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中考数学满分冲刺 (五)- 教案

1、 2017年春季初三年级数学教材 A版 第05讲 中考数学满分冲刺(五)冲刺技巧动态几何问题从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,由于有些题目比较难和繁琐,建议大家静下心来慢慢研究,在这些题上花越多时间,中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。满分点拨 典例分

2、析一、 单动点形成的最值问题:例1、如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OECD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证:AEO=ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作O的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.【答案】解:(1)抛物线与x轴交于A,B两点,顶点D的坐标为.令y=0,得,解得.点A在点B的左侧,点A的坐标为,点B的坐标为.(2)如答图1,过D点作DGy轴于点G,则G,GD=3

3、.在中令x=0,得,点C的坐标为.GC=.设抛物线对称轴交x轴于点M,OECD,GCD+COH=90.MOE+COH=90,MOE=GCD.又CGD=OME=90,DCGEOM.,即.EM=2,即点E的坐标为(3,2),ED=3.由勾股定理,得,.AED是直角三角形.设AE交CD于点F,ADC+AFD=90.又AEO+HFE=90,AFD=HFE,AEO=ADC.(3)由E的半径为1,根据勾股定理得,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即最小.设点P的坐标为(x,y),根据勾股定理得.,.当y=1时,最小值为5.把y=1代入,得,解得.又点P在对称轴右侧的抛物线上,舍去.点P的坐标为(5,1)

4、.此时点Q的坐标为(3,1)或.【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.直角三角形两锐角的关系;5.相似三角形的判定和性质;6.勾股定理和逆定理;7.切线的性质;8.二次函数的性质;9.解二元二次方程组.例2、如图,已知抛物线图象经过A(1,0),B(4,0)两点(1)求抛物线的解析式;(2)若C(m,m1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D分别作DEBC交AC于E,DFAC交BC于F求证:四边形DECF是矩形;连结EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由【答案】解:(

5、1)抛物线图象经过A(1,0),B(4,0)两点,根据交点式,得.抛物线的解析式为:.(2)证明:把C(m,m1)代入得, 解得:m=3或m=2.C(m,m1)位于第一象限,解得m1.m=2舍去,m=3.点C坐标为(3,2).由A(1,0)、B(3,0)、C(3,2)得 AH=4,CH=2,BH=1,AB=5.如答图,过C点作CHAB,垂足为H,则AHC=BHC=90,DEBC,DFAC,四边形DECF是平行四边形.,AHC=BHC=90AHCCHB. ACH=CBH.CBH+BCH=90,ACH+BCH=90.ACB=90. DECF是矩形.存在,如答图,连接CD,四边形DECF是矩形,EF

6、=CD.根据垂线段的性质,当CDAB时,CD的值最小,C(3,2),DC的最小值是2. EF的最小值是2.【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.二次函数的性质;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.相似三角形的判定和性质;6.矩形的判定和性质;7. 垂线段的性质二、动点形成等腰三角形存在性问题:例1、如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2)(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E时线段BC上的一个动点

7、,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标【答案】解:(1)抛物线经过A(1,0),C(0,2),解得:抛物线的解析式为:(2)存在,抛物线的对称轴是x=OD=C(0,2),OC=2在RtOCD中,由勾股定理,得CD=若CDP是以CD为腰的等腰三角形,则CP1=CP2=CP3=CD如答图1,作CHx轴于H,HP1=HD=2,DP1=4P1(,4),P2(,),P3(,)(3)当y=0时,解得x1=1,x2=4,B(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:,直线BC的解析式为:如答图2,过点C

8、作CMEF于M,设E(a,),F(a,),EF=() =(0x4)S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF =BDOC+EFCM+EFBN, = =(0x4)当a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,此时E(2,1)【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与言辞的关系;5.二次函数的性质;6.勾股定理;7. 等腰三角形的性质;8.由实际问题列函数关系式;9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用例2、如图,二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0),与y轴交于点C若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动

9、,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由(3)当P,Q运动到t秒时,APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标【答案】解:(1)二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0),解得.该二次函数的解析式为令x=0,得y=,C(0,)(2)存在如答图1,过点Q作QHOA于H,此时QHOC,A(3,0),B(1,0),C(0,4),O(0,0),AB=

