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中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数(培优)-教案

1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第10讲-直角三角形与锐角三角函数 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练掌握直角三角形的性质与判定; 熟练掌握特殊角的三角函数值; 熟练应用锐角三角函数计算高度。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念(一)直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中,30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(二)直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直

2、角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_,则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_,那么这个三角形是直角三角形(三)锐角三角函数定义在RtABC中,C90,A,B,C的对边分别为a,b,CA的正弦:sin A_;A的余弦:cos A_;A的正切:tan A_.它们统称为A的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用,如果没有直角三角形,常通过作垂线构造直角三角形(四)特殊角的三角函数值(五)解直角三角形1定义:由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(直角三角形中,除直角外,一共

3、有5个元素,即3条边和2个锐角)2直角三角形的边角关系:在RtABC中,C90,A,B,C的对边分别为a,b,C(1)三边之间的关系:_;(2)锐角之间的关系:_;(3)边角之间的关系:sin A,cos A,tan A,sin B,cos B,tan B.3解直角三角形的几种类型及解法:(1)已知一条直角边和一个锐角(如a,A),其解法为:B90A,c,b(或b);(2)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法为:B90A,acsin A,bccos A(或b);(3)已知两直角边a,b,其解法为:c,由tan A,得A,B90A;(4)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b,由sin

4、A,求出A,B90A(六)解直角三角形的应用(测高)1仰角与俯角:在进行观察时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度:坡角是坡面与水平面所成的角;坡度是斜坡上两点_与水平距离之比,常用i表示,也就是坡角的正切值,坡角越大,坡度越大,坡面_考点一: 直角三角形的性质例1、ABC中,A,B,C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是()AA+B=C BA:B:C=1:2:3Ca2=c2b2 Da:b:c=3:4:6【解析】D例2、如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰

5、好为AB的中点,则B的度数是()A60 B45 C30 D75【解析】C例3、如图,ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则CDE的周长为()A20 B12 C14 D13【解析】C例4、如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1、S2,则S1+S2的值为()A16 B17 C18 D19【解析】设正方形S1的边长为x,AB=BC,DE=DC,ABC=D=90,sinCAB=sin45=,即AC=BC,同理可得:BC=CE=CD,AC=BC=2CD,又AD=AC+CD=6,CD=2,EC2=22+22,即EC

6、=2;S1的面积为EC2=22=8;MAO=MOA=45,AM=MO,MO=MN,AM=MN,M为AN的中点,S2的边长为3,S2的面积为33=9,S1+S2=8+9=17故选B考点二:锐角三角函数 例1、如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,则下列结论不正确的是()A BC D【解析】C例2、一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要()A米2 B米2C(4+)米2 D(4+4tan)米2【解析】在RtABC中,BC=ACtan=4tan(米),AC+BC=4+4tan(米)

7、,地毯的面积至少需要1(4+4tan)=4+4tan(米2);故选:D例3、已知a是锐角,且sin(a+15)=,计算4cos(3.14)0+tan+的值【解析】sin60=,+15=60,=45,原式=241+1+3=3考点三: 利用锐角三角函数测高例1、如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30,向N点方向前进16m到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45,则建筑物MN的高度等于()A8()m B8()mC16()m D16()m【解析】A例2、如图,某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘

8、正在南海巡航的渔政船前往救援,当飞机到达海面3000m的高空C处时,测得A处渔政船的俯角为45,测得B处发生险情渔船的俯角为30,此时渔政船和渔船的距离AB是()A3000m B3000()mC3000()m D1500m【解析】C例3、如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是()A20海里 B40海里 C20海里 D40海里【解析】C例4、某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45,沿山坡向上走到B处测得宣传牌

9、底部C的仰角为30已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度【解析】过B作BFAE,交EA的延长线于F,作BGDE于G在RtABF中,i=tanBAF=,BAF=30,BF=AB=5,AF=5BG=AF+AE=5+15在RtBGC中,CBG=30,CG:BG=,CG=5+5在RtADE中,DAE=45,AE=15,DE=AE=15,CD=CG+GEDE=5+5+515=(55)m答:宣传牌CD高约(55)米P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,则ABC的形状为()A直角三角形 B锐

