1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第01讲-相交线与平行线授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 认识并掌握相交线、平行线的相关知识； 运用两条直线平行的条件，证明两条直线平行； 平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达； 掌握尺规作图的基本方法。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架 二、知识概念（一）相交线1、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。2、 垂直的性质：（1）平面内，过
2、一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。4、互补与互余互补：如果两个角的和是180，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角，也称互余。性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。（二）平行线 1、两条直线平行的条件 两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为：同位角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件2：两条直线被第三条
3、直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称为：内错角角相等，两直线平行。两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称为：同旁内角互补，两直线平行。2、平行线基本公理过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行3、平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。性质 判定 二者的因果关系如下： 两直线平行。（三）尺规作图1、尺规作图：
4、在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图。2、利用尺规作一个角等于已知角： 已知AOB，如右图所示，求作，使=AOB。作法如下：做射线；以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点；过点作射线，即为所求。3、利用尺规作图比较两个角的大小。作法跟利用尺规作一个角等于已知角类似，只是把两个角的一条边重合在一起。典例分析 考点一：相交线例1、如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，ABl2，ACl1，AB=4，BC=3，AC=5。则下列说法正确的是（）A点B到直线 l1
5、的距离等于4 B点C到直线l1的距离等于5C直线l1，l2的距离等于4 D点B到直线AC的距离等于3【解析】B例2、下列说法： （1）相等的两个角是对顶角 （2）对顶角相等（3）不是对顶角的两个角不相等 （4）不相等的两个角不是对顶角其中正确的个数是（）A1个B2个 C3个D4个【解析】B例3、如图，已知BAC=90，ADBC于点D，给出以下结论： 点B到AC的垂线段就是线段AB； AB、AD、AC三条线段中，线段AD最短； 点A到BC的距离就是线段AD的长度； 点C和点B的距离就是线段CA的长度其中正确结论共有（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】B例4、下列说法错误的是（）A一个角的补
6、角比它的余角大 B若两角相等，则它们的补角也相等C相等的角是对顶角 D两个钝角不能互补 【解析】C例5、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，EOC：EOD=2：3，则BOD=（）A30 B36 C45 D72【解析】EOC：EOD=2：3EOC=180=72OA平分EOCAOC=EOC=72=36BOD=AOC=36 例6、如图，直线AB与CD相交于点O，AOM=90（1）如图1，若OC平分AOM，求AOD的度数；（2）如图2，若BOC=4NOB，且OM平分NOC，求MON的度数【解析】解（1）AOM=90，OC平分AOMAOC=AOM=90=45AOC+AOD=180AOD=18
7、0AOC=18045=135即AOD的度数为135（2）BOC=4NOB设NOB=x，BOC=4xCON=COBBON=4xx=3xOM平分CONCOM=MON=CON=xBOM=x+x=90x=36MON=x=36=54即MON的度数为54例7、探索研究：A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有 对不同对顶角；（2）如图b，图中共有 对不同的对顶角；（3）如图c，图中共有 对不同的对顶角（4）研究（1）（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角（5）计算2013条直线相交于一点，则可形成 对对顶角B：（1）3条直线
8、两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角（2）4条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角（3）n条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角（4）计算2013条直线最多有 个交点，则可形成 对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成 对不同的对顶角【解析】A：（1）有2对对顶角；（2）有6对对顶角；（3）有12对对顶角；（4）有n条直线时，有n（n1）对对顶角；（5）n=2013时，可形成20132012=4050156对顶角B：（1）如图（1），可得三条直线两两相交，最多有3个交点；有6对对顶角（2）如图（2），可得四条直线两两相交，最多有6个交点；又12对对顶角（
