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七年级下册数学提高讲义第12讲-生活中的轴对称-教案

1、第12讲 生活中的轴对称 温故知新三角形全等的条件(二)(1)三角形全等条件3: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言:如图:D在AB上,E在AC上,DC=EB,C=B求证:ACDABE证明:在ACD和ABE中 ACDABE(AAS)(2)三角形全等条件4:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。符号语言:在ABC与DEF中,ABCDEF(SAS)(3)直角三角形全等条件:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。符号语言:在RtABC与RtDEF中,ABC=DEF=90

2、, RtABCRtDEF(HL) 智慧乐园中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。观察下列剪纸,你觉得它们有什么特征?与同伴进行交流知识要点一。轴对称(一)轴对称的定义(1)轴对称:如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴。(2)轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。(3)轴对称与轴对称图形的区别:成轴对称是对于两个图形而言的,指的是两个图形形状和位置关系,而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。(二)轴对

3、称的性质(1)对应点、线段、角的概念:我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点,重合的线段叫做对应线段,重合的角叫做对应角。(2)轴对称的性质:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等。(3)画已知图形的轴对称图形:画轴对称图形,首先应该确定对称轴,然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。(4)轴对称-最短路线问题:在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点 典例分析例1、下列图形中不

4、是轴对称图形的是()A B C D【解析】C例2、如图,是小华画的正方形风筝图案,他以图中的对角线AB为对称轴,在对角线的下方再画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若下列有一图形为此对称图形,则此图为()A B C D 【解析】C 例3、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多反射),那么该球最后将落入的球袋是() A1号袋B2号袋 C3号袋 D4号袋【解析】B例4、把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,重叠部分为EBD,下列说法错误的是()AAB=CD BBAE=DCE CEB=ED DABE一定等

5、于30【解析】D例5、如图,在ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,B=50,A=26,将ABC沿DE折叠,点A的对应点是点A,则AEA的度数是()A145 B152 C158 D160【解析】B例6、已知直线l的同侧有A,B两点(图1),要在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小小明同学的做法如图2:作点A关于直线l的对称点A,连接AB交l于点P,则PA+PB=AP+PB=AB,由“两点之间,线段最短”可知,点P即为所求的点请问小明同学的做法是否正确?说明理由【解析】小明的做法正确,根据两点之间线段最短分析即可答:小明的做法正确,理由如下:点A和点A关于直线l对称,且点P在l上,PA

6、=PA,又AB交l与P,且两条直线相交只有一个交点,PA+PB最短,即PA+PB的值最小学霸说:(1)对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线;(2)轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有多条。 举一反三1、下列各图中,为轴对称图形的是()A B C D【解析】C2、如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则CDM周长的最小值为()A6 B8 C10 D12【解析】连接AD,ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,ADBC,SABC=BCAD=4AD=16,解得AD=8,EF是线段AC的垂

7、直平分线,点C关于直线EF的对称点为点A,AD的长为CM+MD的最小值,CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+4=8+2=10故选C3、如图,MON内有一点P,P点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,GH分别交OM、ON于A、B点若GH的长为10cm,求PAB的周长为()A5cm B10cm C20cm D15cm【解析】B4、如图,ABC中,A=60,将ABC沿DE翻折后,点A落在BC边上的点A处如果AEC=70,那么ADE的度数为【解析】655、如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,求证:BF=DF;【解析】由折叠的性

8、质知,CD=ED,BE=BC四边形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD,BAD=90,AB=DE,BE=AD,在ABD与EDB中,ABDEDB(SSS),EBD=ADB,BF=DF6、如图,直线l同侧有A、B两点,请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P,使AP+BP值最小(不写作法,保留作图痕迹)【解析】作A点关于直线l的对称点A,连接AB交l于点P,则P点为所求知识要点二简单的轴对称图形(一)等腰三角形定义:三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。特征:(1)等腰三角形是轴对称图形。(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(也称“等腰三角形的三线合一”),“三线”所

9、在的直线就是等腰三角形的对称轴。(3)等腰三角形的两腰相等、两底角相等。判定方法:(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,这两个角所对的边也相等,简称“等角对等边”(二)等边三角形定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形。特征:(1)等边三角形是轴对称图形。(2)等边三角形的三条边相等,三个内角都相等且都为60判别方法:(1)三边都相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。(三)线段的轴对称性(1)线段是轴对称图形,垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。(2)线段的垂直平分线

