,设PN=3k,PQ=2k,则,解得:k=,PN=cm,PQ=cm;综上所述:矩形的长为6cm,宽为4cm;或长为cm,宽为cm例2、ABC经过一定的运
11、动得到A1B1C1,然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2:A1B1=2:1,A1B1C1放大为A1B2C2,如果ABC上的点P的坐标为(a,b),那么这个点在A1B2C2中的对应点P2的坐标为()A(a+3,b+2) B(a+2,b+3)C(2a+6,2b+4) D(2a+4,2b+6)【解析】A1B1C1是由ABC通过平移得到的,其平移规律是右移三个单位后,再上移2个单位,所以点P移到P1的坐标为(a+3,b+2)A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的,所以在A1B2C2上的各点坐标,都做了相应的位似变换,即乘以了2点P1的对应点P2的坐标为(2a+6,2b+4)故选CP(P
12、ractice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、已知,则的值是()A B C D【解析】D2、如图,A=B=90,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得PAD与PBC相似,则这样的P点共有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】设AP=x,则有PB=ABAP=7x,当PDACPB时,=,即=,解得:x=1或x=6,当PDAPCB时,=,即=,解得:x=,则这样的点P共有3个,故选C3、如图,D、E分别是ABC的边AB、BC上的点,且DEAC,AE、CD相交于点O,若SDOE:SCOA=1:25,则SBDE与SCDE的比是()A1:3 B1:4 C1:5 D1:2
13、5【解析】B4、已知,如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB的长为20cm,AB边上的高为25cm,在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正方形纸条是()A第4张 B第5张 C第6张 D第7张【解析】正方形中平行于底边的边是4,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x,则 =,解得x=5,所以另一段长为255=20,因为204=5,所以是第5张故选:B5、如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,ACB=90,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离
14、为3,则的值为()A B C D【解析】如图,作BFl3,AEl3,ACB=90,BCF+ACE=90,BCF+CFB=90,ACE=CBF,在ACE和CBF中,ACECBF,CE=BF=3,CF=AE=4,l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,AG=1,BG=EF=CF+CE=7AB=5, l2l3,=DG=CE=,BD=BGDG=7=,=故选A6、如图所示,RtABC中,已知BAC=90,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作ADE=45,DE交AC于点E(1)求证:ABDDCE;(2)当ADE是等腰三角形时,求AE的长【解析】(1)B=C=45EDC=BAD
15、ABDDCE(2)讨论:若AD=AE时,DAE=90,此时D点与点B重合,不合题意若AD=DE时,ABD与DCE的相似比为1,此时ABDDCE,于是AB=AC=2,BC=2,AE=ACEC=2BD=2(22)=42若AE=DE,此时DAE=ADE=45,如下图所示易知ADBC,DEAC,且AD=DC由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=AC=17、如图,为了测量路灯S的高度,把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上,测得竹竿的影长BC为1m,然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4米到B,再把竹竿竖立在地面上(即AB),测得竹竿的影长为1.8m,求路灯的高度【解析】ABDC,DSDC,SDAB
16、,ABCSDC,=,即=,解得DB=h1,同理,ABDC,ABCSDC,=,=,把代入得,=,解得:h=9答:路灯离地面的高度是9米8、如图,AC是O的直径,BC是O的弦,点P是O外一点,连接PB、AB,PBA=C(1)求证:PB是O的切线;(2)连接OP,若OPBC,且OP=8,O的半径为2,求BC的长【解析】(1)证明:连接OB, AC是O的直径,ABC=90,C+BAC=90,OA=OB,BAC=OBA,PBA=C,PBA+OBA=90,即PBOB,PB是O的切线;(2)解:O的半径为2,OB=2,AC=4,OPBC,C=BOP,又ABC=PBO=90,ABCPBO,即,BC=2 课后反
17、击1、如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A(3,2) B(3,1)C(2,2) D(4,2)【解析】正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,=,BG=6,AD=BC=2, ADBG,OADOBG,=,=,解得:OA=1,OB=3,C点坐标为:(3,2),故选:A2、如图,ACBD,AD与BC交于点E,过点E作EFBD,交线段AB于点F,则下列各式错误的是()A= B= C+=1 D=【解析】D3、为了加强视力保护意识,小明要在书房里
