1、第04讲 三角形 温故知新本章知识框架图(一)三角形基本要素及性质(二)全等三角形的性质及条件知识要点一三角形（一）三角形的定义及分类（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，三个字母之间并无顺序关系。ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。（2）三角形的分类：按角分类（3）三角形内角的和等于180，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。（二）直角三角形（1）通常我们用“RtA
2、BC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在RtABC中， C=90，则 A+B=90(三）三角形三边关系（1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。（2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。（四）三角形的“三线”（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是ABC的BC边上的中线。一个三角形有
3、三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为ABC的重心。三角形的中线性质：中线平分一条边；无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点
4、，钝角三角形的高线所在直线交于三角形外部一点。 典例分析例1、已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且abc，则c的取值范围是（）A4c7 B7c10 C4c10 D7c13【解析】B例2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A3 B10 C6.5 D3或6.5【解析】C例3、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）A45 B135C45或135D都不对【解析】C 提示：如图例4、在ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且SABC=4cm2，则SBEF的值为（）A2cm2 B1cm2 C0.5cm2 D0.25cm2【解析】B例5、如图，把一
5、个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置若EFB=65，则AED等于 【解析】ADBC，EFB=FED=65，由折叠的性质知，折痕EF为D ED平分线，DEF=FED=65，AED=1802FED=50例6、如图，ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，A=50，C=60，求DAC及BOA【解析】A=50，C=60ABC=1805060=70，又AD是高，ADC=90，DAC=18090C=30，AE、BF是角平分线，CBF=ABF=35，EAF=25AFB=C+CBF=60+35=95，BOA=EAF+AFB=25+95=120，DAC=30，BOA=120学
6、霸说：（1）任意一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。（2）判断一个三角形的形状，只需看最大内角是什么角即可。 举一反三1、如图，点G是ABC的重心，且ABC的面积为9cm2，则ABG的面积为 cm2【解析】3cm22、如图所示，BE平分ABC，DEBC，若AED=40，BEC=110，则ADE= 度【解析】603、若ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a1，则a的取值范围为 【解析】ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a1，（3a1）+（2a+1）5，（3a1）（2a+1）5；1a74、如图，已知1=20，2=25，A=55，
7、则BOC的度数是 度【解析】1005、在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（）A19cm B19cm或14cm C11cm D10cm【解析】A6、如图，在ABC中，已知AB=AC，BAC和ACB的平分线相交于点D，ADC=125求ACB和BAC的度数【解析】AB=AC，AE平分BAC，AEBC（等腰三角形三线合一），ADC=125，CDE=55，DCE=90CDE=35，又CD平分ACB，ACB=2DCE=70又AB=AC，B=ACB=70，BAC=180（B+ACB）=40知识要点二全等三角形的性质和条件（一）全等三角形的定义及性质（1）全等三角形：能够完全重
8、合的两个三角形是全等三角形。全等用符号“”来表示，如图ABCDEF，其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。（二）三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。（3）三角形全等条件3： 两角分
9、别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 典例分析例1、已知：如图，AC=CD，B=E=90，ACCD，则不正确的结论是（）AA与D互为余角 BA=2 CABCCED D1=2【解析】D例2、如图所示，已知ABCADE，BC的延长线交DE于F，B=D=25，ACB=AED=105，DAC=10，则DFB为（）A40 B50 C55 D60【解析】设AD与BF交于
10、点M，ACB=105，ACM=180105=75，AMC=180ACMDAC=1807510=95，FMD=AMC=95，DFB=180DFMD=1809525=60故选D例3、如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：AE=BD；AG=BF；FGBE；OE=OD+OC其中正确结论的个数 （）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选D ，提示：在OE上截取OM=OD，连接DM，可以证明正确例4、已知ACFDBE，E=F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为 cm【解析】2例5
11、、如图，已知ABEACF，E=F=90，CMD=70，则2= 度 【解析】20例6、在RtABC中，A=90，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求证：AE=BG【解析】作EHBC于H，如图，E是角平分线上的点，EHBC，EACA，EA=EH，AD为ABC的高，EC平分ACD，ADC=90，ACE=ECB，B=DAC，AEC=B+ECB，AEC=DAC+ECA=AFE，AE=AF，EH=AF，FGBC，AGF=B，在AFG和EHB中，AFGEHB（AAS）AG=EB，即AE+EG=BG+GE，AE=BG 举一反三1、如图，点P是AOB的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP
