1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第08讲-垂径定理 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 深刻理解垂径定理及其推论的内容； 熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论； 应用垂径定理解决实际问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理 二、知识概念 垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条
2、弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧 （2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦 （4）经过圆心考点一： 垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（）A圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧【解析】C例2、如图，AB是O的直径，CDAB，ABD=60，CD=2，则阴影部
3、分的面积为（）A B C2 D4【解析】连接ODCDAB，CE=DE=CD=，故SOCE=SODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又ABD=60，CDB=30，COB=60，OC=2，S扇形OBD=，即阴影部分的面积为 故选A例3、如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（0，0） B（1，1）C（1，0） D（1，1）【解析】如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M，即为弧的圆即圆心的坐标是（1，1），故选B例4、如图，AB是O的弦，C是AB的三等分点，连接
4、OC并延长交O于点D若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A6 B9 C D253【解析】如图：过O作OGAB于G，根据垂径定理有：AG=BG，设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a，在RtOCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2在RtOBG中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2又OC=3，OB=5，代入中，解方程得：a2=2，OG2=7所以圆心到弦的距离是故选C例5、如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（）ACM=DM B= CACD=ADC DOM=MD【解析】AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，M为CD的中点，即CM=DM，选项
5、A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在ACM和ADM中，ACMADM（SAS），ACD=ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立故选：D考点二： 应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？【解析】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M则MN为直径取MN的中点O，则O为圆心，连接
6、OA、OCABBD，CDBD，ABCDAB=CDABCD为矩形AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm AG=GC=160cm，设O的半径为R，得R2=（R40）2+1602，解得R=340cm，3402=680（cm）答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm）将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径【解析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图AC=BD
7、，ACCD，BDCD 四边形ACDB是矩形CD=16cm，PE=4cm PA=8cm，BP=8cm，在RtOAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2 即OA2=82+（OA4）2解得：OA=10答：这种铁球的直径为20cmP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（）A弦的垂直平分线必过圆心 B弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦C垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧D垂直于弦的直径平分这条弦【解析】C2、如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点若AB=16，BC=12，则OBD的面积为何？（
8、）A6 B12 C15 D30【解析】ODBC，BD=CD=BC=12=6，在RtBOD中，OB=AB=8，BD=6，OD=2，SOBD=ODBD=26=6故选A3、如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A=30，CD=6，则圆的半径长为（）A2 B2 C4 D【解析】连接OC，如图所示：则BOC=2A=60，ABCD，CE=DE=CD=3，sinBOC=，OC=2故选：A4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（）A10 B13 C16 D19【解析】过点O作ODAB，垂足为D，则AD=2，DC=2+1=3
9、，S圆环=（OC2OA2）=（OD2+DC2OD2AD2）=（94）=515.7故选C5、如图，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=2，AE=3，则ACB的面积为（）A3 B5 C6 D8【解析】CD为O的直径，弦ABCD，AE=3，AB=2AE=6，ACB的面积为ABCE=62=6，故选C6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【解析】如图所示，连接OA、OC设O的半径是R，则OG=R2，OE=R4OFCD，CG=CD=10cm在直角三角形COG中，根据勾股定理，得R2=102+（R2）2，解，得R
10、=26在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得AE=8cm根据垂径定理，得AB=16（cm）7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB=26m，OECD于点E水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【解析】（1）直径AB=26m，OD=，OECD，OE：CD=5：24，OE：ED=5：12，设OE=5x，ED=12x，在RtODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，CD=2DE=2121=24m；（2）由（1）得OE=15=5m，延长OE交
11、圆O于点F，EF=OFOE=135=8m，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满8、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长【解析】（1）证明：过O作OEAB于点E，则CE=DE，AE=BE，BEDE=AECE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，OE=6，CE=2，AE=8，AC=AECE=829、如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）
12、当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域【解析】（1）如图（1），ODBC，BD=BC=，OD=；（2）如图（2），存在，DE是不变的连接AB，则AB=2，D和E分别是线段BC和AC的中点，DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，BD=x，OD=，1=2，3=4，2+3=45，过D作DFOEDF=，由（2）已知DE=，在RtDEF中，EF=，OE=OF+EF=+= y=DFOE=（0x） 课后反击1、下列说法正确的是（）A长度相等的两
13、条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦C直径是同一个圆中最长的弦 D过三点能确定一个圆【解析】C2、下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦B把（a2）根号外的因式移到根号内后，其结果是C相等的圆心角所对的弧相等D如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等【解析】B3、如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（）A5 B8 C2 D4【解析】B4、如图，在O中，弦ABAC，ODAB于点D，OEAC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则O的半径OA的长为（）A7cm B6cm C5cm D4cm【解析】C5、如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于E，
14、连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（）AACB=90 BDE=CE COE=BE DACE=ABC【解析】C6、如图，O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（）A4 B6 C2 D3【解析】A7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414）【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA，设半径为x米，则OA=OA=OP，由垂径定理可知AM=BM，AN=BN，AB=60米，AM=30米，且
15、OM=OPPM=（x18）米，在RtAOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2，即x2=（x18）2+302，解得x=34，ON=OPPN=344=30（米），在RtAON中，由勾股定理可得AN=16（米），AB=32米30米，不需要采取紧急措施8、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N（1）求线段OD的长；（2）若tanC=，求弦MN的长【解析】（1）CDAB，OAB=OCD，OBA=ODC，OABOCD，=，即=，又OA=3，AC=2，OB=3，=，OD=5；（2）过O作OECD，连接OM，则ME=MN，
16、tanC=，即=，设OE=x，则CE=2x，在RtOEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x=，在RtOME中，OM2=OE2+ME2，即32=（）2+ME2，解得ME=2MN=4，答：弦MN的长为4直击中考1、【2016三明】如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，若O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A2 B3 C4 D5【解析】A2、【2016黔南州】如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB=30，O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）Acm B3cm C3cm D6cm【解析】A3、【2014济南】如图，O的半径为1，ABC是O的内接等边三角形
17、，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A2 B C D【解析】连结BD、OC，如图，四边形BCDE为矩形，BCD=90，BD为O的直径，BD=2，ABC为等边三角形，A=60，BOC=2A=120，而OB=OC，CBD=30，在RtBCD中，CD=BD=1，BC=CD=，矩形BCDE的面积=BCCD=故选：B4、【2014三明】如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）AOE=BE B=CBOC是等边三角形 D四边形ODBC是菱形【解析】B5、【2013甘孜州】如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
18、（）A4 B3 C4 D3【解析】作OEAB于E，OFCD于F，连结OB、OD，如图，则AE=BE=AB=4，DF=CF=CD=4，在RtBOE中，OB=5，BE=4，OE=3，同理可得OF=3，ABCD，OFCD，OEAB，四边形OEPF为矩形，OF=PE=3，在RtOPE中，OE=3，PE=3，OP=OE=3故选B6、【2013深圳】如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小
19、桥所在圆的半径【解析】小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，8米高旗杆DE的影子为：12m，测得EG的长为3米，HF的长为1米，GH=1231=8（m），GM=MH=4m如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG设小桥所在圆的半径为r，MN=2m，OM=（r2）m在RtOGM中，由勾股定理得：OG2=OM2+42，r2=（r2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m7、【2012南通】如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离【解析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，ABCD，OFCD，AB=30cm，CD=16cm，AE=AB=30=15cm，CF=CD=16=8cm，在RtAOE中，OE=8cm，在RtOCF中，OF=15cm，EF=OFOE=158=7cm答：AB和CD的距离为7cmS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。名师点拨 熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是13