10、4,OA=3,OC=4,AC=,AQ=4QHOC,AHQAOC. ,即.如答图2,作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即AEQ为等腰三角形,设AE=x,则EQ=x,HE=AHAE=,在RtEHQ中,解得 ,OAAE=E(,0)如答图3,以Q为圆心,AQ长半径画圆,交x轴于E,此时QE=QA=4,ED=AH=,AE=,OAAE=3=,E(,0)当AE=AQ=4时,OAAE=34=1,E(1,0)综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(,0)或(,0)或(1,0)(3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为理由如下:如答图4,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,FQAP于F,AP=AQ=t

11、,AP=DP,AQ=DQ,AP=AQ=QD=DP,四边形AQDP为菱形.FQOC,AFQAOC. ,即.AF=,FQ=,Q.DQ=AP=t,D.D在二次函数上,解得t=或t=0(与A重合,舍去).D【考点】1.二次函数综合题;2.双动点和折叠问题;3.等腰三角形存在性问题;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.勾股定理;6.相似三角形的减少性质;7.分类思想和方程思想的应用来三、动点形成全等、相似三角形存在性问题:例1、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B(1)求抛物线的函数表达式;(2)经过B

12、,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得PBDPBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(2,0),0=4a2b+4,对称轴是x=3,即6a+b=0,两关于a、b的方程联立解得,抛物线为(2)四边形为平行四边形,且BCMN,BC=MN如答图1,N在M点右下方,即M向下平移4个单位,向右平移2个单位与N重合设M(x,),则N(x+2,),N在x轴上,=0,解得 x=0(M与C重合,舍去),或x=6,xM=

13、6. M(6,4)如答图2,M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合设M(x,),则N(x2,),N在x轴上,=0,解得 x=或x=,xM=或M(,4)或(,4)综上所述,M的坐标为(6,4)或(,4)或(,4)(3)点P的坐标为(,)或(,)或(,)或(,)【考点】1.二次函数综合题;2.线动平移问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5. 平行四边形的性质;6.勾股定理;7.全等三角形的性质;8.分类思想的应用【分析】(1)解析式已存在,y=ax2+bx+4,我们只需要根据特点描述求出a,b即可由对称轴为,又过点A(2,0),所以函数表达式易得(2)四

14、边形为平行四边形,则必定对边平行且相等因为已知MNBC,所以MN=BC,即M、N的位置如B、C位置关系,则可分2种情形,N点在M点右下方,即M向下平行4个单位,向右2个单位与N重合;M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合(3)使PBDPBC,易考虑CBD的平分线与抛物线的交点确定平分线可因为BC=BD,可作等腰BCD,利用三线合一,求其中线所在方程,进而与抛物线联立得方程组,解出P即可OC=4,OB=3,BC=5如果PBDPBC,那么BD=BC=5,D在x轴上,D为(2,0)或(8,0)当D为(2,0)时,如答图3,连接CD,过B作直线BE平分DBC交CD于E,交抛物线于P

15、1,P2,此时P1BCP1BD,P2BCP2BD,来源:Zxxk.ComBC=BD,E为CD的中点,即E(1,2),设过E(1,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则 ,解得 ,BE:设P(x,y),则有,解得 ,或.则P1(,),P2(,)当D为(8,0)时,如答图4,连接CD,过B作直线BF平分DBC交CD于F,交抛物线于P3,P4,此时P3BCP3BD,P4BCP4BD,BC=BD,F为CD的中点,即F(4,2),设过F(4,2),B(3,0)的直线为y=mx+n,则,解得 ,BE:设P(x,y),则有,解得 或.则P3(,),P4(,)综上所述,点P的坐标为(,)或(,)或(,)或

16、(,)例2、已知抛物线C1:的顶点为A,且经过点B(2,1)(1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式;(2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求SOAC:SOAD的值;(3)如图2,若过P(4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由【答案】解:(1)抛物线C1:的顶点为A,点A的坐标为(1,2)抛物线C1:经过点B(2,1),解得:a=1抛物线

17、C1的解析式为:(2)抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得,抛物线C2的解析式为:设直线AB的解析式为y=kx+bA(1,2),B(2,1),解得:.直线AB的解析式为联立,解得:或C(3,0),D(0,3)OC=3,OD=3如答图1,过点A作AEx轴,垂足为E,过点A作AFy轴,垂足为F,A(1,2),AF=1,AE=2来源:学+科+网SOAC:SOAD的值为2(3)设直线m与y轴交于点G,与直线l交于点H,设点G的坐标为(0,t),当ml时,CGPQOCGOPQP(4,0),Q(0,2),OP=4,OQ=2. ,解得OG=.t=时,直线l,m与x轴不能构成三角形t=0时,直线m与x

