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七年级下册数学讲义第01讲-整式的乘除(培优)-教案

1、 学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题 第01讲-整式的乘除授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握幂的有关运算性质(同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方) 掌握整式的乘除运算法则,会利用其性质进行化简求值。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 (一)同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,用公式表示为(m,n都是正整数,底数不仅可以表示具体的数,也可以表示单项式与多项式) 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用:都是正整数)

2、都是正整数)(二)幂的乘方与积的乘方幂的乘方 1、幂的乘方的意义:幂的乘方指的是几个相同的幂相乘,如是3个相乘,读作a的五次幂的三次方,是n个相乘,读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质:都是正整数),就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数)积的乘方1、积的乘方的意义:积的乘方指底数是乘积形式的乘方,如等 2、积的乘方的运算性质:是正整数),就是说,积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数)(三)平方差与完全平方公式1、平方差公式:,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。公式的推导

3、:。平方差公式的逆用即平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数。(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去符号相反项的平方)(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式: 即两个数的和(或差)的平方,等于两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式: (四)整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数保持不变,作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则:根据分配律用单项式乘以多项式

4、的每一项,再把所得的积相加。公式如下: 都是单项式)3、多项式与多项式相乘法则:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。公式如下:都是单项式)(五)同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质:同底数幂相除,底数不变,指数相减,用公式表示为 (都是正整数)2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用:都是正整数)都是正整数),0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂 是正整数),此式也可逆用,即为正整数)4、用科学计数法表示小于1的正数 一般地,一个小于1的正数可以表示为的形式,其中1a10,n是负整数,且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数(包括小数点前面的零

5、)。(六)整式的除法1、单项式除以单项式法则:把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所有的商相加。典例分析 考点一:同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方例1、若am=2,an=3,则am+n等于()A5 B6 C8 D9 【解析】B例2、若5x=2,5y=,则x,y之间的关系为()Ax,y互为相反数 Bx,y互为倒数Cx=y D无法判断 【解析】A例3、为了求1+2+22+23+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+22011+22012,则

6、2S=2+22+23+24+22012+22013,因此2SS=220131,所以1+22+23+22012=220131仿照以上方法计算1+5+52+53+52012的值是() A520131 B52013+1 C D【解析】令S=1+5+52+53+52012 则5S=5+52+53+52012+52013 5SS=1+52013 4S=520131,则S=故选D例4、已知a=255,b=344,c=433,则a、b、c的大小关系为()Aabc Bacb Cbca Dbac【解析】a=(25)11=3211,b=(34)11=8111,c=(43)11=6411bca故选C例5、(1)已知

7、2a=5,2b=3,求2a+b+3的值(2)已知3x+25x+2=153x4,求(x1)23x(x2)4的值【解析】(1)2a+b+3=2a2b23=538=120(2)3x+25x+2=(15)x+2=153x4x+2=3x4,解得:x=3(x1)23x(x2)4=9例6、计算:(1)(x5)x3n1+x3n(x)4 (2)(3)a4(3a3)2+(4a5)2 (4)(x2)3(x3)23【解析】(1)原式=0 (2)原式= (3)原式=25a10 (4)原式=x36考点二:平方差与完全平方公式例1、可以用平方差公式进行计算的是()A(3a+2b)(3a+3b) B(3a2b)(3a+2b)

8、C(3a+2b)(3a+2b) D(3a2b)(3a+2b)【解析】C例2、(1)已知a+b=2,求代数式a2b2+4b的值(2)对于所有有理数,我们规定=adbc,按上述规定运算,求的值【解析】(1)a+b=2,a2b2+4b=(a+b)(ab)+4b=2(ab)+4b=2a2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4(2)=adbc,=(x+y)(xy)(x+y)(xy)=x2y2(x2y2)=0例3、如图所示,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(ab),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为()A(ab)2=a22ab+b2 B

9、(a+b)2=a2+2ab+b2Ca2b2=(a+b)(ab) Da2+ab=a(a+b)【解析】正方形中,S阴影=a2b2梯形中,S阴影=(2a+2b)(ab)=(a+b)(ab)故所得恒等式为:a2b2=(a+b)(ab)故选:C例4、在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记nk=1+2+3+(n1)+n,=(x+3)+(x+4)+(x+n);已知+4x+m,m的值是() A40 B70 C40 D20【解析】x2项的系数是4, n=5, (x+2)(x1)+(x+3)(x2)+(x+4)(x3)+(x+5)(x4) =(x2+x2)+(x2+x6)+(x2+x1

10、2)+(x2+x20) =4x2+4x40, (x+k)(xk+1)=4x2+4x+m, m=40故选C例5、(1)已知(a+b)2=25,(ab)2=9,求ab与a2+b2的值(2)已知 a+b=5,ab=7,求a2+b2,a2ab+b2 的值【解析】(1)(a+b)2=25,(ab)2=9a2+2ab+b2=25 ,a22ab+b2=9 + 得:2a2+2b2=34a2+b2=17 得ab=4(2)a2+b2=(a2+b2)=(a+b)2ab当 a+b=5,ab=7时a2+b2=527=a2ab+b2=(a+b)23ab当 a+b=5,ab=7时,a2ab+b2=5237=4例6、图a是一

