1、第13讲 概率初步 温故知新轴对称（一）轴对称的定义（1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（3）轴对称与轴对称图形的区别：成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。（二）轴对称的性质（1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。（2）轴对称的性质：在轴对称图形或两
2、个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论知识要点一。感受可能性（一）确定事件与不确定事件1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会
3、不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 典例分析例1、下列事件不是随机事件的是（）A投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B连续摸了两次彩票，均中大奖C投两枚硬币，朝上的面均为正面 DNBA运动员连续投篮两次均未进【解析】A例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A这个球一定是黑球 B摸到黑球、白球的可能性的大小一样C这个球可能是白球 D事先能确定摸到什么颜色的球【解析】C例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A确定事件 B必然事件 C不可能事件 D不确定事件【解析】D例4、下列事件属于随机事件的有（）当室外温度低于
4、10时，将一碗清水放在室外会结冰；经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯；今年春节会下雪；5，4，9的三根木条组成三角形AB CD【解析】C例5、如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的可能性最大的转盘是（）ABCD【解析】D学霸说：（1）必然事件和不可能事件都是确定事件。（2）在转盘问题中，可能性大小由转盘颜色区域的面积占总面积的百分比确定的。 举一反三1、袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球下面说法正确的是（）A这个球一定是黑球 B这个球一定是白球
5、C“摸出黑球”的可能性大 D“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大【解析】C2、标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（）A9个黑球和3个白球 B10黑球和10个白球C12个黑球和6个白球 D10个黑球和5个白球【解析】A3、甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所掷骰子的点数和大于6，则甲胜；反之，乙胜则甲、乙两人中（）A甲获胜的可能最大 B乙获胜的可能最大C甲、乙获胜的可能一样大 D由于是随机事件，因此无法估计 【解析】A4、一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（）A摸到红球是必然
6、事件 B摸到白球是不可能事件C摸到红球的可能性比白球大 D摸到白球的可能性比红球大【解析】C5、抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为16点）1次，落地后：（1）朝上的点数有哪些结果？他们发生的可能性一样吗？（2）朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生可能性大小相等吗？（3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4，这两个事件的发生可能性大小相等吗？如果不相等，那么哪一个可能性大一些？【解析】（1）因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为16点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，所以它们的可能性相同；（2）因为朝上的点数是奇数的有1，3，5，它们发生的可能性是，朝
7、上的点数是奇数的有2，4，6，它们发生的可能性是，所以发生的可能性大小相同；（3）因为朝上的点数大于4的数有5，6，发生可能性是=，朝上的点数不大于4的数有1，2，3，4，发生可能性是=，所以朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4可能性大小不相等，朝上的点数不大于4发生的可能性大知识要点二 频率的稳定性、等可能事件的概率（一）频率1、频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的概率。2、频率的稳定性：在大量重复试验的情况下，事件发生的频率会呈现稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动，这就是频率的稳定性，随着试验次数的增加，摆动的幅度将越来越小。3、概率：用常数来表示事件A
8、发生的可能性的大小，我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A），P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，P（不确定事件）是0与1之间的一个常数。（二）等可能事件的概率 1、等可能事件：一个试验的所有可能的结果有n种，每种试验有且只有其中一种结果出现，而且每种结果出现的可能性相同，我们称这样的试验结果叫做等可能事件。2、一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：P（A）=3、游戏的公平性：游戏对于双方公平的含义是指双方获胜的概率相等。判断游戏是否公平的实质是看两个事件或多个事件的发生是否具有等可能性，即获胜的概
9、率是否相同，若相同，则游戏公平，否则游戏不公平。 典例分析例1、在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A10B14C16D40 【解析】A例2、做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（）A0.22 B0.42 C0.50 D0.58 【解析】B例3、某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制
10、了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6C一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上D用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数【解析】B例4、下列说法正确的是（）A投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 B投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率一样C投掷一枚均匀的骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投6次，一定会出现一次“l点”D投掷一枚均匀的骰子前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大 【解析】A例5、在一个不透明的口袋里装有若干个
11、相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（9）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s15030060090012001500摸到白球的频数n63a247365484606摸到白球的频率0.4200.4100.4120.4060.403b（1）按表格数据格式，表中的a= ；b= ；（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；（4）试估算：口袋中红球有多少只？解：
12、（1）a=3000.41=123，b=6061500=0.404；（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；（3）摸到红球的概率是10.4=0.6；（4）设红球有x个，根据题意得：=0.6，解得：x=15； 举一反三1、盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为（）A24个 B32个 C48个 D72个【解析】A2、随机掷一枚均匀的硬币20次，其中有8次出现正面，12次出现反面，则掷这枚均匀硬币出现正面的概率是（）A B C D 【解析】B3
13、、关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A频率等于概率 B实验得到的频率与概率不可能相等C当实验次数很小时，概率稳定在频率附近 D当实验次数很大时，频率稳定在概率附近【解析】D4、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）A B C D【解析】C5、小红制作了十张卡片，上面分别标有09这十个数字从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是（）A BCD【解析】A6、在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断
