1、2020年高考数学模拟自测卷（4）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=若AB,则实数a,b必满足ABCD【答案】D【解析】，若AB，
2、则有或2已知向量，若，则的最小值为（ ）A12BC15D【答案】B【解析】（a，1），（2b1，3）（a0，b0），3a+2b10，即3a+2b1，（）（3a+2b）888，当且仅当，即a，b，时取等号，的最小值为：8故选：B3在数列中，那么（ ）ABCD【答案】A【解析】由，可得，故数列是以周期的数列， 所以.故选：A4汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C
3、甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油
4、为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D5方程的实数根个数为（ ）A3个B5个C7个D9个【答案】A【解析】解：方程的实数根个数等价于函数与函数的图像的交点个数，在同一直角坐标系中，函数与函数的图像如图所示，由图可知，函数与函数的图像的交点个数为3个，则方程的实数根个数为3个，故选：A.6已知奇函数满足，当时，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，故函数是周期为4的函数，由，则，即，又函数是定义在R上的奇函数，则，故选：A.7在三棱锥中，平面平面，
5、是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示，取中点，连接，三角形的中心在上， 过点作平面垂线.在垂线上取一点，使得，因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心， 点即为球心，因为为中点，所以，因为平面平面平面，则，设球的半径为,则有，作于，则为矩形，即,解得，故表面积为，故选B .8已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所
6、以，所以双曲线的渐近线方程为.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】如图，在中，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确故选：ABC10已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）A函数是周期函数B函数的图象关于点对称C函数为上的偶函数D函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函
7、数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.11已知函数有两个零点，且，则下列说法正确的是( )ABCD有极小值点，且【答案】ABD【解析】由题意，函数，则，当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数有两个零点且，则，且，所以，解得，所以A项正确；又由，取，则，所以，所以，所以B正确；由，则，但不能确定，所以C不正确；由函数在上单
8、调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，且，所以D正确；故选ABD.12设非负实数满足则的（ ）A最小值为B最小值为C最大值为D最大值为【答案】AC【解析】令，因为，所以，所以，所以，所以，取最大值时或1，此时或，取最小值时，此时.故选：AC.3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】14已知直线与抛物线交于两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为_，若，则的值为_【答案】 【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为
9、(1,0),所以抛物线的准线方程为x=-1.（2）联立得，设，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：(1). (2). 15将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质_（填入所有正确性质的序号）最大值为，图象关于直线对称；图象关于轴对称；最小正周期为；图象关于点对称；在上单调递减【答案】【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，对于函数：它的最大值为，由于当时，不是最值，故图象不关于直线对称，故排除；由于该函数为偶函数，故它的图象关于轴对称，故正确；它的最小周期为，故正确；当时
10、，故函数的图象关于点对称，故正确；在上，不是单调函数，故排除，故答案为. 16已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_。【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为4、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）设数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。【答案】（1）；（2）【解析】(1)由，且，可得当 (2) 18（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）当，讨论的零点个数；【答案】（1）
11、单调递减区间为：，；单调递增区间为：，；（2）当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.【解析】为偶函数，只需先研究当，当，所以在单调递增，在，单调递减所以根据偶函数图像关于轴对称，得在单调递增，在单调递减，.故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，（2）时，在恒成立在单调递增又，所以在上无零点时，使得，即.又在单调递减，所以，所以，单调递增，单调递减，又，（i），即时在上无零点，又为偶函数，所以在上无零点（ii），即在上有1个零点，又为偶函数，所以在上有2个零点综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.19（本小题满分12分）已知四棱柱的底面为菱形，平面，.（1）证明：平面；（2）求钝
12、二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接交于点，易知为中点，为中点，在中，平面，平面，平面.（2）平面，且为的中点，平面且，平面，如图，建立空间直角坐标系.易得：，设平面的一个法向量为，则，令，得，.同理可得平面的一个法向量为，钝二面角的余弦值为.20（本小题满分12分）根据国家环境空气质量标准规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测
13、数据，数据统计如下：（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 （2），该居民区的环境需要改进 （3）变量的分布列为（天）,或（天） ； 【解析】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 （2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
14、（微克/立方米）因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进 （3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则. 随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以， 所以变量的分布列为（天）,或（天）21（本小题满分12分）如图，直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，（为常数），点分别为上的动点，已知.设（）.（1）求面积关于角的函数解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意,在中,在中,.的面积,的面积,梯形的面积.（2）令.当时,即时,取得最小值,此时取得最小值.22（本小题满分12分）椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离是（1）求椭圆的方程；（2）若直线：被圆：截得的弦长为3，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）借助条件布列的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.试题解析：（1）由题意可得，解得，即有椭圆的方程为；（2）到的距离，设，把代入得，当，即时，