1、河南省鹤壁市高中 2020 届高三年级线上第四次模拟考试 理科数学试卷 时间：120 分钟.满分：150 分 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A=x|-12x+13,B=x|y=log 2x,则 AB=() A.(0,1 B.-1,0 C.-1,0) D.0,1 2.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是() A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,
2、2) 3.九章算术是我国最重要的数学典书,曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“ 竹九节“问题,题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积依次成等差数列,已知较粗的下3节共容4升,较瘦的上4 节共容 3 升.根据上述条件,请问各节容积的总和是() A. 201 22 B. 211 22 C. 601 66 D. 611 66 4.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图 为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为 1.1630.75yx=,以下结论中不正确的为() A.1
3、5 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系, C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米, 5.已知 a+a-1=3,下列各式中正确的个数是() 11 2233 22 1 7;18:5 :2 5aaaaaaa a a a +=+=+= += A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数 2 ( )ln 4 x f xx=的图象大致为() 7.已知直线 l:x-y+2=0 与双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab =)交于 A,B 两点,点 P(1,4)是弦 AB 的
4、中点,则 双曲线 C 的离心率为() A. 4 3 B.2 C. 5 2 D.5 8.如图,已知点 P(2,0),正方形 ABCD 内接于O:x 2 +y 2 =2,M、N 分别为边 ABBC 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时,PM ON 的取值范围是() A.-1,1 B.2,2 C.-2,2 D. 22 , 22 9.七巧板是古代中国劳动人民的发明,到了明代基本定型.清陆以湉在冷庐杂识中写道:近又有七巧图, 其式五,其数七,其变化之式多至千余.如图,在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的 概率是（） A 1 16 B. 1 8 C. 3 8 D. 3 16
5、10.点A,B,C,D在同一个球的球面上,3ABBCAC=若四面体ABCD体积的最大值为3,则这 个球的表面积为() A. 289 16 B.8 C.169 16 D. 25 16 11.如图,已知点A,B分别是双曲线C:x 2 -y 2 =a 2 和它的渐近线上的点,F1,F2分别是双曲线C的左,右焦点, 且 OA=OB=OF1,则() A 2 112 AF OFBF OF B. 1122 AF OFBF OF= C. 12 AF ABBFBA D. 12 AF ABBFBA= 12.已知函数 f(x)=x 2 +mx+2,xR,若方程 f(x)+|x 2 -1|=2 在(0,2)上有两个不
6、等实根,则实数 m 的取值范围 是() A. 5 (, 1) 2 B. 7 (, 1 2 C. 7 (, 1) 2 D. 5 (, 1 2 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知 x,y 满足1 1 yx xy y + ,则 z=2x+y 的最大值为_. 14.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,利用计算机产生 10 组 0 到 9 之间取整数值 的随机数如下,我们用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨,这三天中恰有两天下雨的概率约为_. 907 966 191 925 271 935 81
7、2 458 569 683. 15.设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a1=1,(n+1)a 1n+ =(n-1)S n,则 Sn=_. 16.已知 2 2 21,0, ( ) |log|, 0, xxx f x xx + = ， 若关于 x 的方程 f(x)-a=0 有四个实根 x1,x2,x3,x4,则这四个根之 积 x1x2x3x4的取值范围_. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c