10、角三角形C钝角三角形 D以上答案都不对【解析】A2、如图,一棵树在一次强台风中,从离地面5 m处折断,倒下的部分与地面成30角,如图所示,这棵树在折断前的高度是()A10m B15m C5m D20m【解析】B3、如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=()A3 B4 C5 D6【解析】C4、如图,ABC中,AB=AC=5,BC=6,AE平分BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则BDE的面积是()A3 B6 C10 D12【解析】ABC中,AB=AC,AE平分BAC交BC于点E,AEBC,且BE=CE,AE=4,SAB

11、C=BCAE=64=12,点D为AB的中点,DE是ABC的中位线,DEAC,且DE=AC,=,SBDE=SABC=12=3,故选A5、ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PDAB于点D,PEAC于点E,则PD+PE的长是()A4.8 B4.8或3.8 C3. 8 D5【解析】过A点作AFBC于F,连结AP,ABC中,AB=AC=5,BC=8,BF=4,ABF中,AF=3,83=5PD+5PE,12=5(PD+PE)PD+PE=4.8故选:A6、如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南

12、偏东30方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A60海里 B45海里 C20海里 D30海里【解析】D7、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x、y表示直角三角形的两直角边(xy),下列四个说法:x2+y2=49,xy=2,2xy+4=49,x+y=9其中说法正确的是()A B C D【解析】正确,错误故选B8、如图,ABC中,AB=AC,点D是BC上一点,DEAB于E,FDBC于D,G是FC的中点,连接GD求证:GDDE【解析】AB=AC,B=C,DEAB,FDBC,BED=FDC=90,1+B=

13、90,3+C=90,1=3,G是直角三角形FDC的斜边中点,GD=GF,2=3,1=2,FDC=2+4=90,1+4=90,2+FDE=90,GDDE9、如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角DCE=30,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A、C、E在同一直线上(1)求斜坡CD的高度DE;(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)【解析】(1)在RtDCE中,DC=4米,DCE=30,DEC=90,DE=DC=2米;(2)过D作DFAB,交AB于点F,BFD=90,BDF=45,BFD=45,即BFD为等腰直角三角形,设BF=

14、DF=x米,四边形DEAF为矩形,AF=DE=2米,即AB=(x+2)米,在RtABC中,ABC=30,BC=米,BD=BF=x米,DC=4米,DCE=30,ACB=60,DCB=90,在RtBCD中,根据勾股定理得:2x2=+16,解得:x=4+4,则AB=(6+4)米 课后反击1、如图,在ABC中,ACB=90,CD是AB边上的高线,图中与A互余的角有()A0个 B1个 C2个 D3个【解析】C2、如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行()A8米 B10米 C12米 D14米【解析】B3、如图,在ABC中,C=90,B

15、=30,AD平分CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是()ACAD=30 BAD=BD CBD=2CD DCD=ED【解析】D4、如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A2.5 B C D2【解析】连接AC、CF, H是AF的中点,CH=AF=2=选:B5、如图,在ABC中,ADBC,垂足为点D,若AC=6,C=45,tanABC=3,则BD等于()A2 B3 C3 D2【解析】A6、如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向

16、外作正方形,其面积标记为S2,按照此规律继续下去,则S2016的值为()A()2013 B()2014 C()2013 D()2014【解析】正方形ABCD的边长为2,CDE为等腰直角三角形,DE2+CE2=CD2,DE=CE,S2+S2=S1观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,Sn=当n=2016时,S2016=故选C7、如图,ABC中AB=AC=4,C=72,D是AB中点,点E在AC上,DEAB,则cosA的值为()A B C D【解析】ABC中,AB=AC=4,C=72,ABC=C=72,A=36,D是AB中点,DEAB,AE=BE,ABE=A=