9、3）由（1）得，=3，由（2）得，=6；可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n2）有n（n1）对对顶角（4）当n=2013时，有2025078个交点，有4050156对对顶角考点二： 平行线例1、下列语句中： 一条直线有且只有一条垂线； 不相等的两个角一定不是对顶角 两条不相交的直线叫做平行线 两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等； 不在同一直线上的四个点可画6条直线； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角。其中错误的有（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】C例2、如图，能判定ECAB的条件是（） AB=ACE BA=ECD CB
10、=ACB DA=ACE【解析】D例3、如图，下列能判定ABCD的条件有（）个（1）B+BCD=180 （2）1=2 （3）3=4 （4）B=5 A1 B2 C3 D4【解析】C例4、如图，ABC=ADC，BF，DE分别是ABC，ADC的角平分线，1=2，求证：DCAB【解析】证明：DE分别是ABC，ADC的角平分线，ADC，2=ABCABC=ADC3=21=21=3DCAB例5、如图，在四边形ABCD中，B=D=90，AE平分BAD交CD于点E，CF平分BCD交AB于点F，求证：AECF【解析】证明：B=D=90，DAB+DCB=180，CFB+FCB=90AE平分BAD交CD于点E，CF平分
11、BCD交AB于点FEAB+FCB=DAB+DCB=90CFB=EABAECF例6、如图，直线ab，BC平分ABD，DEBC，若1=70，求2的度数【解析】直线ab1=ABD=70BC平分ABDEBD=ABD=35DEBC2=90EBD=55例7、学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）（4）从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来【解析】由图3可知，ABPE，CDPE，ABCD，即垂直于同一条直线的两条直线互相平行；由图4可知，ABPE，CDPE，1=2=90，ABCD，即同位角相等，两直线平行考点三：
12、尺规作图例1、尺规作图是指（）A用量角器和刻度尺作图 B用圆规和有刻度的直尺作图C用圆规和无刻度的直尺作图 D用量角器和无刻度的直尺作图【解析】C例2、如图，ABC中，AB=AC（1）以点B为顶点，作CBD=ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，证明：ACBD【解析】（1）解：如图，CBD为所作；（2）证明：由（1）得CBD=ABC又AB=ACABC=CCBD=CACBD例3、作图题：已知AOB，利用尺规作AOB，使AOB=2AOB【解析】先作一个角等于AOB，在这个角的外部再作一个角等于AOB，图中最大的角就是所求的角解：作法： 做DOB=AOB； 在DO
13、B的外部做AOD=AOB，AOB就是所求的角P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、平面上4条直线相交，交点的个数是（）A1个或4个 B3个或4个C1个、4个或6个 D1个、3个、4个、5个或6个【解析】如图所示，则交点的个数有1个，或3个，或4个，或5个，或6个，故选D2、如图所示，直线AB与CD相交于O点，1=2若AOE=140，则AOC 的度数为（）A40 B60 C80 D100【解析】AOE+BOE=180，AOE=1402=401=2BOD=22=80AOC=BOD=80故选C3、如图，直线AB，CD相交于点O，OEAB于点O，COE=61，则BOD的
14、度数是（）A19 B29 C51 D61【解析】OEABAOE=90AOC=90COE=9061=29BOD=AOC=29（对顶角相等）故选B4、如图，ABC中，C=90，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A2.5cm B3cm C4cm D5cm【解析】A5、下列说法中正确的是（）A如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行B不相交的两条直线一定是平行线C同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行D同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线【解析】D6、如图图形中，由1=2能得到ABCD的是（）A BC D【解析】B7、如图：E在线段CD上
15、，EA、EB分别平分DAB和CBA，AEB=90，设AD=x，BC=y，且（x3）2+|y4|=0（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论【解析】（1）（x3）2+|y4|=0x3=0，y4=0解得：x=3，y=4AD=3，BC=4（2）ADBC理由：EA、EB分别平分DAB和CBADAE=EAB，CBE=EBAAEB=90，EAB+EBA=90DAE+EBC=90EAB+EBA+DAE+EBC=90+90=180ADBC8、如图：已知ABDECF，若ABC=70，CDE=130，求BCD的度数【解析】ABCF，ABC=70BCF=ABC=70又DECF，CD
