1、高效提分 源于优学 第06讲 解直角三角形 知识框架知识要点一 锐角三角函数1.定义：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）都叫做角A的锐角三角函数。2.三角函数 正弦sinA= 余弦cosA= 正切tanA= 余切cotA=3.特殊角的三角函数 典例分析例1.如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示sin的值，错误的是（）A B C D【解析】D例2.在ABC中，若|sinA|+（cosB）2=0，A，B都是锐角，则C的度数是（）A75 B90 C105 D120【解析】C例3.如图，在等腰RtABC中，C=90，CBD=
2、30，则AD：DC=（）A B Cl Dl【解析】D学霸说1.理解锐角三角形函数（正弦，余弦，正切）的意义，能运用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边的比。2.能够运用特殊的三角函数值，根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。举一反三1如图，在ABC中，C=90，sinA=，BC=12，则AC=（）A3 B9 C10 D15【解析】B2.如图，已知AD是等腰ABC底边BC上的高，sinB=，点E在AC上，且AE：EC=2：3，则tanADE=（）A B C D【解析】B3.如图，在RtABC中，C=90，A=30，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EFAC于F，连接FB，则t
3、anCFB的值等于（）A B C D【解析】C知识要点二三角函数的应用1. 坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角=h:l）】 2.仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角。3.方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或者正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角。； 典例分析例1.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A12米 B4米 C5米 D6米
4、【解析】A例2.从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45，看到楼顶部点D处的仰角为60，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A（6+6）米 B（6+3）米 C（6+2）米 D12米【解析】A例3.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（）A20海里 B10海里 C20海里 D30海里【解析】C举一反三1.如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射
5、角为，ACCD，BDCD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan的值是（） ABCD【解析】D2.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30和60的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）（2+1.6）m3.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是25海里4.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航
6、，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离【解析】解：在直角ACM，CAM=45度，则ACM是等腰直角三角形，则AC=CM=12（海里），BC=ACAB=124=8（海里），直角BCN中，CN=BCtanCBN=BC=8（海里），MN=CNCM=812（海里）答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（812）海里 课堂闯关初出茅庐1如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯
7、的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为（）A2m B2m C（22）m D（22）m【解析】B2斜坡的倾斜角为，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A500sin米 B米 C500cos米 D米【解析】A3.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30，CBE=45（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF结果精确到米）【解析】解：（1）作BHAF于H，如图，在RtABH中，sinBAH=，BH=800
8、sin30=400，EF=BH=400m；（2）在RtCBE中，sinCBE=，CE=200sin45=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541（m）答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米4.如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D
9、在南偏东53方向上（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求ECD的正弦值（参考数据：sin53，cos53，tan53）【解析】解：（1）过点C、D分别作CGAB，DFCG，垂足分别为G，F，在RtCGB中，CBG=9060=30，CG=BC=（30）=7.5，DAG=90，四边形ADFG是矩形，GF=AD=1.5，CF=CGGF=7.51.5=6，在RtCDF中，CFD=90，DCF=53，COSDCF=，CD=10（海里）答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1
10、.52t=3t，EDC=53，过点E作EHCD于点H，则EHD=CHE=90，sinEDH=，EH=EDsin53=3t=t，答：sinECD=在RtEHC中，sinECD=优学学霸1小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC=（BC为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A B C D【解析】A2.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60，则此时轮船与小岛P的距离BP=（）A7海里 B14海里 C3.5海里 D4海里 【解析】A3
