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2020年高考数学模拟自测卷及答案解析(4)

1、2020年高考数学模拟自测卷(4)注意事项:1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合A=若AB,则实数a,b必满足ABCD【答案】D【解析】,若AB,

2、则有或2已知向量,若,则的最小值为(    )A12BC15D【答案】B【解析】(a,1),(2b1,3)(a0,b0),3a+2b10,即3a+2b1,()(3a+2b)888,当且仅当,即a,b,时取等号,的最小值为:8故选:B3在数列中,那么(    )ABCD【答案】A【解析】由,可得,故数列是以周期的数列, 所以.故选:A4汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C

3、甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于A,由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,当速度大于40km/h时,消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5km,故A错误;对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80km,燃油

4、为8升,故C错误;对于D,由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,用丙车比用乙车更省油,故D正确故选D5方程的实数根个数为(    )A3个B5个C7个D9个【答案】A【解析】解:方程的实数根个数等价于函数与函数的图像的交点个数,在同一直角坐标系中,函数与函数的图像如图所示,由图可知,函数与函数的图像的交点个数为3个,则方程的实数根个数为3个,故选:A.6已知奇函数满足,当时,则(    )ABCD【答案】A【解析】由题意,故函数是周期为4的函数,由,则,即,又函数是定义在R上的奇函数,则,故选:A.7在三棱锥中,平面平面,

5、是边长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为(    )ABCD【答案】B【解析】如图所示,取中点,连接,三角形的中心在上, 过点作平面垂线.在垂线上取一点,使得,因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形,为三角形的中心, 点即为球心,因为为中点,所以,因为平面平面平面,则,设球的半径为,则有,作于,则为矩形,即,解得,故表面积为,故选B .8已知双曲线的左焦点为,以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点,若四边形的面积为,则双曲线的渐近线方程为(    )ABCD【答案】C【解析】根据题意,双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为,则,所以,所以,所

6、以,所以双曲线的渐近线方程为.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9若点D,E,F分别为的边BC,CA,AB的中点,且,则下列结论正确的是(    )ABCD【答案】ABC【解析】如图,在中,故A正确;,故B正确;,故C正确;,故D不正确故选:ABC10已知定义在上的函数满足条件,且函数为奇函数,则(    )A函数是周期函数B函数的图象关于点对称C函数为上的偶函数D函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为,所以,即,故A正确;因为函数为奇函

7、数,所以函数图像关于原点成中心对称,所以B正确;又函数为奇函数,所以,根据,令代有,所以,令代有,即函数为上的偶函数,C正确;因为函数为奇函数,所以,又函数为上的偶函数,所以函数不单调,D不正确.故选:ABC.11已知函数有两个零点,且,则下列说法正确的是(    )ABCD有极小值点,且【答案】ABD【解析】由题意,函数,则,当时,在上恒成立,所以函数单调递增,不符合题意;当时,令,解得,令,解得,所以函数在上单调递减,在上单调递增,因为函数有两个零点且,则,且,所以,解得,所以A项正确;又由,取,则,所以,所以,所以B正确;由,则,但不能确定,所以C不正确;由函数在上单

8、调递减,在上单调递增,所以函数的极小值点为,且,所以D正确;故选ABD.12设非负实数满足则的(    )A最小值为B最小值为C最大值为D最大值为【答案】AC【解析】令,因为,所以,所以,所以,所以,取最大值时或1,此时或,取最小值时,此时.故选:AC.3、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13是虚数单位,则的值为_.【答案】【解析】14已知直线与抛物线交于两点;若直线过抛物线的焦点,则抛物线的准线方程为_,若,则的值为_【答案】        【解析】(1)由于直线过抛物线的焦点,令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为

9、(1,0),所以抛物线的准线方程为x=-1.(2)联立得,设,所以,因为,所以,所以,所以.故答案为:(1).     (2). 15将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则函数具有性质_(填入所有正确性质的序号)最大值为,图象关于直线对称;图象关于轴对称;最小正周期为;图象关于点对称;在上单调递减【答案】【解析】将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,对于函数:它的最大值为,由于当时,不是最值,故图象不关于直线对称,故排除;由于该函数为偶函数,故它的图象关于轴对称,故正确;它的最小周期为,故正确;当时

10、,故函数的图象关于点对称,故正确;在上,不是单调函数,故排除,故答案为. 16已知函数,其中e是自然数对数的底数,若,则实数a的取值范围是_。【答案】【解析】因为,所以函数是奇函数,因为,所以数在上单调递增,又,即,所以,即,解得,故实数的取值范围为4、 解答题:本小题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。  17(本小题满分10分)设数列的前项和为,且。(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和。【答案】(1);(2)【解析】(1)由,且,可得当 (2) 18(本小题满分12分)已知函数,(1)当时,求的单调区间;(2)当,讨论的零点个数;【答案】(1)

11、单调递减区间为:,;单调递增区间为:,;(2)当时,在上有2个零点,当时,在上无零点.【解析】为偶函数,只需先研究当,当,所以在单调递增,在,单调递减所以根据偶函数图像关于轴对称,得在单调递增,在单调递减,.故单调递减区间为:,;单调递增区间为:,(2)时,在恒成立在单调递增又,所以在上无零点时,使得,即.又在单调递减,所以,所以,单调递增,单调递减,又,(i),即时在上无零点,又为偶函数,所以在上无零点(ii),即在上有1个零点,又为偶函数,所以在上有2个零点综上所述,当时,在上有2个零点,当时,在上无零点.19(本小题满分12分)已知四棱柱的底面为菱形,平面,.(1)证明:平面;(2)求钝

12、二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)证明:连接交于点,易知为中点,为中点,在中,平面,平面,平面.(2)平面,且为的中点,平面且,平面,如图,建立空间直角坐标系.易得:,设平面的一个法向量为,则,令,得,.同理可得平面的一个法向量为,钝二面角的余弦值为.20(本小题满分12分)根据国家环境空气质量标准规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测

13、数据,数据统计如下:(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,对于去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列及数学期望和方差.【答案】(1)众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 (2),该居民区的环境需要改进 (3)变量的分布列为(天),或(天) ; 【解析】(1)众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 (2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为

14、(微克/立方米)因为,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进 (3)记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则.     随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以,   所以变量的分布列为(天),或(天)21(本小题满分12分)如图,直线,点是之间的一个定点,过点的直线垂直于直线,(为常数),点分别为上的动点,已知.设().(1)求面积关于角的函数解析式;(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意,在中,在中,.的面积,的面积,梯形的面积.(2)令.当时,即时,取得最小值,此时取得最小值.22(本小题满分12分)椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离是(1)求椭圆的方程;(2)若直线:被圆:截得的弦长为3,且与椭圆交于,两点,求面积的最大值【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)借助条件布列的方程组;(2)联立方程组,借助维达定理构建面积函数,转求最值.试题解析:(1)由题意可得,解得,即有椭圆的方程为;(2)到的距离,设,把代入得,当,即时,