11、个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1: (只列式,不化简)方法2: (只列式,不化简)(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗?代数式:(m+n)2,(mn)2,mn 【解析】(1)阴影部分的正方形边长是:mn 故答案为:mn;(2)阴影部分的面积就等于边长为mn的小正方形的面积,方法1:边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m,宽为2n的长方形面积,即(mn)2=(m+n)24mn方法2:边长为m+n的大正方形的面

12、积减去长为2m,宽为2n的长方形面积,即(mn)2=(m+n)22m2n(3)由题意可得:(m+n)2=(mn)2+4mn例7、计算:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (2)(x+y)(xy)+(2x+y)(2xy)(3)(2x3y53a2b4)(2x3y53a2b4) (4)(a+3)2(a2)(a+2)(5)(2x+3y)2(2x+y)(2xy) (6)(2x+1)24(x1)(x+1)【解析】解:(1)原式=2161 (2)原式=5x22y2 (3)原式=9a4b84x6y10 (4)原式=6a+13 (5)原式= 12xy+10y2 (6)原式=4x+5考点三:同底

13、数幂的除法例1、下列计算正确的是()Aa3+a3=a6 Ba6a3=a2 C(a2)3=a8 Da2a3=a5【解析】D例2、计算20161(2016)0的结果正确的是()A0 B2016 C2016 D【解析】D例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m,0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是()A9.1108 B9.1107 C0.91108 D0.91107【解析】A例4、计算(1)()1+(2)220160()2 (2)4.41019109(2.21011)+100(3)30 (4)()224(2016)0【解析】(1)原式=9 (2)原式=21 (3)原式= (4

14、)原式=9例5、(1)若3m=6,3n=2,求32m3n+1的值(2)已知9m32m+2=n,求n的值【解析】(1)32m=36,33n=832m3n+1=32m33n3=3683=(2)32m+2=(32)m+1=9m+19m3m+2=9m9m+1=91=()2,n=2考点四:整式的乘法与除法、混合运算例1、下列计算正确的是()A(xy)3=xy3 Bx5x5=xC3x25x3=15x5 D5x2y3+2x2y3=10x4y9【解析】C例2、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()A3 B3 C0 D1【解析】(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m=x2+(3+m

15、)x+3m,又乘积中不含x的一次项,3+m=0 解得m=3故选:A例3、计算:(1)x2y(2xy2) (2)(4a3b6a3b210ab2)(2ab)(3)2x(2y24y+1)2x(4xy) (4)(6m2n6m2n23m2)(3m2)【解析】(1)原式= x3y3 (2)原式=2a23a2b5b(3)原式= y+2 (4)原式=2n+2n2+1例4、化简求值(1)已知4x=3y,求代数式(x2y)2(xy)(x+y)2y2的值(2)已知x25x=3,求(x1)(2x1)(x+1)2+1的值(3)已知(xy)2=9,x2+y2=5,求x(x2y2xy)y(x2x3y)x2y的值【解析】(1

16、)(x2y)2(xy)(x+y)2y2=x24xy+4y2(x2y2)2y2=4xy+3y2=y(4x3y)4x=3y原式=0(2)(x1)(2x1)(x+1)2+1=2x2x2x+1(x2+2x+1)+1=2x2x2x+1x22x1+1=x25x+1x25x=3原式=3+1=4(3)(x3y2x2yx2y+x3y2)x2y=2xy2由(xy)2=9,得x22xy+y2=9x2+y2=52xy=4xy=2原式=42=6P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、计算(a)3(a)2的结果是()Aa6 Ba6 Ca5 Da5【解析】D2、(1)已知am=7,an=5,a

17、p=6,求am+n+an+p的值(2)已知:2x+3y4=0,求4x8y的值【解析】(1)原式=am+n+an+p=aman+anap=75+56=65(2)2x+3y4=0,2x+3y=4,4x8y=22x23y=22x+3y=24=163、基本事实:若am=an(a0且a1,m、n是正整数),则m=n试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值: 28x=27; 2x+2+2x+1=24【解析】 原方程可化为,223x=2723x+1=273x+1=7解得x=2 原方程可化为,22x+1+2x+1=242x+1(2+1)=242x+1=8x+1=3解得x=24、如图,大正方形的边长为m,小正

18、方形的边长为n,若用x、y表示四个相同长方形的两边长(xy),给出以下关系式: x+y=m; xy=n; xy= 其中正确的关系式的个数有()A0个 B1个 C2个 D3个【解析】由图形可得: 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽,故x+y=m正确; 小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽,故xy=n正确; 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积,故xy=正确所以正确的个数为3故选:D5、如图的图形面积由以下哪个公式表示()Aa2b2=a(ab)+b(ab) B(ab)2=a22ab+b2C(a+b)2=a2+2ab+b2 Da2b2=(a+b)(ab)【解析】大正方形面积为:(a