18、轴重合,直线l,m与x轴不能构成三角形t0且tt0时,如答图2所示PHCPQG,PHCQGH,PHCPQG,PHCQGH当PHC=GHQ时,PHC+GHQ=180,PHC=GHQ=90POQ=90,HPC=90PQO=HGQPHCGHQQPO=OGC,tanQPO=tanOGC,即,解得OG=6点G的坐标为(0,6)设直线m的解析式为y=mx+n,点C(3,0),点G(0,6)在直线m上,解得:直线m的解析式为.联立,解得:或E(1,4),此时点E在顶点,符合条件直线m的解析式为Ot时,如答图3所示,tanGCO=,tanPQO=,tanGCOtanPQOGCOPQOGCO=PCH,PCHPQ

19、O又HPCPQO,PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时,如答图4所示tanCGO=,tanQPO=tanCGOtanQPOCGOQPOCGO=QGH,QGHQPO.又HQGQPO,PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时,如答图5所示,此时点E在对称轴的右侧PCHCGO,PCHCGO当QPC=CGO时,PHC=QHG,HPC=HGQ,PCHGQH符合条件的直线m存在QPO=CGO,POQ=GOC=90,POQGOC,即,解得OG=6点G的坐标为(0,6)设直线m的解析式为y=px+q,点C(3,0)、点G(0,6)在直线m上,解得:直线m的解析式为y=2x+6综上所述:存在

20、直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似,此时直线m的解析式为和y=2x+6【考点】1.二次函数综合题;2.平移问题;3.相似三角形存在性问题;4.待定系数法的应用;5.曲线上点的坐标与方程的关系;6.相似三角形的判定和性质;7.锐角三角函数的性质;8.分类思想的应用基础夯实1、如图为反比例函数在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点A分别作ABx轴和ACy轴,垂足分别为B,C则四边形OBAC周长的最小值为 ( )A 4B3C 2D1【答案】A。【考点】反比例函数综合题,矩形的判定和性质,配方法的应用,函数的最值。【分析】反比例函数在第一象限的图象,点A为

21、此图象上的一动点,过点A分别作ABx轴和ACy轴,垂足分别为B,C四边形OBAC为矩形。设宽BO=x,则AB=,则。四边形OBAC周长的最小值为4。故选A。2、如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB则PAB面积的最大值是()A8 B12 C D【答案】C考点:1圆的综合题;2最值问题;3动点型 3、如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线CDE上移动,若点C、D、E的坐标分别为(1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B

22、。4、如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 【答案】【考点】1.单动点问题;2. 三角形三边关系;3.勾股定理5、在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为 【答案】.【考点】1.轴对称的应用(最短路线问题);2.直线上点的坐标与方程的关系;3.勾股定理.【分析】如答图,作A点关于直线y=x的对称点A,连接AB,交直线y=x于点P,此时PA+PB最小,由题意可得出:OA=1,BO=2,PA=PA,PA+PB的最小值为.6、如图,

23、在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 【答案】10。【考点】正方形的性质,轴对称的应用(最短路线问题),勾股定理。【分析】如图,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小。四边形ABCD是正方形,B、D关于AC对称。PB=PD,PB+PE=PD+PE=DE。BE=2,AE=3BE,AE=6,AB=8。PB+PE的最小值是10。满分冲刺1、如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2)(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以

24、CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标【答案】解:(1)抛物线经过A(1,0),C(0,2),解得:抛物线的解析式为:(2)存在,抛物线的对称轴是x=OD=C(0,2),OC=2在RtOCD中,由勾股定理,得CD=若CDP是以CD为腰的等腰三角形,则CP1=CP2=CP3=CD如答图1,作CHx轴于H,HP1=HD=2,DP1=4P1(,4),P2(,),P3(,)(3)当y=0时,解得x1=

25、1,x2=4,B(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:,直线BC的解析式为:如答图2,过点C作CMEF于M,设E(a,),F(a,),EF=()=(0x4)S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN,=(0x4)当a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,此时E(2,1)【考点】1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与言辞的关系;5.二次函数的性质;6.勾股定理;7. 等腰三角形的性质;8.由实际问题列函数关系式;9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用2、已知抛物线经过A(2,0),B(0,2),C(,0