16、E=130DCF+CDE=180DCF=50BCD=BCFDCF=7050=209、MFNF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，1=140，2=50，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由菁优网版权所有【解析】延长MF交CD于点H1=90+CFH，1=140，2=50CHF=14090=50CHF=2ABCD10、将ABC纸片沿DE折叠，其中B=C（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索B与1+2之间的数量关系，并说明理由【解析】（1）AB与DF平行理由如下：由翻折，得DFC=C又B=CB=DFCABD
17、F（2）连接GC，如图所示由翻折，得DGE=ACB1=DGC+DCG，2=EGC+ECG1+2=DGC+DCG+EGC+ECG=（DGC+EGC）+（DCG+ECG）=DGE+DCE=2ACBB=ACB1+2=2B 课后反击1、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】D2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOC，OFOE于O，若AOD=70，AOF等于（ ）A35 B45 C55 D65【解析】B0C=AOD=70又OE平分BOCBOE=BOC=35OFOEEOF=90A
18、OF=180EOFBOE=55故选C3、如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则BOF的邻补角是（）ABOCBBOE和AOFCAOFDBOC和AOF【解析】B4、直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，且AOC=AOD80，求BOE的度数【解析】由邻补角的性质得AOC=180AOD，与AOC=AOD80联立，得解得由对顶角相等得BOD=AOD=50，由OE平分BOD，得BOE=BOD=255、观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交 三条直线相交 四条直线相交只有一个交点 最多的3个交点 最多有6个交；猜想： 5条直线相交最多有几个交点？ 6条直线相交最多有几个交点
19、？ n条直线相交最多有n个交点？【解析】 5条直线相交最多有=10个交点； 6条直线相交最多有=15个交点； n条直线相交最多有个交点。6、如图，已知B，E分别是线段AC，DF上的点，AF交BD于G，交EC于H，1=2，D=C，求证：DFAC【解析】证明：1=2，1=3（对顶角相等）2=3BDECDBC+C=180（两直线平行，同旁内角互补）又D=CDBC+D=180DFAC（同旁内角互补，两直线平行）7、已知，ABCD，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC（1）如图，当P在AB，CD之间时，求证：APC=A+C；（2）如图，当P在射线ME上时，探究A，C，APC的关系并
20、证明；（3）如图，当P在射线NF上时，直接写出A，C，APC三者之间关系【解析】（1）如图，过P点作，PEAB，则：A=APEABCDPECDEPC=C又APC=APE+EPCAPC=A+C（2）如图ABCDC=PGMPGM=A+APCC=A+APC（3）如图ABCDA=AGCAGC=C+APCA=C+APC8、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在RtABC中，A=90，BD平分ABC，M为直线AC上一点，MEBC，垂足为E，AME的平分线交直线AB于点F（1）如图，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ； 如图，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ； 如
21、图，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ；（2）请就图、图、或图中的一种情况，给出证明我选图 来证明【解析】解：（1） BDFM； BDFM； BDFM；（2）选择 证明：A=90，MEBC，A=CEM，CME=ABC，ABC+AME=180（三角形的内角和等于180），BD平分ABC，MF平分AME，AMF+ABD=90，AFM=ABD，BDFM（同位角相等，两直线平行）直击中考 1、【2016 赤峰】如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角ABC=150，BCD=30，则（） AABBC BBCCD CABDC DAB与CD相交【解析】C2
22、、【2016 淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中1=50，2=50，3=130，找出图中的平行线，并说明理由【解析】OABC，OBAC 1=50，2=50 1=2 OBAC 2=50，3=130 2+3=180 OABC3、【2015 北京】直线l1，l2，l3交于一点，直线l4l1，若1=124，2=88，则3的度数为（）A26B36 C46 D56【解析】B4、【2016 杭州】如图，已知ab，小华把三角板的直角顶点放在直线b上若1=40，则2的度数为（）A100 B110 C120 D130【解析】DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 平行线的性质1、
23、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。 2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。名师点拨 平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。性质 判定 二者的因果关系如下： 两直线平行。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 17