19、+b)2,大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab,可以得到公式:(a+b)2=a2+2ab+b2故选:C6、计算:(1)()5()3()2 (2)30(1)2+13(3)()0+()2+()2 (4)(5)(2x3y)(3y+2x)(4y3x)(3x+4y) (6)2x(x2y)(2xy)2【解析】(1)原式= (2)原式= 3 (3)原式=5 (4)原式=6 (5)原式=13x225y2 (6)原式=2x2y27、(1)如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值 (2)a2+2a1=0,求a2+的值【解析】(1)36x2+(m+1)xy+25y2=(6

20、x)2+(m+1)xy+(5y)2,(m+1)xy=26x5ym+1=60m=59或61(2)a2+2a1=0a=2两边平方得:(a)2=a2+2=4,则a2+=68、化简求值(1)当x=6,y=时,求(x)9(y)32y3的值(2),其中,(3)(a+b)(ab)+(4ab38a2b2)4ab,其中a=2,b=1【解析】(1)(x)9(y)32y3=x9y6y3的=(xy)9当x=6,y=时,原式=1(2)原式=3x23x2+xy+xy2y3=xy+xy2y3当x=,y=时,原式=(3)原式=a2b2+b22ab=a22ab当a=2,b=1时,原式=44=09、若m1,m2,m2015是从0

21、,1,2这三个数中取值的一列数,若m1+m2+m2015=1525,(m11)2+(m21)2+(m20151)2=1510,则在m1,m2,m2015中,取值为2的个数为510【解析】(m11)2+(m21)2+(m20151)2=1510m1,m2,m2015是从0,1,2这三个数中取值的一列数m1,m2,m2015中为1的个数是20151510=505m1+m2+m2015=15252的个数为(1525505)2=510个 课后反击1、已知xa=2,xb=3,则x3a+2b=()A17 B72 C24 D36【解析】B2、当m是正整数时,下列等式成立的有()(1)a2m=(am)2;(2

22、)a2m=(a2)m;(3)a2m=(am)2;(4)a2m=(a2)mA4个 B3个 C2个 D1个【解析】B3、如图,正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形,则需要C类卡片3张【解析】(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,则需要C类卡片3张,故答案为:34、计算:(1) (2)32+()1+(2)3+(892890)0(3) (4)【解析】(1)原式= (2)原式= (3)原式= - 6 (4)原式=145、(1)已知4m+n=90,2m3n=10,求(m+2n)2(3mn)2的值(2)已知实数a、b满足(a+b)2=3,

23、(ab)2=23,求a2+b2+ab的值【解析】(1)4m+n=90,2m3n=10(m+2n)2(3mn)2=(m+2n)+(3mn)(m+2n)(3mn)=(4m+n)(3n2m)=900(2)(a+b)2=3,(ab)2=23a2+2ab+b2=3,a22ab+b2=23 + 得,2(a2+b2)=26a2+b2=13 得,4ab=20ab=5 a2+b2+ab=13+(5)=86、已知x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,求m的值【解析】x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式m2+5=(m+1)2解得:m=27、化简:(1)(2ab)(3a22ab4b2) (2) 5a(

24、a2+2a+1)(2a+3)(a5)(3) (4)(2ab)2(8a3b4a2b2)2ab【解析】(1)原式=6a3b+4a2b2+8ab3 (2)原式=5a3+8a2+12a+15(3)原式=2x4 (4)原式= b22ab8、先化简,再求值:(1)(4ab38a2b2)4ab+(2a+b) (2ab),其中a=2,b=1(2)已知x=7,求1xx(1x)x(1x)2x(1x)2009的值【解析】(1)原式=b22ab+4a2b2=2a(2ab)当a=2,b=1时,原式=22(221)=12(2)1xx(1x)x(1x)2x(1x)2009=(1x)1xx(1x)x(1x)2x(1x)200

25、8=(1x)(1x)1xx(1x)2x(1x)2007=(1x)2010=(17)2010=62010直击中考 1、【2015成都】下列计算正确的是() Aa2+a2=a4 Ba2a3=a6 C(a2)2=a4 D(a+1)2=a2+1【解析】C2、【2016 常州】先化简,再求值(x1)(x2)(x+1)2,其中x=【解析】(x1)(x2)(x+1)2=x22xx+2x22x1=5x+1 当x=时,原式=5+1=3、【2013 义乌】如图1所示,从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中

26、阴影部分面积为S2,请直接用含a、b的代数式表示S1和S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式【解析】(1)大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,S1=a2b2,S2=(2a+2b)(ab)=(a+b)(ab);(2)(a+b)(ab)=a2b2S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 幂的乘方 1、幂的乘方的意义:幂的乘方指的是几个相同的幂相乘,如是3个相乘,读作a的五次幂的三次方,是n个相乘,读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质:都是正整数),就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数)积的乘方1、积的乘方的意义:积的乘方指底数

27、是乘积形式的乘方,如等 2、积的乘方的运算性质:是正整数),就是说,积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数)名师点拨 1、平方差公式:,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。公式的推导:。平方差公式的逆用即平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数。(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去符号相反项的平方)(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式: 即两个数的和(或差)的平方,等于两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式: 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 20