1、 2017年春季初三年级数学教材 A版 第05讲 中考数学满分冲刺（五）冲刺技巧动态几何问题从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。满分点拨 典例分
2、析一、 单动点形成的最值问题：例1、如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.【答案】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，顶点D的坐标为.令y=0，得，解得.点A在点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为.（2）如答图1，过D点作DGy轴于点G，则G，GD=3
3、.在中令x=0，得，点C的坐标为.GC=.设抛物线对称轴交x轴于点M，OECD，GCD+COH=90.MOE+COH=90，MOE=GCD.又CGD=OME=90，DCGEOM.，即.EM=2，即点E的坐标为（3，2），ED=3.由勾股定理，得，.AED是直角三角形.设AE交CD于点F，ADC+AFD=90.又AEO+HFE=90，AFD=HFE，AEO=ADC.（3）由E的半径为1，根据勾股定理得，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即最小.设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得.，.当y=1时，最小值为5.把y=1代入，得，解得.又点P在对称轴右侧的抛物线上，舍去.点P的坐标为（5，1）
4、.此时点Q的坐标为（3，1）或.【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.例2、如图，已知抛物线图象经过A（1，0），B（4，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DEBC交AC于E，DFAC交BC于F求证：四边形DECF是矩形；连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（
5、1）抛物线图象经过A（1，0），B（4，0）两点，根据交点式，得.抛物线的解析式为：.（2）证明：把C（m，m1）代入得， 解得：m=3或m=2.C（m，m1）位于第一象限，解得m1.m=2舍去，m=3.点C坐标为（3，2）.由A（1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5.如答图，过C点作CHAB，垂足为H，则AHC=BHC=90，DEBC，DFAC，四边形DECF是平行四边形.，AHC=BHC=90AHCCHB. ACH=CBH.CBH+BCH=90，ACH+BCH=90.ACB=90. DECF是矩形.存在，如答图，连接CD，四边形DECF是矩形，EF
6、=CD.根据垂线段的性质，当CDAB时，CD的值最小，C（3，2），DC的最小值是2. EF的最小值是2.【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.二次函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.矩形的判定和性质；7. 垂线段的性质二、动点形成等腰三角形存在性问题：例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点
7、，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0），C（0，2），解得：抛物线的解析式为：（2）存在，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=若CDP是以CD为腰的等腰三角形，则CP1=CP2=CP3=CD如答图1，作CHx轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）（3）当y=0时，解得x1=1，x2=4，B（4，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，直线BC的解析式为：如答图2，过点C
8、作CMEF于M，设E（a，），F（a，），EF=（） =（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF =BDOC+EFCM+EFBN， = =（0x4）当a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，此时E（2，1）【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与言辞的关系；5.二次函数的性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用例2、如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动
9、，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标【答案】解：（1）二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得.该二次函数的解析式为令x=0，得y=，C（0，）（2）存在如答图1，过点Q作QHOA于H，此时QHOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB=
10、4，OA=3，OC=4，AC=，AQ=4QHOC，AHQAOC. ，即.如答图2，作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，HE=AHAE=，在RtEHQ中，解得 ，OAAE=E（，0）如答图3，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AH=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，OAAE=34=1，E（1，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为理由如下：如答图4，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t
11、，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形.FQOC，AFQAOC. ，即.AF=，FQ=，Q.DQ=AP=t，D.D在二次函数上，解得t=或t=0（与A重合，舍去）.D【考点】1.二次函数综合题；2.双动点和折叠问题；3.等腰三角形存在性问题；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.相似三角形的减少性质；7.分类思想和方程思想的应用来三、动点形成全等、相似三角形存在性问题：例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B
