1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第03讲-变量之间的关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解变量、自变量、因变量、常量的含义，在具体情境中能确定自变量、因变量； 能从表格、关系式、图像中分析因变量与自变量的关系，能够推断具体情境。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 （一）变量相关的定义 1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2、自变量和因变量。（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个
2、数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。 （2） 自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。 区别：因变量随自变量的变化为变化。3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。（二）表示方法1、表格法。用表格来表示两个变量之间的关系，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量。从表格中可以发现因变量随自变量变化而发生的变化存在一定的规律-或者增加或者减少或者呈现规律性地起
3、伏变化，从而利用变化趋势对结果进行预测。 2、关系式法。含有两个未知数（变量）的等式表示这两个变量的关系式，用自变量表示因变量的代数式。3、图象法。用图象来表示两个变量之间的关系，较为形象、直观，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点，表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在的位置。（三）应用问题。结合表格法、关系式法、图象法三种关系表示变量之间的关系的方法，解决实际问题，一般包括路程问题、周长问题等等。典例分析 考点一：表格法例1、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（） 行驶速度； 行驶时间； 行驶路程；
4、汽车油箱中的剩余油量A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C例2、下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿） 时间（年）194919591969197919891999人口（亿）5.426.728.079.7511.0712.59从表中获取的信息：（1）人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量；（2）19791989年10年间人口增长最慢；（3）19491979这30年的增长逐渐加大，19791999这20年的增长先减小后增大；（4）人口增长速度最大的十年达到约20%，其中正确的有（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】C例3、某科研小组在网上获取了声音在
5、空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/ 20100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B温度越高，声速越快C当空气温度为20时，声音5s可以传播1740m D当温度每升高10，声速增加6m/s【解析】C例4、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（）Ax与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cmC弹簧不挂重物时的长度为0cm
6、 D物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm【解析】C例5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0x30）提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【解析】（1）提
7、出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；（2）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59（3）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强（4）由表中数据可知：当2x13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13x20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低考点二： 关系式法例1、用规格为50cm50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块若改用规格为xcmxcm的地板砖y块，恰好也能将客厅铺完（不考虑铺设地砖之间的缝隙），那么y与x之间的关系为（）Ay= By= Cy=150000x Dy=150000x2【解析】B例2、将长为
8、40cm，宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm（1）根据如图，将表格补充完整白纸张数12345纸条长度40 110145 （2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？（3）你认为多少张白纸粘合起来总长度可能为2016cm吗？为什么？【解析】（1）75，180；（2）根据题意和所给图形可得出：y=40x5（x1）=35x+5（3）不能。把y=2016代入y=35x+5，解得，不是整数，所以不能例3、如图，正方形ABCD的边长为4，P为CD边上一点（与点D不重合）设DP=x，APD的面积y关于x的函数关系式【解析】APD的面积：y=ADDP
9、=4x=2x （0x4）例4、某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元（1）请写出y与x的关系式，并完成表格x人50010001500200025003000y元 （2）当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？【解析】（1）请写出y与x的关系式，并完成表格x人50010001500200025003000y元300020001000010002000（2）当每月乘客量达到2000人以上时，收入大于支出，该公交车才不会亏损例5、如图所示，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径x（cm）由小
10、变大时，剩下的一个圆环面积y（cm2）也随之发生变化（1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？（2）写出用挖去的圆的半径x（cm）表示剩下的圆环面积y（cm2）的关系式（3）当挖去圆的半径为9cm时，剩下的圆环面积S为多少cm2？（结果保留）【解析】（1）在这个变化过程中，自变量是小圆的半径x，因变量是圆环面积y；（2）根据题意得：y=182x2=x2+324；（3）当x=9时，S=y=92+324=243例6、如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形DEFG的边长均为8cm，EF与AC在同一条直线上，开始时点A与点F重合，让三角形ABC向左移动，最后点A与点E重合（1）试写出两