14、重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【解析】（1）摸到白球的频率为0.6，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，（2）摸到白球的频率为0.6，假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6，（3）盒子里黑、白两种颜
15、色的球各有4024=16，400.6=24学霸说：（1）游戏对双方公平，并不是指双方获胜的概率是，而是获胜的概率相同即可。课堂闯关 初出茅庐1、一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球的大小，质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（）A摸出的4个球中至少有一个球是白球 B摸出的4个球中至少有一个球是红球C摸出的4个球中至少有两个球是红球 D摸出的4个球中至少有两个球是白球【解析】B2、下列事件中是随机事件的是（）A一星期有7天 B袋中有三个红球，摸出一个球是红球C字母M、N都轴对称图形 D任意买一张车票，座位刚好靠窗口【解析】D3、一个盒子里有10个红球，7个黄
16、球，9个白球，8个黑球，如果从盒子里任意摸出一个球，则在下列事件中，可能性最小的是（）A摸出的是黄球 B摸出的是红球 C摸出的是白球 D摸出的是黑球【解析】红色球：10（10+7+9+8）=1034，=， 黄色球：7（10+7+9+8）=734=， 白色球：9（10+7+9+8）=934=， 黑色球：8（10+7+9+8）=834=， 因为，所以摸到黄色球的可能性最小4、在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有3个每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在20%，由此可推算出m约为（）A3 B6 C9 D15【解析】D 5
17、、一个口袋中有9个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，小明重复上述过程共摸了100次，其中40次摸到白球，请回答：（1）口袋中的白球约有多少个？（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，若彩球池里共有1200个球，则需准备多少个红球？【解析】（1）设白球的个数为x个，根据题意得：，解得：x=6小明可估计口袋中的白球的个数是6个（2）1200=720答：需准备720个红球 优学学霸1、一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色不同外其余都
18、相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意摸出1球是红球的概率为（1）试求袋中篮球的个数；（2）现将一个红球从袋子中取出根据以下两种取法用列表法计算概率：一次性取出两球，有一个红球和一个黄球的概率；连续两次，一次一个（不放回）取出一个红球和一个黄球的概率试比较两种情况的可能性【解析】（1）设篮球有x个，则，解得x=1，情况球的种类1红，黄2红，蓝3蓝，黄 篮球有1个 （2）列表如右图： P（一红一黄）= 根据题意，列表得：红黄蓝红黄红蓝红黄红黄蓝黄蓝红蓝黄蓝 P（一红一黄）=，因此两种情况的可能性一样2、甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有
19、3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7从这3个口袋中各随机地取出1个小球（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？（2）取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？【解析】根据题意，画出如下的“树形图”：从树形图看出，所有可能出现的结果共有12个（2分）（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的结果有4个，即1，4，6；2，3，6；2，4，7；2，5，6所以P（两个偶数）=（4分）（2）取出的3个小球上全是奇数的结果有2个，即1，3，7；1，5，7所以P（三个奇数）=考场直播1、【2016深圳市校级期中】如图，有一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子，其中1个面标有“0”，1个面
20、标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余的面标有“5”，将这枚骰子掷出后：”6”朝上的概率是0；“5”朝上的概率最大；“0”朝上的概率和“1”朝上的概率一样大；“4”朝上的概率是以上说法正确的有（填序号）【解析】没有6的面，所以”6”朝上的概率是0，正确；“5”朝上的概率=概率小，故错误；“0”朝上的概率=和“1”朝上的概率=一样大，正确；“4”朝上的概率是正确；故答案为：2、【2016深圳校级期末】一副扑克牌除去大小王，有52张牌，若J为11，Q为12，K为13，A为1，（1）你认为下列四种说法中正确的是（填序号）；抽1次，抽到方片的概率和抽到黑桃的概率相同；抽
21、4次（每次抽完放回），一定能抽到红心；抽牌前默念几次“抽到方片”，则抽出方片的可能性就会加大；连续抽5次（不放回），抽出的数之和不可能等于5（2）求抽1次出现牌面数字8的概率；（3）若加入大小王，抽1次，抽到梅花的概率是多少？【解析】（1）52张纸牌中方片和黑桃各13张， 抽1次，抽到方片的概率和抽到黑桃的概率相同，为，正确； 抽4次（每次抽完放回），是随机事件， 错误； 抽到方片是随机事件，显然错误； 不放回的抽5次，抽出的数之和最小为6，正确； 故答案为：；（2）抽一次共有52种可能，其中出现牌面数字为8的有4种，抽1次出现牌面数字8的概率为=；（3）若加入大小王抽1次共有54钟等可能结果
22、，其中抽到梅花的有13种可能，抽到梅花的概率是套路揭密：（1）一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：P（A）=自我挑战1、下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（）A交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率B掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率C小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率D小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率【解析】D 2、如图，一个均匀的骰子，每个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，任意掷出骰子后，掷出的点数大于3的概率是（）ABCD【解析】D3、小明“
23、六一”去公园玩儿投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖（飞镖盘被平均分成8分），小明能获得奖品的概率是【解析】4、如图，将一个圆盘六等分，并把六个区域分别标上1，2，3，4，5，6，只有区域2为感应区域，中心角为30的扇形AOB绕点O转动，在其半径OB上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域2有重叠（O点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形ABO任意转动时，指示灯发光的概率为【解析】5、一个不透明口袋中装有5个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，充分搅匀后随机摸球（1）如果先摸出一白球，将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少？（2）如果先摸出一白球，这个白球不放
24、回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少？（3）如果先摸出一红球，这个红球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少？解：（1）先摸出一白球，将这个白球放回，那么第二次模球时，仍然有5个白球和6个红球，则再摸出一球，那么它是白球的概率是P=；（2）先摸出一白球，这个白球不放回，那么第二次摸球时，有4个白球和6个红球，那么它是白球的概率是P=；（3）先摸出一红球，这个红球不放回，那么第二次摸球时，有5个白球和5个红球，那么它是白球的概率是P=6、Windows2000下有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏的一部分：（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格）（1）现在还剩下几个地雷？（2）A、B、C三个方格中有地雷的概率分别是多大？解：（1）由于B、C下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C的右边已经有一个， A就是一个地雷，还有一个可能在B、C的位置， 现在还剩下2个地雷（2）根据（1）得P（A有地雷）=1P（B有地雷）=P（C有地雷）=思考乐优学产品中心初中组14