12、，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（2，0），0=4a2b+4，对称轴是x=3，即6a+b=0，两关于a、b的方程联立解得，抛物线为（2）四边形为平行四边形，且BCMN，BC=MN如答图1，N在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合设M（x，），则N（x+2，），N在x轴上，=0，解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，xM=
13、6. M（6，4）如答图2，M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合设M（x，），则N（x2，），N在x轴上，=0，解得 x=或x=，xM=或M（，4）或（，4）综上所述，M的坐标为（6，4）或（，4）或（，4）（3）点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5. 平行四边形的性质；6.勾股定理；7.全等三角形的性质；8.分类思想的应用【分析】（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可由对称轴为，又过点A（2，0），所以函数表达式易得（2）四
14、边形为平行四边形，则必定对边平行且相等因为已知MNBC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合（3）使PBDPBC，易考虑CBD的平分线与抛物线的交点确定平分线可因为BC=BD，可作等腰BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可OC=4，OB=3，BC=5如果PBDPBC，那么BD=BC=5，D在x轴上，D为（2，0）或（8，0）当D为（2，0）时，如答图3，连接CD，过B作直线BE平分DBC交CD于E，交抛物线于P
15、1，P2，此时P1BCP1BD，P2BCP2BD，来源:Zxxk.ComBC=BD，E为CD的中点，即E（1，2），设过E（1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则 ，解得 ，BE：设P（x，y），则有，解得 ，或.则P1（，），P2（，）当D为（8，0）时，如答图4，连接CD，过B作直线BF平分DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，此时P3BCP3BD，P4BCP4BD，BC=BD，F为CD的中点，即F（4，2），设过F（4，2），B（3，0）的直线为y=mx+n，则，解得 ，BE：设P（x，y），则有，解得 或.则P3（，），P4（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）或（，）或
16、（，）例2、已知抛物线C1：的顶点为A，且经过点B（2，1）（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求SOAC：SOAD的值；（3）如图2，若过P（4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线C1：的顶点为A，点A的坐标为（1，2）抛物线C1：经过点B（2，1），解得：a=1抛物线
17、C1的解析式为：（2）抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，抛物线C2的解析式为：设直线AB的解析式为y=kx+bA（1，2），B（2，1），解得：.直线AB的解析式为联立，解得：或C（3，0），D（0，3）OC=3，OD=3如答图1，过点A作AEx轴，垂足为E，过点A作AFy轴，垂足为F，A（1，2），AF=1，AE=2来源:学+科+网SOAC：SOAD的值为2（3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H，设点G的坐标为（0，t），当ml时，CGPQOCGOPQP（4，0），Q（0，2），OP=4，OQ=2. ，解得OG=.t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形t=0时，直线m与x
18、轴重合，直线l，m与x轴不能构成三角形t0且tt0时，如答图2所示PHCPQG，PHCQGH，PHCPQG，PHCQGH当PHC=GHQ时，PHC+GHQ=180，PHC=GHQ=90POQ=90，HPC=90PQO=HGQPHCGHQQPO=OGC，tanQPO=tanOGC，即，解得OG=6点G的坐标为（0，6）设直线m的解析式为y=mx+n，点C（3，0），点G（0，6）在直线m上，解得：直线m的解析式为.联立，解得：或E（1，4），此时点E在顶点，符合条件直线m的解析式为Ot时，如答图3所示，tanGCO=，tanPQO=，tanGCOtanPQOGCOPQOGCO=PCH，PCHPQ
19、O又HPCPQO，PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时，如答图4所示tanCGO=，tanQPO=tanCGOtanQPOCGOQPOCGO=QGH，QGHQPO.又HQGQPO，PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时，如答图5所示，此时点E在对称轴的右侧PCHCGO，PCHCGO当QPC=CGO时，PHC=QHG，HPC=HGQ，PCHGQH符合条件的直线m存在QPO=CGO，POQ=GOC=90，POQGOC，即，解得OG=6点G的坐标为（0，6）设直线m的解析式为y=px+q，点C（3，0）、点G（0，6）在直线m上，解得：直线m的解析式为y=2x+6综上所述：存在
20、直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，此时直线m的解析式为和y=2x+6【考点】1.二次函数综合题；2.平移问题；3.相似三角形存在性问题；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数的性质；8.分类思想的应用基础夯实1、如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C则四边形OBAC周长的最小值为 （ ）A 4B3C 2D1【答案】A。【考点】反比例函数综合题，矩形的判定和性质，配方法的应用，函数的最值。【分析】反比例函数在第一象限的图象，点A为
21、此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C四边形OBAC为矩形。设宽BO=x，则AB=，则。四边形OBAC周长的最小值为4。故选A。2、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB则PAB面积的最大值是（）A8 B12 C D【答案】C考点：1圆的综合题；2最值问题；3动点型 3、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线CDE上移动，若点C、D、E的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B
