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七年级下册数学讲义第03讲-整式的乘法与平方差公式(培优)-教案

1、 学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题 第03讲-整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握整式的乘法法则,能够准确计算整式乘法的计算题; 理解平方差公式,了解平方差公式的几何背景,会灵活运用平方差公式进行计算。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 (一)整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数保持不变,作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则:根据分配律用单项式乘以多项式的每一项,再把所

2、得的积相加。公式如下: 都是单项式)3、多项式与多项式相乘法则:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。公式如下:都是单项式)(二)平方差公式1、平方差公式:,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。公式的推导:。平方差公式的逆用即平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数。(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去符号相反项的平方)(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式和多项式。 2、平方差公式的几何意义如图两幅图中,阴影部分的面积相等,第一个图的阴影部分的 面积是

3、:a2b2,第二个图形阴影部分的面积是:(a+b)(ab),则a2b2=(a+b)(ab) 平方差公式的几何意义还有很多,有兴趣的同学可以钻研一下。3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值,找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。典例分析 考点一:整式的乘法 例1、下列计算正确的是()A(2a)(3ab2a2b)=6a2b4a3b B(2ab2)(a2+2b21)=4a3b4C(abc)(3a2b2ab2)=3a3b22a2b3 D(ab)2(3ab2c)=3a3b4a2b2c【解析】D例2、若(am+1bn)(a2m1b2n)=a5b6(a、b均不等于1和0)则求m+n的值【

4、解析】解:(am+1bn)(a2m1b2n)=a3mb3n=a5b6m=,n=2,m+n=+2=例3、阅读下列文字,并解决问题已知x2y=3,求2xy(x5y23x3y4x)的值分析:考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多,不可以逐一代入求解,考虑整体思想,将x2y=3整体代入解:2xy(x5y23x3y4x)=2x6y36x4y28x2y=2(x2y)36(x2y)28x2y=23363283=24请你用上述方法解决问题:已知ab=3,求(2a3b23a2b+4a)(2b)的值【解析】(2a3b23a2b+4a)(2b)=4a3b3+6a2b28ab=4(ab)3+6(ab)28ab=43

5、3+63283=108+5424=78例4、计算:(1)(4ab3)(ab)(ab2)2 (2)(1.25108)(8105)(3103)(3)(x2yxy2y3)(4xy2) (4)anb23bn12abn+1+(1)2003 【解析】(1)原式=a2b4 (2)原式=31017 (3)原式=3x3y3+2x2y4+xy5 (4)原式=3anbn+12an+1bn+3anb2 例5、观察下列各式(x1)(x+1)=x21(x1)(x2+x+1)=x31(x1)(x3+x2+x+1)=x41 根据以上规律,则(x1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x71你能否由此归纳出一般性规律:(

6、x1)(xn+xn1+x+1)=xn+11根据求出:1+2+22+234+235的结果【解析】根据题意得:(x1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x71 根据题意得:(x1)(xn+xn1+x+1)=xn+11 原式=(21)(1+2+22+234+235)=2361例6、先阅读后作答:根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法例如:(2a+b)(a十b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1的面积关系来说明图3 (1)根据图2写出一个等式:(2)(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明【解析】(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2 画

7、出的图形如右图3:(答案不唯一,只要画图正确即得分)考点二: 平方差公式例1、已知a=20162,b=20152017,则()Aa=b Bab Cab Dab【解析】B例2、下列各式中不能用平方差公式计算的是()A(2a+b)(2ab) B(2a+b)(b2a)C(2a+b)(2ab)D(2ab) (2ab)【解析】C例3、小明在计算时,找不到计算器,去向小华借,小华看了看题说根本不用计算器,而且很快说出了答案你知道答案是多少吗,请将答案填在横线上有【解析】本题是平方差公式的逆用,把原式分母中200320012+2003200322变形为(2003200121)+(2003200321),利用

8、a2b2=(a+b)(ab)计算原式= =例4、计算:(1)(x+2)(x2)(x2+4) (2)(2a+b)(2ab)4a(ab) (3) (4)4002399401 (5)(2x3y)(3y+2x)(4y3x)(3x+4y) (6)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y)【解析】(1)原式=x416 (2)原式=b2+4ab (3)原式=12.32 (4)原式=1 (5)原式=13x225y2 (6)原式=5x2-2y2例5、若(N+2005)2=123456789,求(N+2015)(N+1995)的值【解析】解:(N+2015)(N+1995)=(N+2005)+10(N+200

