1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第09讲-图形的初步认识与三角形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握两直线的位置关系，并能熟练作出点到直线的距离，理解垂线段最短； 掌握两直线平行的判定与性质； 掌握三角形的基本概念与性质，能熟练运用判定条件证明三角形全等； 熟练掌握等腰、等边三角形的性质与判定； 理解垂直平分线、角平分线的性质，并能熟练运用解决相关问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 图形的初步认识1. 基本概念（1）直线的基本性质：两
2、条直线相交，只有_交点经过两点有且只有一条直线.（2）线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间 _最短（3）线段的中点、直线、射线、线段的区别与联系（略）（4）角的概念、角的单位与换算（160，160，1周角2平角4直角）2. 两直线的位置关系（1）补角与余角：如果两个角的和等于_ _，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于_ ，就说这两个角互为补角同角(或等角)的余角相等 ；同角(或等角)的补角 （2）对顶角与邻补角：对顶角 ，邻补角 （3）垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是_ ，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线性质：过一点有且只有
3、一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短)（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离（5）两直线垂直的判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直3. 两直线平行的判定与性质（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线（2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（3）性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补（4）判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线_，平行于同一直线的两
4、直线_（二） 三角形1. 基本概念（1）三角形：由三条线段_顺次相接组成的图形，叫做三角形 三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形（2）三角形的性质：三角形的内角和是_；三角形的一个外角等于与它不相邻的_；三角形的一个外角大于与它_的任何一个内角；三角形的任意两边之和_第三边；三角形任意两边之差_第三边（3）三角形中的重要线段：三角形的角平分线、三角形的高线、三角形的中线（平分面积）、三角形的中位线（三角形的中位线平行于第三边，且等于它的_）2. 三角形全等的判定与证明（1）概念：能够_的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形的_、_
5、分别相等（3）判定：SSS、 SAS、ASA、 AAS、HL（4）定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义（5）命题：判断一件事情的语句命题由_和_两部分组成命题通常写成“如果，那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论正确的命题称为_；错误的命题称为_（6）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的_，而第一个命题的结论是第二个命题的_，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题（7）定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题所以不是所有的定理都有逆定理（8）公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断
6、其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理（9）证明、反证法（略）（三） 等腰三角形1 等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_ 三角形（2）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；等腰三角形是轴对称图形（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)（4）等边三角形的性质：等边三角形的内角相等，且
7、都等于_；(2)等边三角形的三条边都_（5）等边三角形的判定：_相等的三角形是等边三角形； _相等的三角形是等边三角形；有一个角为_的等腰三角形是等边三角形2 垂直平分线的性质与判定（1）概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_（3）判定：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合3 角平分线的性质与判定（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离_（2）判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_ 上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相
8、等的点的集合考点一： 图形的初步认识例1、已知ABC中，BC=6，AC=3，CPAB，垂足为P，则CP的长可能是（）A2 B4 C5 D7【解析】根据垂线段最短可知：PC3，CP的长可能是2，故选A例2、如图，直线mn，1=70，2=30，则A等于（）A30 B35 C40 D50【解析】C例3、如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使ab的是（） A1=6 B2=6 C1=3 D5=7【解析】B考点二：三角形 例1、如图，ABC中，A=46，C=74，BD平分ABC，交AC于点D，那么BDC的度数是（）A76 B81 C92 D104【解析】BDC=A+ABD=76，故选A例2、如图，点D