22、。4、如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 【答案】【考点】1.单动点问题；2. 三角形三边关系；3.勾股定理5、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 【答案】.【考点】1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.【分析】如答图，作A点关于直线y=x的对称点A，连接AB，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，由题意可得出：OA=1，BO=2，PA=PA，PA+PB的最小值为.6、如图，
23、在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 【答案】10。【考点】正方形的性质，轴对称的应用（最短路线问题），勾股定理。【分析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称。PB=PD，PB+PE=PD+PE=DE。BE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8。PB+PE的最小值是10。满分冲刺1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以
24、CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0），C（0，2），解得：抛物线的解析式为：（2）存在，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=若CDP是以CD为腰的等腰三角形，则CP1=CP2=CP3=CD如答图1，作CHx轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）（3）当y=0时，解得x1=
25、1，x2=4，B（4，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，直线BC的解析式为：如答图2，过点C作CMEF于M，设E（a，），F（a，），EF=（）=（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=（0x4）当a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，此时E（2，1）【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与言辞的关系；5.二次函数的性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用2、已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0
26、）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A（2，0），C（，0），设抛物线的解析式为抛物线经过B（0，2），解得抛物线的解析式为即（2）AQPB，BOAP，AOQ=BOP=90，PAQ=PBO，AO=BO=2，AOQBOP（ASA），OQ=OP=t如答图1，当t2时，点Q在点B下方，此时BQ=2t
27、，AP=2+tBQ=AP，2t=（2+t），解得t=如答图2，当t2时，点Q在点B上方，此时BQ=t2，AP=2+tBQ=AP，t2=（2+t），解得t=6综上所述，t=或6时，BQ=AP（3）存在，当t=时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=时，抛物线上存在点M（3，3）【考点】1二次函数综合题；2单动点问题；3待定系数法的应用；4曲线上点的坐标与方程的关系；5全等三角形的判定和性质；6等腰直角三角形的判定和性质；7等边三角形的性质；8勾股定理；9分类思想和方程思想的应用【分析】（1）因为抛物线经过A（2，0），C（，0），所以可设交点式，应用待定系数即得a、b、c的值即得解析式（2）BQ=
28、AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形考虑MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时MPQ为等边三角形若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性：AQBP，QAO+BPO=90QAO+AQO=90
29、，AQO=BPO在AOQ和BOP中，AQO=BPO，AOQ=BOP=90，AO=BO，AOQBOP（AAS）OP=OQOPQ为等腰直角三角形MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，直线y=x垂直平分PQ，M在y=x上设M（x，y），则，解得 或，M点可能为（1，1）或（3，3）如答图3，当M的坐标为（1，1）时，作MDx轴于D，则有PD=|1t|，MP2=1+|1t|2=t22t+2，PQ2=2t2，MPQ为等边三角形，MP=PQt2+2t2=0t=，t=（负值舍去）如答图4，当M的坐标为（3，3）时，作MEx轴于E，则有PE=3+t，ME=3，MP2=32+（3+t）2=t2+6t
30、+18，PQ2=2t2MPQ为等边三角形，MP=PQt26t18=0t=，t=（负值舍去）综上所述，当t=时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=时，抛物线上存在点M（3，3），使得MPQ为等边三角形3、如图，在RtABC中，BAC=90，B=60，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与RtABC重叠部分的
31、图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，CPD是等腰三角形？【答案】解：BAC=90，B=60，BC=16cm，AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）当G刚好落在线段AD上时，ED=BDBE=3cm，t=s=3s（2）当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，则HMB=90，B=60，MH=1.BM=cm. t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，
32、令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，AD=AH+DH=x+x=x=4，x=3当t4时，SMNGN=1cm2当4t6时，SMNGH=（t3）2cm2S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，MN=6cm，EN=3cm+6cm=9cm. t=9s，故当t=9s的时候，CPD为等腰三角形；当DC=PC时，DC=PC=12cm，NC=6cm.EN=16cm1cm6cm=（156）cm.t=（156）s.故当t=（156）s时，CPD为等腰三角形综上所述，当t=9s或t=（156）s时，CPD为等腰三角形【考点】1.双动点问题；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.思考乐优学产品中心 初中组22