10、定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也称中垂线。如上图,直线AB,且AC=BC,则直线叫做线段AB的垂直平分线。(3)线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图,则AP=BP.(4)尺规作线段的垂直平分线:(四)角的轴对称性(1)角是轴对称图形,角平分线所在的直线就是角的对称轴。(2)角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图,OP是AOB的角平分线,PDOA、PEOB,则DP=EP.(3)尺规作已知角的角平分线:如右上图 典例分析例1、如图,在ABC中,AB=AC,A=30,E为BC延长线上一点,ABC

11、与ACE的平分线相交于点D,则D的度数为()A15 B17.5 C20 D22.5【解析】A例2、如图,ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,A=50,则CDE的度数为()A50 B51 C51.5 D52.5【解析】D例3、等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则APE的度数是()A45 B55 C60 D75【解析】C例4、如图,在ABC中,B=55,C=30,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则BAD的度数为()A65 B60 C55 D45【解析】A例5、如图,在RtAB

12、C中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是()A15 B30 C45 D60【解析】B例6、在RtABC中,ACB=90,A=22.5,斜边AB的垂直平分线交AC于点D,点F在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CF,连接BF,DE线段DE和BF在数量和位置上有什么关系?说明理由DE=BF,DEBF理由如下:【解析】连接BD,延长BF交DE于点G点D在线段AB的垂直平分线上,AD=BD,ABD=A=22.5在RtABC中,ACB=9

13、0,A=22.5,ABC=67.5,CBD=ABCABD=45,BCD为等腰直角三角形,BC=DC在ECD和FCB中,RtECDRtFCB(SAS),DE=BF,CED=CFBCFB+CBF=90,CED+CBF=90,EGB=90,即DEBF 举一反三1、如图,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC,DEAB,DFAC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)DEF=DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分EDF;(4)EF垂直平分AD其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C2、已知:如图,在ABC中,D为BC的中点,ADBC,E为AD上一点,ABC=60,ECD=40,则ABE

14、=()A10 B15 C20 D25【解析】C3、如图,在ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点,EC=4,ABC的周长为23,则ABD的周长为()A13 B15 C17 D19【解析】B4、如图,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P,且与AB垂直若AD=8,则点P到BC的距离是()A8 B6 C4 D2【解析】C5、如图,已知BD平分ABC,AB=AD,DEAB,垂足为E(1)求证:ADBC;(2)若DE=6cm,求点D到BC的距离;当ABD=35,DAC=2ABD时,求BAC的度数【解析】(1)证明:BD平分ABC,ABD=DBC 又AB=ADD=ABDD

15、=DBC,ADBC;(2)解:作DFBC于FBD平分ABC,DEAB,DFBC,DF=DE=6(cm),BD平分ABC,ABC=2ABD=70,ADBC,ACB=DAC=70,BAC=180ABCACB=1807070=40学霸说:(1)利用中垂线的性质带来线段的相等,结合等腰三角形的性质,进行等量代换,解决线段相等问题(2)要善于利用已知条件,得到等腰三角形或等边三角形,从而进一步利用它们的性质解题。(3)平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据 课堂闯关 初出茅庐1、如图,直线l1l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC若ABC=67

16、,则1=() A23 B46 C67 D78【解析】B2、MON内有一点P,P点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,GH分别交OM、ON于A、B点,若MON=35,则GOH=()A60 B70 C80 D90【解析】B3、如图,在已知的ABC中,按以下步骤作图:分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;作直线MN交AB于点D,连接CD 若CD=AC,A=50,则ACB的度数为()A90 B95 C100 D105【解析】D4、如图,四边形ABCD中,B=90,ABCD,M为BC边上的一点,且AM平分BAD,DM平分ADC求证:(1)AMDM;(2)M为

17、BC的中点【解析】(1)ABCD,BAD+ADC=180,AM平分BAD,DM平分ADC,2MAD+2ADM=180,MAD+ADM=90,AMD=90,即AMDM;(2)作NMAD交AD于N,B=90,ABCD,BMAB,CMCD,AM平分BAD,DM平分ADC,BM=MN,MN=CM,BM=CM,即M为BC的中点 优学学霸1、如图,过边长为1的等边ABC的边AB上一点P,作PEAC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为 【解析】过P作PFBC交AC于FPFBC,ABC是等边三角形,PFD=QCD,APF是等边三角形,AP=PF=AF,PEAC,AE=E

18、F,AP=PF,AP=CQ,PF=CQ在PFD和QCD中,PFDQCD(AAS),FD=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=1,DE=2、如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN(1)求证:AE=BD;(2)求证:MNAB【解析】(1)ACD和BCE是等边三角形,AC=DC,CE=CB,DCA=60,ECB=60,DCA=ECB=60,DCA+DCE=ECB+DCE,ACE=DCB在ACE与DCB中,ACEDCBAE=BD(2)由(1)得,AC