9、，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（）AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD【解析】如添BE=CD，因为SSA，不能证明ABEACD，故选：D例3、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F（1）求证：ADECBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO【解析】（1）RtADERtCBF（HL）；（2）法一：证明AEORtCFO（AAS），从而得出结论；法二：RtADERtCBF，ADE=CBF，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，AO=CO考点三： 等腰三角形例
10、1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12 B16 C20 D16或20【解析】当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8488+4，符合题意故选C例2、如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【解析】A例3、已知，如图，RtABC中，ACB=90，BC=8，cotBAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，DAE=BAC，点F在线段AE上，ACF=B设BD=x（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；（2）若y=，求y关
11、于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长【解析】（1）在RtABC中，ACB=90，BC=8，cotBAC=，AC=6，AB=10，DAE=BAC，FAC=DAB，ACF=B，ABDACF，在RtABC中，点F恰好是AE的中点，CF=AE=AF，AD=BD，在RtACD中，AC=6，CD=BCBD=BCAD=8AD，根据勾股定理得，AC2+CD2=AD2，36+（8AD）2=AD2，AD=，BD=AD=，（2）如图1，过点F作FMAC于M，由（1）知，=，CF=x=x，由（1）ABDACF，B=ACF，tanACF=tanB=，MC=x，y=
12、（0x8）（3）ADE是以AD为腰的等腰三角形，当AD=AE时，AED=ADE，ACD=90，EAC=DAC=DAB，AD是BAC的平分线，AC=6，AB=10，CD=8BD，BD=5，当AD=DE时，DAE=DEA=BAC，ADE=2B，B=DAB，AD=BD=（是（1）的那种情况）即：BD=5或BD=时，ADE是以AD为腰的等腰三角形考点四： 垂直平分线与角平分线例1、 如图所示，底边BC为2，顶角A为120的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则ACE的周长为（）A2+2 B2+ C4 D3【解析】ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A例2、如图，在ABC中，B=5
13、5，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60 C55 D45【解析】A例3、如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15 B30 C45 D60【解析】由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面积=ABDE=154=30故选B例4、如图，在ABC中，点D在AB
14、上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM（1）求证：EF=AC（2）若BAC=45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系【解析】（1）证明：CD=CB，点E为BD的中点，CEBD，点F为AC的中点，EF=AC；（2）解：BAC=45，CEBD，AEC是等腰直角三角形，点F为AC的中点，EF垂直平分AC，AM=CM，CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，BC=AM+DMP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上如果1=50，那么2的度数是（）A30 B40 C50 D60
15、【解析】B2、如图，ABCD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）AEMB=END BBMN=MNCCCNH=BPG DDNG=AME【解析】D3、如图，ABC的两条中线BE、CD交于O，则SEDO：SADE=（）A1：2 B1：3 C1：4 D1：6【解析】=，=，SEDO：SCDE=1：3，SCDE=SADE，SEDO：SADE=1：3故选：B4、如图，在RtABC中，ACB=90，点D在AB边上，将CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A=26，则CDE度数为（）A71 B64 C80 D45【解析】A5、如图，在AB
16、C中，BC的垂直平分线EF交ABC的平分线BD于E，如果BAC=60，ACE=24，那么BCE的大小是（）A24 B30 C32 D36【解析】C6、如图，在RtABC中，C=90，ACBC斜边AB的垂直平分线交边BC于点D若BD=5，CD=3，则ACD的周长是（）A7 B8 C12 D13【解析】C7、如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则BCE的面积等于（）A10 B7 C5 D4【解析】SBCE=BCEF=52=5，故选C8、如图，在等腰直角ABC中，C=90，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终
17、保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A B C2 D【解析】连接OC，等腰直角ABC中，AB=，B=45，cosB=，BC=cos45=，点O是AB的中点，OC=AB=OB，OCAB，COB=90，DOC+COE=90，COE+EOB=90，DOC=EOB，同理得ACO=B，ODCOEB，DC=BE，CD+CE=BE+CE=BC=，故选B9、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E（1）求证：DCEBFE；（2）若CD=2，ADB=30，求BE的长【解析】（1），DCEBFE（AAS）；（2）在RtBC
18、D中，BC=2，在RtECD中，CD=2，EDC=30， DE=2EC，（2EC）2EC2=CD2，CE=，BE=BCEC=10、如图，已知ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DEBC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P设BD=x，AP=y（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当CQB和CBD互补时，求x的值【解析】（1）如图所示，过点D作DFAC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得=，又DEBC，=1，EC=BD=x，PE=3xy，DF=，DFAC，=，