11、图形重叠部分的面积y（cm2）与线段AF的长度x（cm）之间的函数关系式（2）当点A向左移动2cm时，重叠部分的面积是多少？【解析】（1）重叠部分的面积y与线段AF的长度x之间的函数关系式为（2）当点A向左移动2cm，即x=2cm， 当x=2时，y=22=2（cm2） 所以当点A向左移动2cm时，重叠部分的面积是2cm2考点三： 图象法例1、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A乙前4秒行驶的路程为48米B在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C两车到第3秒时行驶的路程相等D在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度【解析】C例2、星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻
12、炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OAABBC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（）A B C D【解析】B例3、园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（m）2与工作时间t（h）的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A100m2 B50m2 C80m2 D40m2【解析】B例4、在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化
13、的函数图象大致是（）A BC D【解析】B例5、小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校下图是他上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米（2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？（3）小明在书店停留了多少分钟？【解析】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；（2）根据图象，12x14时，直线最陡，小明在1214分钟最快，速度为=450米/分（3）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明
14、在书店停留了4分钟例6、某农民带了若干千克土豆进城出售，为了方便，他带了一些零用钱备用，他先按市场价卖出一些后，又降价卖，卖出土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示结合图象回答问题：（1）该农民自带的零钱是多少？（2）降价前土豆的单价是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余下的土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？【解析】（1）由图象可知，当x=0时，y=5 答：农民自带的零钱是5元 （2）设降价前土豆的单价是（205）30=0.5（元/千克）；答：降价前土豆的单价是0.5元/千克；（3）设降价后农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的
15、函数关系式为y=0.4x+b当x=30时，y=20b=8当y=26，即0.4x+8=26解得：x=45答：农民一共带了45千克土豆例7、甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的关系（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；（2）求y1、y2
16、与x的关系表达式；【解析】（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克=30元故答案为：30（2）由题意y1=300.6x+60=18x+60，由图可得，当0x10时，y2=30x；当x10时，设y2=kx+b， 将（10，300）和（20，450）代入y2=kx+b，解得y2=15x+150， 所以y2=P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A太阳光强弱 B水的温度 C所晒时间 D热水器【解析】B2、圆的面积公式为s=r2，其中变量是（）As B Cr Ds和r
17、【解析】D3、在ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=ah，当a为定长时，在此式中（）AS，h是变量，a是常量 BS，h，a是变量，是常量CS，h是变量，S是常量 DS是变量，a，h是常量【解析】A4、某款贴图的成本价为1.5元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价/元1.8 22.3 2.52.8 3 销量/个 2025 3026 22 18你认为其因变量为（）A成本价 B定价 C销量 D以上说法都不正确【解析】C5、地球某地，温度T（）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10来表示，如图，根据这个关系式，当d的值是900时，相应的T值是（）A4 B5 C
18、6 D16【解析】A6、根据如图所示的程序计算y值，若输入的x值为，则输出的结果y应为（） A B C D【解析】A7、小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是（）A BC D【解析】B8、某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升） 与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：（1）如图反映哪两个变量之间的关系？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（3）时间10分钟时，洗衣机处于哪
19、个过程？【解析】（1）图象反应的是：水量与时间之间的关系；（2）洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量40升；（3）04分钟是进水过程，415分钟是清洗过程，15分钟过后是排水过程故可得时间10分钟时，洗衣机处于清洗过程9、甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：（1）求乙的速度？（2）甲中途停止了多长时间？（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？【解析】（1）根据图象，可得乙的速度为：=（km/h）；（2）甲原来的速度为：=16
20、（km/h），甲后来的速度为：（km/h），由题意，得16（2.5-a）=20-8解得a=1，则a0.5=10.5=0.5故甲中途停止了0.5小时；（3）（10.5）=（km），（8）（16）=（h）乙离A地的路程为：（+）=（km）他们离B地的路程是20=（km）10、在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进（1）情境a，b所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境【解
21、析】（1）情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时 都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时 都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有 返回，只有 符合情境a；情境b：小芳从家出发，走了一段后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，只有 符合，故答案为：，（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家11、某机动车出发前邮箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图回答问题：（1）机动车行驶5h后加油，途中加油 升；（2）据图形计算，机动车