19、EDCBCAM=CDN,ACD=ECB=60,而A、C、B三点共线DCN=60在ACM与DCN中,ACMDCN(ASA)MC=NCMCN=60MCN为等边三角形NMC=DCN=60NMC=DCAMNAB考场直播1、【2016深圳校级期末】如图,在等腰ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,BE与CD交于点O,且BO=CO,求证:(1)ABE=ACD;(2)DO=EO【解析】(1)AB=AC,ABC=ACB,OB=OC,OBC=OCB,ABCOBC=ACBOCB,即ABE=ACD(2)在DOB和EOC中,DOBEOC,DO=EO2、【2014深圳校级期末】(1)如图1,已知以ABC的

20、边AB、AC分别向外作等腰直角ABD与等腰直角ACE,BAD=CAE=90,连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于点G,求证:BE=DC,且BEDC请补充完整证明“BE=DC,且BEDC”的推理过程;证明:ABD和ACE都是等腰直角三角形(已知)AB=AD,AE=AC(等腰直角三角形定义)又BAD=CAE=90(已知)BAD+BAC= (等式性质)即: ABEADC( )BE=DC(全等三角形的对应边相等)ABE=ADC(全等三角形的对应角相等)又BFO=DFA( )ADF+DFA=90(直角三角形的两个锐角互余)ABE+BFO=90(等量代换) 即BEDC(2)探究:若以A

21、BC的边AB、AC分别向外作等边ABD与等边ACE,连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于G,如图2,则BE与DC还相等吗?若相等,请证明,若不相等,说明理由;并请求出BOD的度数?【解析】(1)CAE+BAC,DAC=BAE,SAS,对顶角相等,BOF=DAF=90;(2)证明:如图2,以AB、AC为边分别向外做等边ABD和等边ACE,AD=AB,AE=AC,ACE=AEC=60,DAB=EAC=60,DAB+BAC=EAC+BAC,DAC=BAE,在DAC和BAE中,DACBAE(SAS),CD=BE,BEA=ACD,BOC=ECO+OEC=DCA+ACE+OEC=BEA

22、+ACE+OEC=ACE+AEC=60+60=120BOC=60套路揭密:(1)等腰三角形或等边三角形可以给我们带来角、线段的相等,这些条件是判定全等三角形重要的条件,综合利用这些性质,可以给我们带来丰富的解题思路。自我挑战1、如图,ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O,则SABO:SBCO:SCAO= 【解析】4:5:62、如图,在ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E若EDC的周长为24,ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 【解析】DE是BC边上的垂直平分线, BE=CEEDC的周长为24,ED+DC+E

23、C=24,ABC与四边形AEDC的周长之差为12,(AB+AC+BC)(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)(AE+DC+AC)DE=12,BE+BDDE=12,BE=CE,BD=DC,得,DE=63、如图,C、E和B、D、F分别在GAH的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF,若A=18,则GEF的度数为()A75 B80 C85 D90【解析】D4、如图,APB与CDP是两个全等的等边三角形,且PAPD,有下列四个结论:PBC=15;ADBC;直线PC与AB垂直其中正确的有()A0个B1个C2个D3个【解析】D5、如图所示,ABC中,ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的平行

24、线交AC于点E,交ACB的外角平分线于点F求证:(1)DCF是直角三角形;(2)DE=EF【解析】(1)DC平分ACB,CF平分ACMACD=ACB,ACF=ACMDCF=ACD+ACF=(ACB+ACM)=90DCF是直角三角形;(2)DFBCEDC=BCD,F=FCMDC平分ACB,CF平分ACMACD=BCD,ACF=FCMEDC=ACD,F=ACFED=EC,EC=EFDE=EF6、如图,在等边ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动,点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟(1)你能用t表示BP和

25、BQ的长度吗?请你表示出来(2)请问几秒钟后,PBQ为等边三角形?(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇?解:(1)等边ABC,BC=AB=9cm,点P的速度为2cm/s,时间为ts,CP=2t,则PB=BCCP=(92t)cm;点Q的速度为5cm/s,时间为ts,BQ=5t;(2)若PBQ为等边三角形,则有BQ=BP,即92t=5t,解得t=,所以当t=s时,PBQ为等边三角形;(3)设ts时,Q与P第一次相遇,根据题意得:5t2t=18,解得t=6,则6s时,两点第一次相遇当t=6s时,P走过得路程为26=12cm,而91218,即此时P在AB边上,则两点在AB上第一次相遇思考乐优学产品中心初中组18