8、,且满足sincos() 6 bAaB =. (1)求角 B 的大小; (2)若 D 为 AC 的中点,且 BD=1,求 SABC 的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PA=AB,M 是 PC 上一点,且 BM PC. (1)求证:PC平面 MBD (2)求直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 已知动圆 M 与直线 y=-1 相切,且与圆 N:x 2 +(y-2)2=1 外切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)点 O为坐标原点,过曲线 C外且不在
9、y轴上的点P 作曲线C 的两条切线,切点分别记为A,B,当直线OP 与 AB 的斜率之积为-1 时,求证:直线 AB 过定点. 20.(本小题满分 12 分) 某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评,该公司随机调查了 100 颗芯片,所调查的芯片得 分均在7,19内,将所得统计数据分为如下:7,9),9,11),11,13),13,15),15,17),17,19)六个小组,得到如图所示 的频率分布直方图,其中 a-b=0.06. (1)求这 100 颗芯片评测分数的平均数; (2)芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在 3 个工程手机
10、 中进行初测,若 3 个工程手机的评分都达到 13 万分,则认定该芯片合格;若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没 达到 13 万分,则认定该芯片不合格;若 3个工程手机中仅 1个评分没有达到 13万分,则将该芯片再分别置于另 外 2 个工程手机中进行二测,二测时,2 个工程手机的评分都达到 13 万分,则认定该芯片合格;2 个工程手机中 只要有 1 个评分没达到 13 万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分 相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为 概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为 16
11、0 元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行 后续测试.现手机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元,试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片?请说 明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=e x -2kx-1,g(x)=2kln(x+1)-x(kR) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)+g(x)0 对任意 x0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 选考部分 请考生在 22、23 两题中任选一题作答.如果多选,则按所做题的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知曲线 C 的参数方程
12、为 2cos 3sin x y = = ( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 过极坐标系内的两点 A( 2,) 4 和(3,) 2 B . (1)写出曲线 C 的普通方程,并求直线 l 的斜率; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,求|BP|BQ|. 23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|，g(x)=|2x-1|+a. (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)g(x) (2)若 f(x)g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 答案第 1页，总 9页 1-5AC AD. C6-10CDCBA11
13、-12DC 5 221 2 ()2927aaaa ,正确； 33122 ()(1)3 (7 1)18aaaaaa ，正确； 因为 1 3aa 可知0a ， 11 22 0aa ， 2 11 22 1 ()25aaaa ， 所以 11 22 5aa ，故错误； 3311 11 2222 1 ()(1)5(1)2 5a aaaaaaaaa a a ，正确. 6根据函数 2 ln 4 x f xx，可得 2 12 0 22 xx fxx xx ， 由 f(x)0,得 x 2,即函数 f(x)在(2,+)上单调递增， 由 f(x)0 得 0x0，故排除 D， 故选：C. 7 设 1122 ,A x y
14、B xy点1,4P是弦AB的中点 根据中点坐标公式可得: 12 12 2, 8 xx yy A,B两点在直线l:20xy根据两点斜率公式可得: 12 12 1 yy xx ,A B两点在双曲线C上 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 2222 1212 221 0 xxyy ab ,即 222 1212 12 222 121212 8 14 2 yyyyyyb axxxxxx 河南省鹤壁市河南省鹤壁市2020 届高三年届高三年级线上第四次模拟考试理科数级线上第四次模拟考试理科数学参考答案学参考答案 答案第 2页，总 9页 解得:2 b a 2 15 cb e a