22、在加油前的行驶中每小时耗油多少升？（3）如果加油站距目的地还有400km，车速为60km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由【解析】（1）由图可得，机动车行驶5小时后加油为3612=24；（2）出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L， 因此每小时耗油量为6L，（3）由图可知，加油后可行驶6h， 故加油后行驶606=360km， 400360， 油箱中的油不够用 课后反击1、父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格距离地面高度（千米）012345温度（）201482410根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答（1
23、）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？【解析】（1）上表反映了温度和高度两个变量之间高度是自变量，温度是因变量（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着高度h的增大，温度t逐渐减小（或降低）（3）距离地面6千米的高空温度是162、某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列分式设置：排数（x）1234座位数（y）50535659（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？（2）写出座位数y与排数x之间的关系式；（3）按照上表所
24、示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由【解析】（1）由图表中数据可得：当x每增加1时，y增加3（2）由题意可得：y=50+3（x1）=3x+47（3）某一排不可能有90个座位，理由：由题意可得：y=3x+47=90解得：x=故x不是整数，则某一排不可能有90个座位3、为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，把试验的数据记录下来，制成如表：汽车行驶时间t（h）0123油箱剩余油量Q（L）100948882（1）上表反映两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据上表的数据，你能用t表示Q吗？试一试；（3）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（4）贮满100
25、L汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时？【解析】（1）上表反映两个变量中，汽车行驶时间t（h）是自变量，油箱剩余油量Q（L）是因变量；（2）Q=1006t；（3）当t=5时，Q=10065=10030=70，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L；（4）当Q=0时，0=1006t，t=答：贮满100L汽油的汽车，理论上最多能行驶小时4、端午节假期间，小亮一家到某度假村度假小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村如图是他们离家的距离s（km）与小明离家的时问t（h）的关系图请根据图回
26、答下列问题：（1）图中的自变量是 因变量是 ；（2）小亮家到该度假村的距离是 km；（3）小亮出发 小时后爸爸驾车出发：当爸爸第一次到达度假村后，小亮离度假村的距离是 km；（4）图中点A表示 ；（5）小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为 ；（6）小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时离家的距离约是 km【解析】（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；故答案为：时间或t；距离或s；（2）小亮家到该度假村的距离是：60；（3）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：当爸爸第一次到达度假村后，小亮离度假村的距离是40km；（4）图中点A表示：小亮出发2.5小时后
27、，离度假村的距离为10km；（5）小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间t（h）的关系式为：s=20t；（6）小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时离家的距离约是30或455、父子两人赛跑，如图，l甲、l乙分别表示父亲、儿子所跑的路程s/米与所用的时间t/秒的关系（1）儿子的起跑点距父亲的起跑点多远？（2）儿子的速度是多少？（3）父亲追上儿子时，距父亲起跑点多远？【解析】（1）由图可知儿子的起跑点距父亲的起跑点20米（2）儿子的速度=，则儿子的速度是米/秒；（3）设父亲追上儿子时，距父亲起跑点x米，则 解得：x=答：父亲追上儿子时，距父亲起跑点米6、如图，一张长和宽分别
28、为50cm和30cm的长方形纸板，在它的四个角剪去四个边长为x（cm）的小正方形纸板，然后折成无盖长方体容器，设无盖长方体容器的容积为y（cm3）（1）求y（cm3）与x（cm）之间的表达式；（2）若剪去的四个小正方形的边长为2cm，则求该容器的容积【解析】（1）y=（502x）（302x）x=4x3160x2+1500x（2）x=2时，y=42316022+15002=2392cm37、如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？（3）司机在第28分钟开始匀速
29、先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图【解析】（1）根据图象知道： 点A到点B是匀速运动、点E到点F是匀加速运动、点G到点H匀减速运动；（2）根据图象知道： 汽车在点A的速度是30千米每小时，在点C的速度为0千米每小时；（3）如图所示：直击中考 1、【2016 安徽】一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发
30、后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（）ABCD【解析】A2、【2015 济宁】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（） A B C D【解析】CS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2、自变量和因变量。（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。 （2） 自变量和因变量的区别和联系。
31、联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。 区别：因变量随自变量的变化为变化。3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。名师点拨 1、表格法。用表格来表示两个变量之间的关系，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量。从表格中可以发现因变量随自变量变化而发生的变化存在一定的规律-或者增加或者减少或者呈现规律性地起伏变化，从而利用变化趋势对结果进行预测。 2、关系式法。含有两个未知数（变量）的等式表示这两个变量的关系式，用自变量表示因变量的代数式。3、图象法。用图象来表示两个变量之间的关系，较为形象、直观，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点，表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在的位置。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 20