12、，若再添加一个条件即可判定AOPBPO，则一下条件中：A=B；APO=BPO；APC=BPC； AP=BP；OA=OB其中一定正确的是 （只需填序号即可）【解析】2、如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于G，下列结论正确的有（）个BF=AC；AE=BF；A=67.5；DGF是等腰三角形； A1个 B2个 C3个D4个【解析】C3、如图，在ABC和DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（）ABC=EC，B=E BBC=EC，AC=DCCBC=EC，A=D DB
13、=E，A=D【解析】C4、如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由【解析】ABC和DEC是等边三角形，BC=AC，CD=CE，BCA=ECD=60，B=60，BCADCA=ECDDCA，即BCD=ACE，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），B=60，EAC=B=60，ACB=60，EAC=ACB，AEBC5、在RtABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC的中点，DGAC交AB于点GE为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FHFC，交直线AB于
14、点H。（1）试说明DG=DC（2）判断FH与FC的数量关系并加以说明【解析】（1）AC=BC，ACB=90A=45DGAC，ADG=90A=AGD=45，AD=DGAD=DCDG=DC（2）FH=FC理由如下：DG=DC，DE=DF，FG=ECDGAC，EDF=90DF=DEFED=CFD45FEC=135同理可求FGH=135FEC=FGHFHFC，HFC=90GFH+DFC=90ADG=90DFC+DCF=90GFH=FCD在GFH和FEC中，FGHFEC（ASA），FH=FC知识要点三全等三角形的应用、尺规作三角形（一）全等三角形的应用由于两个三角形全等，对应边相等，因此利用全等三角形可
15、以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。（二）尺规作三角形（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体做法如下：已知：线段a， c， （2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体做法如下：已知： ，线段c，求作：ABC，使A= ，B= ，AB=c 典例分析例1、请仔细观察用直尺和圆规作一个角AOB等于已知角AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出AOB=AOB的依据是（）ASAS BSSS CAAS DASA【解
16、析】由画法得OD=OC=OD=OC，CD=CD，所以OCDOCD（SSS），所以DOC=DOC，即AOB=AOB故选B例2、雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，BAD与CAD有何关系？说明理由【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：BAD=CAD，AB=AC，AE=AB，AF=AC，AE=AF，在AOE与AOF中，AOEAOF（SSS），BAD=CAD例3、用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段a，c，求作：ABC，使BC=a，AB=c，ABC=【解析】如图所示：先作MBN=，再在MBN的两
17、边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可 举一反三1、如图，在ABC中，C=90，CAB=50，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；作射线AG，交BC边于点D则ADC的度数为（）A40 B55 C65D75【解析】根据作图方法可得AG是CAB的角平分线，故选：C2、如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A29米
18、 B58米 C60米 D116米【解析】B3、数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线根据以上情境，解决下列问题：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS小聪的作法正确吗？请说明理由请你帮小颖设计用刻度尺画角平分线的方法（要求：画出图形，写出画图步骤，不予证明）【解析】（1）SSS；（2）小聪的作法正确理由：PMOM，PNONOMP=ONP=90，在RtOMP和RtONP中，RtOMPRtONP（HL），MOP=NOP，OP平分AOB；（3）如图所示步骤：利用刻度尺在OA、OB上
19、分别截取OG=OH 连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q作射线OQ则OQ为AOB的平分线课堂闯关 初出茅庐1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定【解析】C2、如图所示，已知ABD=ABC，补充一个条件，可使ABDABC，那么补充的条件不能是（）AAD=AC BBD=CB CD=C DDAB=CAB【解析】A3、下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（）A12cm，3cm，6cm B8cm，16cm，8cmC6cm，6cm，13cm D2cm，3cm，4cm【解析】D4、如图，在ABC中，AD
20、BC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则ABC= 度【解析】455、如图，在ABC中，ACB=90，CEAB于点E，AD=AC，AF平分CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G求证：（1）DFBC （2）FG=FE【解析】AF平分CAB，CAF=DAF在ACF和ADF中，ACFADF（SAS）ACF=ADFACB=90，CEAB，ACE+CAE=90，CAE+B=90，ACF=B，ADF=BDFBC证明：DFBC，BCAC，FGACFEAB，又AF平分CAB，FG=FE6、如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接