15、a 8试题分析：由题意OMON，PM OMOP ，则 ()PM ONOMOPONOM ONOP ON ON OP ，由于1ON ，2OP ，所以ON OP 的最大值为 2，最小值为2，即 ON OP 2,2 . 也可以这样做，且长度为 1，可设， 然后用坐标求解.答案选C. 9 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为2 2a， 由几何概型的概率公式可知， 在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分 的概率 2 2 1 8 2 2 a a ， 10 根据题意知，ABC是一个等边三角形，其面积为 3 3 4 ， 由正弦定理 3 22 sin 3 r 知
16、，外接圆的半径为1r 设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积有最大值，由于底面积 ABC S不变，高最大时 体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为 1 3 3 ABC SDQ ，4DQ， 设球心为O，半径为R，则在直角AQO中， 222 OAAQOQ， 即 222 1(4)RR， 17 8 R则这个球的表面积为： 2 17289 4 () 816 S 11 不妨设1a ，则方程为 22 1xy， 2 1 12c ，即 2c ， 21 ,0 ,(),02()2FF ，双曲线的一条渐近线为y x ， 1 2OAOBOF，点B在渐近线y x 上，1,1B， 设,A x y，则 2
17、22 2xyOA， 22 1xy， 答案第 3页，总 9页 解得 6 2 x ， 2 2 y ， 62 , 22 A ， 62 1,1 22 AB ，1 62 2, 22 AF ， 2 ( 21, 1)BF ， 1 (2,0)OF ， 2 ( 2,0)OF 11 23AF OF ， 22 22022BFOF ， 1122 AF OFBFOF ，故 A，B 错误， 662236 211232 222222 AF AB 2 6236 1( 21)1( 1)232 2222 BFBA 12 AFABBFBA 12 当0,1x时， 2 ( ) |1| 2f xx可化为： 22 212xmxx 整理得：
18、1mx 当1,2x时， 2 ( ) |1| 2f xx可化为： 22 212xmxx 整理得： 2 210xmx ，此方程必有一正、一负根. 要使得方程 2 ( ) |1| 2f xx在(0,2)上有两个不等实根， 则1mx 在0,1x内有实数解，且方程 2 210xmx 的正根落在1,2内. 记 2 21g xxmx， 则 10 20 1 01 g g m ，即： 210 8210 1 01 m m m ，解得： 7 1 2 m . 133.1430%.15 1 2n n 16 1 0 16 ，. 15 1 11 nn nanS ， 11nnn naSnS ， 11nnnn n SSSnS
19、， 答案第 4页，总 9页 1 1 2 n n nS nS n nS是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 1 2n n nS ， 1 2n n S n . 16.( )0( )( )f xaf xaf x与y a 两图象交点问题，当 2 0,21xyxx ，则 12 1 2 xx ，其中 2 1 (,0 4 x ， 34 2234 loglog1 xx x x 2 1234122222 11 =() 22 xxxxxxxxxx ， 2 1 (,0 4 x 1234 1 0 16 xxxx ，. 17 （1） 3 ； （2） 3 3 . （1）由正弦定理及sincos 6 bAaB 得sin
20、sinsincos 6 BAAB ， 由0,A知sin0A ，则 31 sincoscossin 622 BBBB ，2 分 化简得sin 3cosBB ，4 分 tan3B .又0,B，因此， 3 B ；6 分 （2）如下图，由 13 sin 24 ABC SacBac ，7 分 又D为AC的中点，则2BD BABC uuu ruuruuu r ， 等式两边平方得 222 42BDBCBC BABA uuu ruuu ruuu r uuruur ， 所以 2222 423acBA BCacacac ，10 分 则 4 3 ac ，当且仅当ac时取等号，因此，ABC的面积最大值为 343 43
21、3 .12 分 18 （1）证明见解析； （2） 6 3 . （1）连接AC，由PA 平面ABCD，BD平面ABCD得BDPA，2 分 答案第 5页，总 9页 又BDAC，PAACA，BD 平面PAC，得PCBD，4 分 又PCBM，BDBCB，PC 平面MBD.6 分 （2）法 1：由（1）知PC 平面MBD，即PBM是直线PB与平面MBD所成角，易证 PBBC，而BMPC，8 分 不妨设1PA ，则1BC ， 3PC ， 2PB ， 在Rt PBC中，由射影定理得 22 :2:1PM MCPBBC ，10 分 可得 22 3 33 PMPC ，所以 6 3 PM sin PBM PB ，
22、故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3 .12 分 法 2：取A为原点，直线MB，MD，MP分别为x，y，z轴，建立坐标系Axyz，不 妨设1PAAB，则0,0,1)P （，1,0,0B，1,1,0C，8 分 由（1）知平面MBD得法向量1,1, 1PC ，而1,0, 1PB ， 1,0, 11,1, 1 , 23 cos PB PC 6 3 . 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3 .12 分 19 （1）设动圆圆心 M（x，y） ， 由于圆 M 与直线 y=-1 相切，且与圆 N： 2 2 21xy外切 利用圆心到直线的距离和圆的半径和圆心距之间的关系式， 可知 C 的轨
