1、 2017年春季初三年级数学教材 A版 第01讲 中考数学满分冲刺（一）冲刺技巧规律探究问题规律探究题一般是在特定的背景、情境或某些条件下(可以是关系式、有规律的数或式、特定的生活情景、流程图、某种特征的图形、图案或图表)，通过认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析、综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论。满分点拨 典例分析一、 数字变化规律性问题：例1、如图，将三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积
2、是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【考点】探索规律题（数字的变化类-循环问题）.【分析】观察数列，可得，每三个数一循环，（8，2）在数列中是第（1+7）72+2=30个，303=10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是.（2014，2014）在数列中是第（1+2014）20142=2029105个，20291053=6763681，（2014，2014）表示的数正好是第676369轮的第一个数， 即（2014，2014）表示的数是1. . 故选B例2、在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前
3、一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 ，然后在式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610 ；得6SS=6101，即5S=6101，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a0且a1），能否求出1+a+a2+a3+a4+a2014的值？你的答案是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【考点】1.阅读理解型问题；2.探索规律题（数字的变化类）；3. 同底数幂的乘法.【分析】仿照例题，设S=1+a+a2+a3+a4+a2014 在式的两边都乘以a，得：aS=a+a2+a3+a4
4、+a2014+a2015 ，得：（a1）S=a20151，S=，即1+a+a2+a3+a4+a2014=.故选B例3、下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A. 第10个数 B. 第11个数 C. 第12个数 D. 第13个数【答案】A【考点】1探索规律题（数字的变化类）；2有理数的大小比较【分析】通过计算找出规律，求得第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的得数，通过比较得出答案：第1个数：；第2个数：；第3个数：；第n个数：第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为
5、， 其中最大的数为，即第10个数最大 故选A例4、观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187解答下列问题：3+32+33+34+32013的末位数字是（ ）A0 B1 C3 D7【答案】C.【考点】探索规律题（数字的变化类循环问题）。【分析】观察所给等式，寻找规律：3n （n=1，2，3，）的末位数字分别是：3，9，7，1，3，四个数一循环，末位数字和为0，20134=5031，3+32+33+34+32013的末位数字相当于：3+7+9+1+3的末尾数为3。故选C。例5、设是从这三个数中取值的一列数，若，则中为0的个数 .【答案】16
6、5.【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.完全平方公式；3.偶次幂的非负性质.【分析】，则：.又，.当时，中有1849个1或，有个0.例6、观察下列等式：第一个等式：a1=；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an= = ；（2）式子a1+a2+a3+a20= 【答案】（1），；（2）.【考点】探索规律题（数字的变化类）【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方
7、，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题：（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可：a1+a2+a3+a20.二、图形变化规律性问题：例1、如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2）把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按ABCDA的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 （ ）A（1，0） B（1，2） C（1，1） D（1，1）【答案】D【考点】1.探索规律题（图形的变化类型-循环问题）；2.
8、点的坐标【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案：A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），AB=1（1）=2，BC=1（2）=3，CD=1（1）=2，DA=1（2）=3.绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10.201410=2014，细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，即线段BC中间离点B2个单位长度的位置，即（1，1）故选D例2、在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位依此类
9、推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是A. （66，34） B. （67，33） C. （100，33） D. （99，34）【答案】C【考点】1.探索规律题（图形的变化类-循环问题）；2.点的坐标【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，1003=33余1，走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为333+1=100，纵坐标为331=33.棋子所处位置的坐标是（100，33）故选C例3、如
10、图，在平面直角坐标系xOy中，RtOA1C1，RtOA2C2，RtOA3C3，RtOA4C4的斜边都在坐标轴上，A1OC1=A2OC2=A3OC3=A4OC4=30若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，则依此规律，点A2014的纵坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点】1探索规律题（图形的变化类-循环问题）；2点的坐标；3含30度直角三角形的性质【分析】A2OC2=30，OA1=OC2=3，OA2=OA2=OC3=，OA3=OA3=OC4=，OA4=OA2014=，又2014=4503+2，点A2014在y轴的正半轴上点A2014的纵坐标为3
11、故选D例4、如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为 （ ）A(2012,2) B（一2012，一2）C. (2013,2) D. (2013,2)【答案】A【考点】1.探索规律题（图形的变化类-循环问题）；2.翻折变换（折叠问题）；3.正方形的性质；4.坐标与图形的平移变化【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规
12、律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标：正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点B的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），连续经过
13、2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）故选A 例5、如图，已知A1、A2、A3、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、PnA1B1P1、A2B2P2、AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、Sn，则Sn为 （ ）A B C D【答案】D【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判
14、定和性质【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、Bn、Bn+1各点坐标，从而根据相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、Sn，进而得出答案：A1、A2、A3、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、Bn、Bn+1，B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2）.同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6）A1B1A2B2，A1B1P1A2B2P1. .A1B1C1与A2B2C2对应高的比为：1：2. A1B1边上的高为