19、即=，y=，定义域为：0x3；（2）DEBC，PEQPBC，当PEQ为等腰三角形时，PBC也为等腰三角形，当PB=BC时，ABCBPC，BC2=CPAC，即4=3（3y），解得y=，=，解得x=BD；当PC=BC=2时，AP=y=1，=1，解得x=BD；当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）DEBC，BDQ+CBD=180，又CQB和CBD互补，CQB+CBD=180，CQB=BDQ，BD=CE，四边形BCED是等腰梯形，BDE=CED，CQB=CED，又DQB+CQB=ECQ+CED，DQB=ECQ，BDQQEC，=，即2DQ2=x2，DQ=，DE=，DEBC，=，即=，解得x=
20、课后反击1、如图，ABAC，ADBC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（）A2条 B3条 C4条 D5条【解析】D2、如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则1+2的值为（）A90 B85 C80 D60【解析】过点C作CDa，则1=ACD1+2=90故选A3、如图，能判定ECAB的条件是（）AB=ACE BA=ECDCB=ACB DA=ACE【解析】D4、下列说法不正确的是（）A三角形的中线在三角形的内部 B三角形的角平分线在三角形的内部C三角形的高在三角形的内部 D三角形必有一高线在三角形的内部【解析】C5、如图，在ABC中，
21、AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A1cm B2cm C3cm D4cm【解析】C6、如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（）A8 B6 C4 D2【解析】过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C7、如图所示，E=F=90，B=C，AE=AF，有以下结论：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；ACNABM其中正确结论的个数为（）A1个
22、 B2个 C3个 D4个【解析】故正确，故选C8、如图，在ABC中，AB=AC，作ADAB交BC的延长线于点D，作AEBD，CEAC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE【解析】证明：AEBD，EAC=ACB，AB=AC，B=ACB，B=EAC，在ABD和CAE中，ABDCAE，AD=CE9、已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF【解析】（1）证明：CDAB，ABC=45，BCD是等腰直角三角形BD=CDDBF=90BFD，DCA=90EF
23、C，且BFD=EFC，DBF=DCA在RtDFB和RtDAC中，RtDFBRtDAC（AAS），BF=AC（2）证明：BE平分ABC，ABE=CBE在RtBEA和RtBEC中，RtBEARtBEC（ASA）CE=AE=AC，又BF=AC，CE=BF直击中考1、【2016来宾】如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A1=2 B2=3C3=5 D3+4=180【解析】C2、【2016长沙】若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A6 B3 C2 D11【解析】设第三边为x，则4x10，所以符合条件的整数为6，故选A3、【2014遂宁】如图，AD是ABC中BAC的角平分线，
24、DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A3 B4 C6 D5【解析】过点D作DFAC于F，SABC=SABD+SACD，故选：A4、【2016资阳】如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则mn等于（）A2 B3 C4 D无法确定【解析】设空白出图形的面积为x，得：m+x=9，n+x=6，则mn=96=3故选B5、【2016漳州】下列尺规作图，能判断AD是ABC边上的高是（）A B C D【解析】B6、【2016六盘水】如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，若A=70，则An1AnBn1的度数为
25、（） A BC D【解析】在ABA1中，A=70，AB=A1B，BA1A=70，A1A2=A1B1，BA1A是A1A2B1的外角，B1A2A1=35；同理可得，B2A3A2=17.5，B3A4A3=17.5=，An1AnBn1=故选：C7、【2015宜昌】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AO=CO=AC；ABDCBD，其中正确的结论有（）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】正确，故选D8、【2016苏州】如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AB=BC=2，E、F分别是AD、
26、CD的中点，连接BE、BF、EF若四边形ABCD的面积为6，则BEF的面积为（）A2 B C D3【解析】连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，ABC=90，AB=BC=2，AC=4，ABC为等腰三角形，BHAC，ABG，BCG为等腰直角三角形，AG=BG=2SABC=ABAC=22=4，SADC=2，=2，GH=BG=，BH=，又EF=AC=2，SBEF=EFBH=2=，故选C9、【2016铜仁市】如图，在ABC中，AC=BC，C=90，D是AB的中点，DEDF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF【解析】连接CD，C=90，D是AB的中点，CD=AB=BD，AC=BC，CDAB，ACD=B=45，CDF+BDF=90，EDDF，EDF=90，EDC+CDF=90，EDC=BDF，ECDFBD，DE=DFS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 三角形全等的证明2、 等腰、等边三角形的性质与判定3、 垂直平分线与角平分线的性质与判定名师点拨该部分整体难度不大，属中考必考内容，熟练理解并记忆相关知识点，勤学多练是关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15