17、36,EBC=ABCABE=36,BEC=180EBCC=72,BEC=C=72,BE=BC,AE=BE=BC设AE=x,则BE=BC=x,EC=4x在BCE与ABC中,BCEABC,=,即=,解得x=22(负值舍去),AE=2+2在ADE中,ADE=90,cosA=故选C8、已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为AB边上一点(1)求证:ACEBCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2【解析】证明:(1)ABC和ECD都是等腰直角三角形,AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=90,ACE+ACD=BCD+ACD,ACE=BCD,在ACE和BCD中,AECB

18、DC(SAS);(2)ACB是等腰直角三角形,B=BAC=45度ACEBCD,B=CAE=45;DAE=CAE+BAC=45+45=90,AD2+AE2=DE2由(1)知AE=DB,AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB29、如图,建筑物AB后有一座假山,其坡度为i=1:,山坡上E点处有一凉亭,测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米,与凉亭距离CE=20米,某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45,求建筑物AB的高(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)【解析】过点E作EFBC于点F,过点E作ENAB于点N,建筑物AB后有一座假山,其坡度为i=1:,设EF=x,则FC=x,CE

19、=20米,x2+(x)2=400,解得:x=10,则FC=10m,BC=25m,BF=NE=(25+10)m,AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=(35+10)m,答:建筑物AB的高为(35+10)m直击中考1、【2014泰州】如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是()A1,2,3 B1,1, C1,1, D1,2,【解析】D2、【2010苏州】如图,在菱形ABCD中,DEAB,BE=2,则tanDBE的值()A B2 C D【解析】设菱形ABCD边长为tBE=2,AE=t2cosA=,=t=5A

20、E=52=3DE=4tanDBE=2故选B3、【2015日照】如图,在直角BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tanCAD的值()A B C D【解析】:如图,延长AD,过点C作CEAD,垂足为E,tanB=,即=,设AD=5x,则AB=3x,CDE=BDA,CED=BAD,CDEBDA,CE=x,DE=,AE=,tanCAD=故选D4、【2016攀枝花】如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在A上,BD是A的一条弦,则sinOBD=()A B C D【解析】连接CD,OBD=OCD,sinOBD=sinOCD=故选:D5、【2014威海】如图,在下

21、列网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则AOB的正弦值是()A B C D【解析】D6、【2011黄石】计算: 【解析】27、【2013威海】操作发现:将一副直角三角板如图摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决:将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图(1)求证:CDO是等腰三角形; (2)若DF=8,求AD的长【解析】(1)证明:由图知BC=DE,BDC=BCD,DEF=30,BDC=BCD=75,ACB=45,DCO+BCO=75DCO=30;DCO+CDO

22、+DOC=180,DOC=30+45=75,DOC=BDC,CDO是等腰三角形;(2)解:作AGBC,垂足为点G,DHBF,垂足为点H,在RtDHF中,F=60,DF=8,DH=4,HF=4,在RtBDF中,F=60,DF=8,DB=8,BF=16,BC=BD=8,AGBC,ABC=45,BG=AG=4,AG=DH,AGBC,DHBF,AGDH,又ADBF,AGC=90,四边形AGHD为矩形,AD=GH=BFBGHF=1644=1248、【2016昆明】如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30,测得大楼顶端A的仰角为45(点B,

23、C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:1.414,1.732)【解析】过点D作DFAB于点F,过点C作CHDF于点H则DE=BF=CH=10m,在直角ADF中,AF=80m10m=70m,ADF=45,DF=AF=70m在直角CDE中,DE=10m,DCE=30,CE=10(m),BC=BECE=70107017.3252.7(m)答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7m9、【2016乐山】如图,禁止捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船

24、,正在沿南偏东75方向以每小时10海里的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发,在C处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时; 由题意得:ABC=45+75=120,AB=12,BC=10x,AC=14x,过点A作ADCB的延长线于点D,在RtABD中,AB=12,ABD=60,BD=ABcos60=AB=6,AD=ABsin60=6,CD=10x+6在RtACD中,由勾股定理得: ,解得:(不合题意舍去)答:巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 直角三角形的性质与判定2、 锐角三角函数及其应用名师点拨该部分是中考考查的热点之一,主要考查直角三角形的判定和性质的应用、运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力;运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是重中之重。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14