11、如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60，则此保管室的宽度AB为（）A（+1）米 B（+）米 C3米 D（+1）米【解析】A4四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当ACBD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为时（如图），四边形ABCD的面积S=mnsin（用含m、n、的式子表示）【解析】解：如图，设AC、BD交于O点，在图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=SABD+SBDC=mOC+mOA=mn；作AEBD
12、于E，CFBD于F，由于AC、BD夹角为，所以AE=OAsin，CF=OCsin，S四边形ABCD=SABD+SBDC=BDAE+BDCF=BD（AE+CF）=mnsin故填空答案：mnsin5 2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30和60，若CD的长是点C到海平面的最短距离（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；（2）求信号发射点的深度（结果精确到1m，数据：1.414，1.732）【解析】解：（1）由图形可得BCA=30，CB=BA=4
13、00米，在RtCDB中又含30角，得DB=CB=200米，可知，BD=AB，（2）由勾股定理DC=，=200米，点C的垂直深度CD是346米6某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，ABBC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：sin720.95，cos720.31，tan723.08）【解析】解：如图作CMAB交AD于M，MNAB于N
14、由题意=，即=，CM=，在RTAMN中，ANM=90，MN=BC=4，AMN=72，tan72=，AN12.3，MNBC，ABCM，四边形MNBC是平行四边形，BN=CM=，AB=AN+BN=13.8米 考场直播1. 【2014深圳】小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60，求山高（）A600250米B600250米C350+350米 D500米【解析】B2. 【2015深圳】小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60，求旗杆的高度【解析】解
15、：如图，ADG=30，AFG=60，DAF=30，AF=DF=10，在RtFGA中，AG=AFsinAFG=10=5，AB=1.5+5答：旗杆AB的高度为（1.5+5）米3. 【2016深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）【解析】解：如图，作ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，ABCH，ABC=30，ACB=45，AB=32m，AD=CD=16m，BD=ABcos30=16m，BC=CD+BD=
16、（16+16）m，则BH=BCsin30=（8+8）m自我挑战一选择题（共7小题）1在RtABC中，C=90，cosA=，AC=，则BC等于（）A B1 C2 D3【解析】B2如图，ABC中AB=AC=4，C=72，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（）A B C D【解析】C3如图，在RtABC中，C=90，AC=12，BC=5，CDAB于点D，则cotBCD的值为（）A B C D【解析】C4如图，河提横断面迎水坡AB的斜坡坡度i=1：是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）Am B5m C15m D10m【解析】D5如图，AB
17、是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A4.50m B4.40m C4.00m D3.85m【解析】B6如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30，看这栋楼底部C处的俯角为60，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A160m B120m C300m D160m【解析】A7如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东60和南偏西45方向上，则船R到岛P的距离为（）A40海里 B40海里
18、 C40海里 D40海里【解析】A二解答题（共3小题）8如图，河坝横断面背水坡AB的坡角是45，背水坡AB长度为20米，现在为加固堤坝，将斜坡AB改成坡度为1：2的斜坡AD【备注：ACCB】（1）求加固部分即ABD的横截面的面积；（2）若该堤坝的长度为100米，某工程队承包了这一加固的土石方工程，为抢在在汛期到来之际提前完成这一工程，现在每天完成的土方比原计划增加25%，这样实际比原计划提前10天完成了，求原计划每天完成的土方【提示土石方=横截面x堤坝长度】【解析】解（1）由题意可知ABC=45，AB=20，AC：CD=1：2，ABC=45 AB=20，AC=BC=20AC：CD=1：2，CD
19、=40，BD=20，ABD的面积=200；堤坝的土石方总量=100x200=20000设原计划每天完成的土方为x立方，则实际每天完成的土石方为（1+25%）x，由题意可得：=10，解得 x=400经检验x=400是原方程的解答：原计划每天完成的土方为400立方米9一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向，距离灯塔200海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处（参考数据：1.732，结果精确到0.1）？【解析】解：如图，ACPC，APC=60，BPC=45，AP=200，在RtAPC中，cosAPC=，PC=20cos60=10，AC=100，在PBC中，BPC=45，PBC为等腰
20、直角三角形，BC=PC=10，AB=ACBC=10010073.2（海里），答：它向东航行约73.2海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处10如图所示，小明在绣湖公园的A处正面观测解百购物中心墙面上的电子屏幕，测得屏幕上端C处的仰角为30，接着他正对电子屏幕方向前进7m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45已知电子屏幕的下端离开地面距离DE为4m，小杨的眼睛离地面1.60m，电子屏幕的上端与墙体的顶端平齐求电子屏幕上端与下端之间的距离CD（结果保留根号）【解析】解：如图，设CF=x米，则NF=x米tan30=，x=（+1），CD=x+1.64=+11答：电子屏幕上端与下端之间的距离CD为+11米 13 2017年春季中考复习专题课程