15、：.同理可得出：，故选D基础夯实1、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A（31，50） B（32，47） C（33，46） D（34，42）【答案】B【解析】试题分析：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+（2n1）1008，即，解得：，当n=31时，1+3+5+7+61=961；当n=32时，1+3+5+7+63=1024；故第1008个数在第32组
16、，第1024个数为：210241=2047，第32组的第一个数为：29621=1923，则2015是（）=47个数故A2015=（32，47）故选B.考点：1规律型：数字的变化类；2综合题；3压轴题2、下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A135 B170 C209 D252【答案】C【解析】试题分析：a+（a+2）=20，a=9，b=a+1，b=a+1=9+1=10，x=20b+a=2010+9=200+9=209，故选C考点：1规律型：数字的变化类；2综合题3、下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n3）行从左向右数第个数是
17、 （用含n的代数式表示）【答案】.【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.算术平方根.【分析】观察数据排列规律：从第二行开始，第一个被开方数是前一行最后一个被开方数加1，后面每一个被开方数是前一个被开方数加1；每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数.因此，第行的最后一个数是，第行的第一个数是，第行的第二个数是，第行的第个数是.4、一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式 【答案】92+102+902=912【分析】观察不难发现，两个连续自然数的平方和加
18、上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可： 12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，第9个等式为：92+102+（910）2=（910+1）2，即92+102+902=9125、计算下列各式的值：观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得= _.来源【答案】.【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.完全平方公式的应用.【分析】，.6、如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则
19、阴影部分的面积为（）A231 B210 C190 D171【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：阴影部分的面积和为：=3+7+11+15+39=5（3+39）=210故选B考点：1规律型：图形的变化类；2综合题7、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有6个小圆圈，第个图形中一共有9个小圆圈，第个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（）A21 B24 C27 D30【答案】B【解析】试题分析：观察图形得：第1个图形有3+31=6个圆圈，第2个图形有3+32=9个圆圈，第3个图形有3+33=12个圆圈，第n个图形有3+3n=3（n+1）
20、个圆圈，当n=7时，3（7+1）=24，故选B考点：1规律型：图形的变化类；2综合题8、下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）A160 B161 C162 D163【答案】B【解析】试题分析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为53+2=17，第三个图形正三角形的个数为173+2=53，第四个图形正三角形的个数为533+2=161，故答案为：161考点：1规律型；2综合题满分冲刺1、已知一列数2，8，26，80，按此规律，则第n个数是 （用含n的代数式表示）【答案】3n1.【分析】，按此规律，则第n个数是 3n1.2、若，是从0，1，2
21、这三个数中取值的一列数，若=1525，则，中为2的个数是 【答案】510【解析】试题分析：，是从0，1，2这三个数中取值的一列数，的值只能是1或0，中值为1的个数为：20151510=505，=1525，=2545，=2545，中值为2的个数为：（2545505）4=510故答案为：510考点：1规律型：数字的变化类；2规律型；3综合题；4压轴题3、观察以下等式：3212=8，5212=24，7212=48，9212=80，由以上规律可以得出第n个等式为 【答案】【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.平方差公式的应用【分析】通过观察可发现等式左边是平方差公式的形式，被减数是（2n+1）2
22、，第n个等式为：4、一列数：0，1，3，6，10，15，21，按此规律第n的数为 【答案】.【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.分类思想的应用【分析】观察数列，找出规律：首先发现奇数位置为正，偶数位置为负，即第n的数符号为.其次对应数字依次为0，0+1=1，0+1+2=3，0+1+2+3=6，0+1+2+3+4=0+10，0+1+2+3+4+5=15，0+1+2+3+4+5+6=21，即第n个数字是前项的项数之和，为.第n的数为.5、读取表格中的信息，解决问题.n=1n=2a2=b1+2c1b2=c1+2a1c2=a1+2b1n=3a3=b2+2c2b3=c2+2a2c=a2+2b2来
23、源:学科网满足的n可以取得的最小整数是 来源:学.科.网【答案】7【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用【分析】由，.，.36201437，n最小整数是76、将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 【答案】（45，12）【考点】探索规律（数字的变化类）【分析】由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同4545=2025，2014在第45行，向右依次减小，2014所在的位置是
24、第45行，第12列，其对应的有序数对为（45，12）7、如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需根火柴A156 B157 C158 D159【答案】B。【考点】探索规律题（图形的变化类）。【分析】寻找规律：第1个图案需7根火柴，7=1（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3（3+3）+3，第n个图案需n（n+3）+3根火柴，第11个图案需：11（11+3）+3=157（根）。选B。8、如图放置的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为2的等边三角形
25、，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，都在直线上，则A2014的坐标是 【答案】（2014，2016）【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.等边三角形的性质；4. 锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.【分析】根据题意得出直线AA1的解析式为：，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案：如答图，过B1向x轴作垂线B1H，垂足为H， 由题意可得：A（0，2），AOA1B1，B1OH=30，HO=OB1cos30=.B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：.来源:学,科,网Z,X,X,K连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上
26、，点B1，B2，B3等都在直线上，AO=2，直线AA1的解析式为：.y，A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，.A2（2，4），A3（3，5），A2014（2014，2016）9、如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A（2014，0） B（2015，1） C（2015，1） D（2016，0）【答案】B【解析】试题分析：半径为1个单位长度的半圆的周长为：，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，点P1秒走个半圆，当点
27、P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），20154=5033，A2015的坐标是（2015，1），故选B考点：1规律型：点的坐标；2规律型；3综合题；4
28、压轴题10、如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A2015 B3019.5 C3018 D3024【答案】D【解析】试题分析：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2=6，20154=503余3，顶点A转动四次经过的路线长为：6504=3024故选D考点：1旋转的性质；2弧长的计算；3规律型思考乐优学产品中心 初中组19