21、AE、EF和CF（1）求证：AE=CF；（2）若CAE=30，求EFC的度数【解析】（1）证明：在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）AE=CF（2）解：AB=BC，ABC=90，CAE=30，CAB=ACB=（18090）=45，EAB=4530=15ABECBF，EAB=FCB=15BE=BF，EBF=90，BFE=FEB=45EFC=180901545=30 优学学霸1、如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF（1）若AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和
22、位置关系；当点D在线段BC的延长线上时，中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；（2）如图3，若ABAC，BAC90，BCA=45，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系解：（1）BAC=90，ADF是等腰直角三角形，CAF+CAD=90，BAD+ACD=90，CAF=BAD，在ACF和ABD中，ACFABD（SAS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=90，B=ACB=45，BCF=ACF+ACB=45+45=90，CFBD；如图2，CAB=DAF=90，CAB+CAD=DAF+CAD，即CAF=BAD，在ACF和ABD中，ACFABD（SAS），CF=BD
23、，ACF=B，AB=AC，BAC=90，B=ACB=45，BCF=ACF+ACB=45+45=90，CFBD；（2）如图3，过点A作AEAC交BC于E，BCA=45，ACE是等腰直角三角形，AC=AE，AED=45，CAF+CAD=90，EAD+CAD=90，CAF=EAD，在ACF和AED中，ACFAED（SAS），ACF=AED=45，BCF=ACF+BCA=45+45=90，CFBD2、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE= 度；
24、（2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论解：（1）90理由：BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC即BAD=CAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），B=ACEB+ACB=ACE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90，BCE=90；（2）+=180，理由：BAC=DAE，BAD+DAC=EAC+DAC即BAD=CAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），B=ACEB+ACB=ACE+ACBB+ACB=，+B+ACB=180，+=180；当点D在射线
25、BC上时，+=180；理由：BAC=DAE，BAD=CAE，在ABD和ACE中ABDACE（SAS），ABD=ACE，BAC+ABD+BCA=180，BAC+BCE=BAC+BCA+ACE=BAC+BCA+B=180，+=180；当点D在射线BC的反向延长线上时，=理由：DAE=BAC，DAB=EAC，在ADB和AEC中，ADBAEC（SAS），ABD=ACE，ABD=BAC+ACB，ACE=BCE+ACB，BAC=BCE，即=考场直播1、【2015深圳校级期中】如图，射线AM与ABC的BC边交于点D，BEAM，CFAM，垂足分别为E，F，当点D在什么位置时，BE=CF？请说明理由 【解析】当
26、点D在BC的中点时，BE=CF，理由如下：BEAM，CFAM，垂足分别为E，F， BED=CFD=90， D是BC中点， BD=CD，BDE=CFD，在BED和CFD中BEDCFD（AAS）BE=CF2、【2016深圳校级期末】已知如图，BD=CD，ADB=ADC，DE、DF分别垂直于AB是AC交延长线于E、F试问BE=CF吗？请说明理由【解析】在ABD与ACD中， ABDACD（SAS）， BAD=DAC，AB=AC， AEED，AFDF， AED=AFD=90， 在AED与AFD中， AEDAFD（AAS）， AE=AF， AB=AC， BE=CF套路揭密：（1）全等三角形的判定与性质，掌
27、握全等三角形的判定定理“ASA”，“AAS”，“SSS”，“SAS”是解题的关键自我挑战1、等腰RtABC中，BAC=90，D是AC的中点，ECBD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则FBC的面积为（）A40B46C48D50【解析】CEBD， BEF=90，BAC=90，CAF=90，FAC=BAD=90，ABD+F=90，ACF+F=90，ABD=ACF，在ABD和ACF中，ABDACF，AD=AF，AB=AC，D为AC中点，AB=AC=2AD=2AF，BF=AB+AF=12，3AF=12，AF=4，AB=AC=2AF=8，FBC的面积是BFAC=128=48，故选C2、如图，在OB
28、C中，延长BO到D，延长CO到A，要证明OD=OA，则应添加条件中错误的是（）AABCDCB BOB=OC，A=DCOB=OC，AB=DC DA=D，ABC=DCB【解析】C3、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分线上正确的是（）ABC和D【解析】D4、如图，在ABC和DBC中，ACB=DBC=90，E是BC的中点，DEAB，垂足为点F，且AB=DE（1）求证：BD=BC（2）若BD=6cm，求AC的长【解析】DEAB BFE=90 ABC+DEB=90 ACB=90 ABC+A=90A=DEB，在ABC和EDB中A
29、BCEDB，BD=BC（2）解：E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，BE=BC=BD=3cm，ABCEDB，AC=BE=3cm5、已知：如图，ABC和DBE均为等腰直角三角形（1）求证：AD=CE；（2）求证：AD和CE垂直【解析】（1）证明：ABC和DBE是等腰直角三角形，AB=BC，BD=BE，ABC=DBE=90，ABCDBC=DBEDBC，即ABD=CBE，在ABD和CBE中，ABDCBE（SAS），AD=CE；（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：ABDCBE，BAD=BCE，BAD+ABCBGA=BCE+AFC+CGF=180，又BGA=CGF，BAD+ABC+BGA=BCE+AFC+CGF=180，AFC=ABC=90，ADCE思考乐优学产品中心初中组23