1、2020年高考数学模拟自测卷（8）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合, 那么集合为（ ）ABCD【答案】D【解析】解方程组得,故选D
2、2某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.3甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A甲、乙可以知道对方的成绩B甲、
3、乙可以知道自己的成绩C乙可以知道四人的成绩D甲可以知道四人的成绩【答案】B【解析】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩； 由于丁和甲也是一个优秀，一个良好， 所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩 综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩 故选B4已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=( )A2025B2022C2020D2019【答案】B【解析】由题可知，在为增函数， 故选：B5已知向量=(2，3)，=(1，2)，若(mn)(2)，则等于
4、A2B2CD【答案】C【解析】由题意得mn=(2mn，3m2n)，2=(4，1)，(mn)(2)，(2mn)4(3m2n)=0， ，故选C6如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值对A：，此时不是固定值，故舍去；对B：，此时不是固定值，故舍去；对C：，正确；对D：，此时不是固定值，故舍去；故选：C.7已知复数，且，则的最大值为（）ABCD【答案】C【解析】复数，且，设圆的切线
5、，则，化为，解得的最大值为故选：C8椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，又，可知，在中，即所以，解得，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1，而这种溶液最初的杂质含量为2，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）
6、（ ）A6B9C8D7【答案】BC【解析】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，故选:BC10设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）AB，C，D，【答案】ACD【解析】因为，所以，故A正确；又，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD.11如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等【答案】AD【解析】A.因为，而，所以，即，若，则平面，即可得，由图像分析显然不成立，故A不正确；B.因为平面，平面，所以平
7、面，故B正确；C.，所以体积是定值，故C正确；D.设的中点是，点到直线的距离是，而点到直线的距离是，所以，所以的面积与的面积不相等，D不正确.故选AD.12定义域和值域均为-a，a的函数y=和y=g（x）的图象如图所示，其中acb0，给出下列四个结论正确结论的是（ ） A方程fg（x）=0有且仅有三个解B方程gf（x）=0有且仅有三个解C方程ff（x）=0有且仅有九个解D方程gg（x）=0有且仅有一个解【答案】AD【解析】由图象可知对于函数，当时，方程有一解，当时，方程有两解，当时方程由三解，当时，
8、方程有两解，当时，方程有一解，对于函数，由图象可知，函数为单调递减函数，当，方程有唯一解。对于A中，设，则由，即，此时方程有三个的值，即有三个不同的值，又由函数为单调递减函数，所以方程有三个不同的解，所以是正确的；对于B中，设，则由，即，此时只有唯一的解，即方程，此时可能有一解、两解或三解，所以不正确；对于C中，设，则由，即，此时或或，则方程可能有5个解或7个解，或9个解，所以不正确；对于D中，设，则由，即，此时，对于方程，只有唯一的解，所以是正确的。故选：AD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在的展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）【答案】【解析】，仅在第一部分中出现
9、项的系数再由，令，可得，项的系数为故答案为4514设Sn为数列an的前n项和，已知，则an=_，S100=_【答案】 【解析】由，可得=2，=2n，=2，以上n-1个式子相加可得，=2+22+2n-1=2n-2，=2n，an=；Sn=，=，两式相减可得，=，故答案为：；15为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样； &nb
10、sp; 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是_.【答案】丙【解析】在如下图中，用表示该门课程被选择，用表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，太极拳足球击剑游泳甲乙丙丁从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。16已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为_【答案】【解析】由题意得函数为奇函数.函数令，得，则.函数 的最小值为，得.
11、当时，函数的定义域为，由得或，由得，函数在，上为增函数，在上为减函数.，则当时，函数的定义域为，由得，得或，函数在上为增函数，在，为减函数.，则.综上所述，或.故答案为，.4、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）在数列中，（，是常数）.（1）当，时，求数列的通项公式；（2）当，时，设，求证数列是等比数列；（3）在（2）的条件下，记，求证：.【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由题意，当，时，即.又由，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）当，时，可得，因
12、为，所以，又由，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（3）由（2）知，所以，所以，所以.18（本小题满分12分）已知函数，.（1）若，且，求的值；（2）在中，角的对边分别为，满足，,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）,.,.,.,.（2）,.,即.,，当且仅当时取“”.，即，当且仅当时取“”.又，的取值范围是.19（本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万
13、人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近（1）根据表中数据，求模型的回归方程（精确到个位，精确到001）（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程3040714607参考公式、参考数据及说明：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
14、刻画回归效果的相关指数；参考数据：，55449 605834195 900表中【答案】（1）；（2）回归模型的拟合效果更好，987【解析】（1）对取对数，得，设，先建立关于的线性回归方程.， ， ，模型的回归方程为.（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，即，模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好.2021年时，预测旅游人数为（万人）.20（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱中，在底面上的射影恰为的中点，且.（1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由
15、.【答案】（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析【解析】证明：（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建系 所以， ，所以 （2）因为，所以面的一个法向量为 因为，所以， 设线与平面所成角为， （3）不存在，设，（） , 设面的一个法向量为 有 ，得 所以不存在点满足要求.21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】（1）.当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
16、（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，令，得；令，得.所以，所以.取，则，即，所以.设，因为，所以方程必有解，所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，22（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，直线与相交于不同的两点（1）求的方程；（2）若直线经过点，求的面积的最小值(为坐标原点)；（3）已知点，直线经过点，为线段的中点，求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）椭圆的右焦点为， 的方程为（2）（解法1）显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，由，得，则， 当，即直线垂直轴时，的面积取到最小值，最小值为（解法2）若直线的斜率不存在，由，得，的面积，若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，由，得，且，即的面积的最小值为（3）（解法1）直线的斜率不可能为零，设直线方程为， 由得， ， ，即， 在中，为斜边的中点，所以 （解法2）（前同解法1） 线段的中点的坐标为，所以