23、迹方程为： 2 8 x y 4 分 （2）设直线AB：y kxm ， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 因为 2 8 x y ， 4 x y，所以两条切线的斜率分别为 1 4 x ， 2 4 x ， 则直线AP的方程是 2 11 1 84 xx yxx， 直线BP的方程是 2 22 2 84 xx yxx.6 分 答案第 6页，总 9页 两个方程联立得 P 点坐标为 1212 , 28 xxx x ， 1212 12 1 32 P ABOP P yyyx x kk xxx ，8 分 12 32x x ，由 2 8 ykxm x y 联立得： 2 0 8 x kxm10 分 12 832
24、x xm ，4m 故直线AB过定点0,4.12 分 20 （1）根据概率之和为 1，可得： 20.0250.1250.111aab 结合0.06ab可得：0.10,0.04ab2 分 故这 100 颗芯片评测分数的平均数为： 20.025 80.1 100.125 120.11 140.1 160.04 1813.12 4 分 （2）由题可知公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到 13 万分的概率为 0.222 0.140.5P 5 分 设每颗芯片的测试费用为X元，则X可能取值为：320,480,640,800， 2 3200.50.25P X 333 4800.50.50.50.3
25、75P X 12 3 6400.5 0.50.50.1875 P XC 12 3 8000.5 0.50.50.1875P XC8 分 故每颗芯片的测试费用的数学期望为： 0.25 3200.375 4800.1875 6400.1875 800530E X 元，10 分 则100 5305300050000，12 分 故经费不足够测试完这 100 颗芯片. 21 （1）当0k 时，递增区间为R；当0k 时，递减区间是(, ln(2 )k，递增区间是 (ln(2 ),)k ； （2） 1 (, 2 （1）由题意，得( )e2 x fxk 当0k 时，( )0fx ， ( )f x在R上为增函数
26、； 2 分 答案第 7页，总 9页 当0k 时， 当(, ln(2 )xk 时，( )0fx ， ( )f x 在(, ln(2 )k上为减函数， 当( ln(2 ),)xk 时，( )0fx ， ( )f x 在(ln(2 ),)k 上为增函数4 分 综上所述，当0k 时， ( )f x的单调递增区间为R； 当0k 时， ( )f x 的单调递减区间是(, ln(2 )k，单调递增区间是(ln(2 ),)k 5 分 （2）由不等式( )( )0f xg x，对0x 恒成立， 即e2 ln(1)(1)0 x kxxx，对0x 恒成立 构造函数( )=e2 ln(1)(1) x xkxxx，6
27、分 则 2 ( )=e(21) 1 x k xk x 下面证明：e1 x x， 令 1 x g xex，则 1 x gxe 当 ,0 ,0xgx ， g x单调递减； 当 0,0xgx ， ， g x单调递增； 故 00g xg，即证e1 x x， 所以 2 ( )=e(21) 1 x k xk x 2 1(21) 1 k xk x 22 212(21)(21)2 = 11 xxkkkxxxkx xx (12 ) = 1 x xk x ，8 分 当 1 2 k 时，( )0x在0,) 上恒成立，( )x在0,) 上单调递增， ( )(0)0x，即( )( )0f xg x，对 0x 恒成立 当
28、 1 2 k 时，因为e 1 x x， 所以e1 x x ，即 1 e 1 x x ，在0,1x成立 故当(0,1)x时， 2 ( )=e(21) 1 x k xk x 12 (21) 11 k k xx 2 2 (21)(21) 1 kxkx x ， 因为 21 (0,)(0,1) 21 k x k 时，( )0x， 知( )x在 21 (0,) 21 k k 上为减函数，( )(0)0x， 答案第 8页，总 9页 即在 21 (0,) 21 k k 上，不存在k使得不等式( )( )0f xg x对任意0x 恒成立 综上，实数k的取值范围是 1 (, 2 12 分 22 （1） 22 1
29、43 xy ，2； （2） 120 19 (1)由题意得曲线C的普通方程为 22 1 43 xy , 1,1 ,0,3AB,直线l的斜率为2.4 分 (2)易知直线l的参数方程为 1 5 ( 2 3 5 xt t yt 为参数)6 分 代入 22 1 43 xy ,得 2 1948 240 55 tt ,8 分 设方程 2 1948 240 55 tt 的两个根为 12 ,t t, 所以 1 2 120 19 BPBQt t.10 分 23 （1）0x x 或 2 3 x ； （2） 3 + 2 ， 令 1,2 1 22133,2 2 1 1, 2 xx h xxxxx xx ，2 分 （1）由 a=1 时，不等式 f（x）g（x） ， 可得 1h x ， 11 2 x x 或 331 1 2 2 x x 或 11 , 1 2 x x x2 或 2 2 3 x 或 x0，5 分 答案第 9页，总 9页 解集为：0x x 或 2 3 x ；6 分 （2）由（1）可知：只需 max ahx， 当 1 2 x 时， max 13 22 hxh ，8 分 a 的取值范围为 3 + 2 ，10 分