9、5)10=(N+2005)2102(N+2005)2=123456789原式=123456789100=123456689例6、两个两位数的十位数字相同,一个数的个位数字是6,另一个数的个位数字是4,它们的平方差是220,求这两个两位数【解析】解:设这两个两位数的十位数字是x,则这个两位数依次表示为10x+6,10x+4,(10x+6)2(10x+4)2=220解得:x=5这个两位数分别是56和54例7、阅读下列材料:某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成41后,发现可以连续运用平方差公式计算:3(4+1)(42+1)=(41)(4+1)(42+1)=(421)(42+1)=1621

10、很受启发,后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(22048+1)的值时,又改造此法,将乘积式前面乘以1,且把1写为21得(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(22048+1)=(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(22048+1)=(221)(22+1)(24+1)(28+1)(22048+1)=(241)(24+1)(28+1)(22048+1)=(220481)(22048+1)=240961回答下列问题:(1)请借鉴该同学的经验,计算:;(2)借用上面的方法,再逆用平方差公式计算:【解析】(1)原式=2(1)(1+)(1+)+,=2(1)+,

11、=2+=2(2)=(1)(1+)(1)(1+)(1)(1+)=考点三:平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式)(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达)(4)运用你所得到的公式,计算:10.39.7 (x+2y3)(x2y+3)【解析】(1)a2b2(2)宽是:ab,长是:a+b,面积是:(a+b)(ab);(3)(a+b)(ab)=a2b2;(4)10.39.7=(10+0.3)(100.3)=1000.09=99.

12、91(x+2y3)(x2y+3)=x+(2y3)x(2y3)=x2(2y3)2=x2(4y212y+9)=x24y2+12y9例2、如图1所示,从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a、b的代数式表示S1和S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式【解析】解:(1)大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,S1=a2b2S2=(2a+2b)(ab)=(a+b)(ab);(2)根据题意得:(a+b)(ab)=a2b2例3、如图,边长为a的大正方形是由边长为b的

13、小正方形和四个全等的梯形拼成的,请利用此图证明平方差公式【解析】先求出梯形的高为(a2b),再根据四个梯形的面积列出等式整理即可得证证明:四个梯形是全等梯形,梯形的高为四个梯形的面积=4(a+b)=a2b2整理得(a+b)(ab)=a2b2P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列运算中,正确的是()A2x43x2=x2 B2x4+3x2=5x6 C2x43x2=6x8 D2x43x2=6x6【解析】D2、设(xm1yn+2)(x5my2)=x5y3,则nm的值为 【解析】解:(xm1yn+2)(x5my2)=xm1+5myn+22=x5y3m1+5m=5,n+

14、22=3解得m=1,n=3nm=31=33、某同学在计算一个多项式乘以3x2时,因抄错运算符号,算成了加上3x2,得到的结果是x24x+1,那么正确的计算结果是多少?【解析】这个多项式是(x24x+1)(3x2)=4x24x+1正确的计算结果是:(4x24x+1)(3x2)=12x4+12x33x2 4、若(x2+px)(x23x+q)的积中不含x项与x3项(1)求p、q的值;(2)求代数式(2p2q)2+(3pq)1+p2012q2014的值【解析】解:(1)(x2+px)(x23x+q)=x4+(p3)x3+(q3p)x2+(qp+1)x+q,积中不含x项与x3项,P3=0,qp+1=0p

15、=3,q=,(2)(2p2q)2+(3pq)1+p2012q2014=232()2+()2=355、计算:(1) (4xy3)(xy)+(3xy2)2 (2) 3(3mn)2(3mn)3(n3m)(3) (4)(2x3y)(3xy24xy+1)(5)(3x2)(3x+2)6(x2+x1) (6)(2x24)(2x1x)【解析】(1)原式=7x2y4 (2)原式=(3mn)6(3)原式=x4y4z3x4y4z=x4y4z (4)原式=6x4y3+8x4y22x3y(5)原式= 3x26x+2 (6)原式= x32x22x+46、已知代数式(mx2+2mx1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次