18、挂一张视力表由于书房空间狭小,他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表如图,如果大视力表中“E”的高度是3.5cm,那么小视力表中相应“E”的高度是()A3cm B2.5cm C2.3cm D2.1cm【解析】D4、如图,在ABC与ADE中,BAC=D,要使ABC与ADE相似,还需满足下列条件中的()A= B= C= D=【解析】C5、2015年6月27日,四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训,参加培训的小王想把一块RtABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片,如图所示,若C=30,AB=10cm,则该矩形BDEF的面积最大为()A4cm3 B5cm3
19、C10cm3 D25cm3【解析】RtABC中,C=30,AB=10cm,BC=10cmEFBC,AEF=C=30,设EF=x,则AF=x,BF=10x,S矩形BDEF=BDBF=x(10x)=x2+10x(0x10),当x=5时,S最大=25cm2故选D6、兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下,一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为()A9.5米 B10.75米 C11.8米 D9.8米【解析】
20、根据题意可构造相似三角形模型如图:延长FE交AB于G,则RtABCRtAGF,AG:GF=AB:BC=物高:影长=1:0.5GF=0.5AG又GF=GE+EF,BD=GE GF=4.6 AG=9.2AB=AG+GB=9.5,即树高为9.5米故选A7、如图,在ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动,那么何时QBP与ABC相似?【解析】设经过t秒时,以QBC与ABC相似,则AP=2t,BP=82t,BQ=4t,PBQ=ABC,当=时,BPQBAC,即=,解得t=2(s);当=时
21、,BPQBCA,即=,解得t=0.8(s);即经过2秒或0.8秒时,QBC与ABC相似8、如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树高AB【解析】在DEF和DBC中,DEFDBC,=,即=,解得BC=4,AC=1.5m,AB=AC+BC=1.5+4=5.5m,即树高5.5m9、已知:如图,在RtABC中,C=90,BD平分ABC,交AC于点D,经过B、D两点的O交AB 于点E,交BC于点F,EB为O的
22、直径(1)求证:AC是O的切线;(2)当BC=2,cosABC=时,求O的半径【解析】(1)证明:如图,连结ODOD=OB1=2BD平分ABC,1=32=3 ODBCADO=C=90ODACOD是O的半径,AC是O的切线 (2)解:在RtACB中,C=90,BC=2,cosABC=, 设O的半径为r,则AO=6rODBC,AODABC解得 O的半径为直击中考1、【2011深圳】如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC相似的是( ) A B C D【解析】B2、【2006深圳】如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E
23、处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于( )A4.5米 B6米 C7.2米 D8米【解析】B3、【2011深圳】如图,ABC与DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:BE的值为( )A:1 B:1 C5:3 D不确定【解析】连接OA、OD,ABC与DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,AOBC,DOEF,EDO=30,BAO=30,OD:OE=OA:OB=:1,DOE+EOA=BOA+EOA即DOA=EOB,DOAEOB,OD:OE=OA:OB=AD:BE=:1故选:A4、【2016深圳】如图,CB=CA,ACB=90,点D在边BC上
24、(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FGCA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:AC=FG;SFAB:S四边形CBFG=1:2;ABC=ABF;AD2=FQAC,其中正确的结论的个数是( )A1 B2 C3 D4【解析】FGAACD(AAS),AC=FG,正确;BC=AC,FG=BC,ACB=90,FGCA,FGBC,四边形CBFG是矩形,CBF=90,SFAB=FBFG=S四边形CBFG,正确;CA=CB,C=CBF=90,ABC=ABF=45,正确;FQE=DQB=ADC,E=C=90,ACDFEQ,AC:AD=FE:FQ,ADFE=AD2=FQAC,正确;故选:DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 成比例线段 2、 平行线分线段成比例3、 三角形相似的条件 4、 利用三角形相似测高5、相似三角形的性质与位似 名师点拨 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型,掌握对应的性质,并多加练习和总结,是解决本章内容的关键;对于动点类的题,以不变的数量关系,列方程解决,克服畏难心理是前提;对于中考当中的综合题,三角形相似是求解未知线段长度的一种重要方法。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15