26、)三点,一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒(1)求抛物线的解析式;(2)当BQ=AP时,求t的值;(3)随着点P的运动,抛物线上是否存在一点M,使MPQ为等边三角形?若存在,请直接写t的值及相应点M的坐标;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)抛物线经过A(2,0),C(,0),设抛物线的解析式为抛物线经过B(0,2),解得抛物线的解析式为即(2)AQPB,BOAP,AOQ=BOP=90,PAQ=PBO,AO=BO=2,AOQBOP(ASA),OQ=OP=t如答图1,当t2时,点Q在点B下方,此时BQ=2t

27、,AP=2+tBQ=AP,2t=(2+t),解得t=如答图2,当t2时,点Q在点B上方,此时BQ=t2,AP=2+tBQ=AP,t2=(2+t),解得t=6综上所述,t=或6时,BQ=AP(3)存在,当t=时,抛物线上存在点M(1,1);当t=时,抛物线上存在点M(3,3)【考点】1二次函数综合题;2单动点问题;3待定系数法的应用;4曲线上点的坐标与方程的关系;5全等三角形的判定和性质;6等腰直角三角形的判定和性质;7等边三角形的性质;8勾股定理;9分类思想和方程思想的应用【分析】(1)因为抛物线经过A(2,0),C(,0),所以可设交点式,应用待定系数即得a、b、c的值即得解析式(2)BQ=

28、AP,要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况,有此易得BQ,AP关于t的表示,代入BQ=AP可求t值(3)考虑等边三角形,我们通常只需明确一边的情况,进而即可描述出整个三角形考虑MPQ,发现PQ为一有规律的线段,易得OPQ为等腰直角三角形,但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时MPQ为等边三角形若退一步考虑等腰,发现,MO应为PQ的垂直平分线,即使MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点,但要明确这些交点仅仅满足MPQ为等腰三角形,不一定为等边三角形确定是否为等边,我们可以直接由等边性质列出关于t的方程,考虑t的存在性:AQBP,QAO+BPO=90QAO+AQO=90

29、,AQO=BPO在AOQ和BOP中,AQO=BPO,AOQ=BOP=90,AO=BO,AOQBOP(AAS)OP=OQOPQ为等腰直角三角形MPQ为等边三角形,则M点必在PQ的垂直平分线上,直线y=x垂直平分PQ,M在y=x上设M(x,y),则,解得 或,M点可能为(1,1)或(3,3)如答图3,当M的坐标为(1,1)时,作MDx轴于D,则有PD=|1t|,MP2=1+|1t|2=t22t+2,PQ2=2t2,MPQ为等边三角形,MP=PQt2+2t2=0t=,t=(负值舍去)如答图4,当M的坐标为(3,3)时,作MEx轴于E,则有PE=3+t,ME=3,MP2=32+(3+t)2=t2+6t

30、+18,PQ2=2t2MPQ为等边三角形,MP=PQt26t18=0t=,t=(负值舍去)综上所述,当t=时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=时,抛物线上存在点M(3,3),使得MPQ为等边三角形3、如图,在RtABC中,BAC=90,B=60,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?(2)设正方形MNGH与RtABC重叠部分的

31、图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,CPD是等腰三角形?【答案】解:BAC=90,B=60,BC=16cm,AB=8cm,BD=4cm,AC=8cm,DC=12cm,AD=4cm.(1)当G刚好落在线段AD上时,ED=BDBE=3cm,t=s=3s(2)当MH没有到达AD时,此时正方形MNGH是边长为1的正方形,令H点在AB上,则HMB=90,B=60,MH=1.BM=cm. t=s.当MH到达AD时,那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大,

32、令G点在AC上,设MN=xcm,则GH=DH=x,AH=x,AD=AH+DH=x+x=x=4,x=3当t4时,SMNGN=1cm2当4t6时,SMNGH=(t3)2cm2S关于t的函数关系式为:.(3)分两种情况:当DP=PC时,易知此时N点为DC的中点,MN=6cm,EN=3cm+6cm=9cm. t=9s,故当t=9s的时候,CPD为等腰三角形;当DC=PC时,DC=PC=12cm,NC=6cm.EN=16cm1cm6cm=(156)cm.t=(156)s.故当t=(156)s时,CPD为等腰三角形综上所述,当t=9s或t=(156)s时,CPD为等腰三角形【考点】1.双动点问题;2. 锐角三角函数定义;3.特殊角的三角函数值;4. 正方形的性质;5.由实际问题列函数关系式;6. 等腰三角形的性质;7.分类思想的应用.思考乐优学产品中心 初中组22