16、多项式,并且不含二次项,请分别求出m,n的值,并求出一次项系数【解析】解:(mx2+2mx1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mxxm3nx2,因为该多项式是四次多项式,所以m+2=4,解得:m=2,原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(83n)x2多项式不含二次项3+12n=0,解得:n=,所以一次项系数83n=8.757、若(x2+nx+3)(x23x+m)的展开式中不含x2和x3项,求m,n的值【解析】解:原式的展开式中,含x2的项是:mx2+3x23nx2=(m+33n)x2含x3的项是:3x3+nx3=(n3)x3由

17、题意得:,解得8、化简求值:已知:(x+a)(x)的结果中不含关于字母x的一次项,求(a+2)2(1a)(a1)的值【解析】(x+a)(x)=x2+axxa=x2+(a)xa 由题意得a=0则a=(a+2)2(1a)(a1)=a2+4a+4+1a2=4a+5 当a=时,原式=4+5=119、如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,如图(2)是由图(1)中阴影部分拼成的一个长方形(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:a2b2、(a+b)(ab)(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式?a2b2=(a+b)(ab)(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24

18、+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1【解析】(1)大正方形的面积为a2,小正方形的面积为b2,故图(1)阴影部分的面积值为:a2b2,图(2)阴影部分的面积值为:(a+b)(ab)故答案为:a2b2,(a+b)(ab)(2)以上结果可以验证乘法公式:a2b2=(a+b)(ab)故答案为:a2b2=(a+b)(ab)(3)原式 =(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1=2641+1=264 课后反击1、下列各题,计算正确的是()A3a24a3=12a6 B(x3)2=x9C(3m3)3=9mx9 D(xn)2=x2n【解析】D2、化简

19、:3(xy)2(yx)3(xy)4【解析】原式=3(xy)2(yx)3(xy)4=3(yx)2(yx)3(yx)4=3()()(yx)9=(yx)93、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,如图可表示的代数恒等式是()A(ab)2=a22ab+b2 B(a+b)2=a2+2ab+b2C2a(a+b)=2a2+2ab D(a+b)(ab)=a2b2【解析】C4、计算:(1)(a2b)(b2a+) (2)6a3b(2ab2c)(3)2a2b(3ab2ab1) (4)(5a2a+1)(3a2) 【解析】(1)原式=a2b3+a3ba2b (2)原式= 12a4b3c (3)原式=6a3b3+2

20、a3b2+2a2b (4)原式=15a4+a33a25、某同学在计算一个多项式乘以2a时,因抄错运算符号,算成了加上2a,得到的结果是a2+2a1,那么正确的计算结果是多少?【解析】计算一个多项式乘以2a时,因抄错运算符号,算成了加上2a,得到的结果是a2+2a1,这个多项式为:a2+2a1+2a=a2+4a1,正确的计算结果是:2a(a2+4a1)=2a38a2+2a6、(1)(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)+1(n是正整数)(2)(3+1)(32+1)(34+1)(32014+1)(3)【解析】解:(1)原式=(21)(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)+1=(

21、221)(22+1)(24+1)(22n+1)+1=(241)(24+1)(22n+1)+1=24n1+1=24n(2)原式=(31)(3+1)(32+1)(34+1)(32014+1)=(321)(32+1)(34+1)(32014+1)=(340281)=(3)原式=7、如图,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个相同长方形的两边长(xy),给出以下关系式: x+y=m; xy=n; xy= 其中正确的关系式的个数有()A0个 B1个 C2个 D3个【解析】解:由图形可得: 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽,故x+y=m正确; 小正方形的边长=长方形的长一长方形的

22、宽,故xy=n正确; 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积,故xy=正确, 所以正确的个数为3,选D直击中考 1、【2016 常州】先化简,再求值(x1)(x2)(x+1)2,其中x=【解析】解:(x1)(x2)(x+1)2=x22xx+2x22x1=5x+1当x=时,原式=5+1=2、【2015 珠海】计算3a2a3的结果为()A3a5 B3a6 C3a6 D3a5【解析】A3、【2015 佛山】若(x+2)(x1)=x2+mx+n,则m+n=()A1 B2 C1 D2【解析】CS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、幂的乘方的意义:幂的乘方指的是几个相同的幂相乘,如是3个相乘,读作a的五次幂的三次方,是n个相乘,读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质:都是正整数),就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数)3、幂的乘方的运算性质的逆用:都是正整数)名师点拨 1、积的乘方的意义:积的乘方指底数是乘积形式的乘方,如等 2、积的乘方的运算性质:是正整数),就是说,积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数)3、积的乘方的运算性质的逆用:是正整数)学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 16