1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第19讲-一模复习（二）23、24题学习目标1. 熟练掌握相似证明方法；2. 掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3. 能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；4. 体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；5. 会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。教学内容针对上节课的内容进行复习和提问，检查和讲解上次课的课后巩固作业 23题常考题型解析相似证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同
2、一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.【题型一】相似与线段比例1：已知：如图，是的边上一点，交边于点，延长到点，使得，联结，交边于点，联结（1）求证：；（2）如果，求证：第23题图【解析
3、】证明：（1），. （各2分） ，. （1分）（2），. （1分）， （1分）. （1分），. . （1分）. （1分）而，. （1分） （1分）例2：如图，已知在四边形中，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且；（1）求证：；（2）若，求证：； （第23题图）【解析】 略检测题1：如图10，已知在中，点在边上，分别是垂足。（1）求证：（2）联结，求证：【解析】证明：（1），（2分），（2分）即 （2分）（2）同理得：，（2分），（2分）即（2分）检测题2：已知，如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点；（1）求证：；（2）若，求证：；【解析】 略【题型二】相似与角度例题： 已知菱形A
4、BCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F.（1）求证：（2）如果，且AGBF，求cosF. 【解析】检测题：如图，点是正方形对角线上的一个动点（不与、重合），作交边于点，联结、交于点。（1）求证：；（2）若，求的值。【解析】 略【题型三】相似与线段长例题：如图，在与中，与相交于点，.（1）求证：；（2）若，求的长第23题图【解析】1）证明： ， 又 即 （2）解： 在中， 又 检测题：如图8，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AD1，BC3，ABCD2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，BAEDBC，（1）求证：ABEBCD；（2）求tanDBC的值；（3）求线段
5、BF的长 图8EABCDF【解析】H图8EABCDFG解：（1）等腰梯形中，（2分）又 （2分）（2）分别过点向边作垂线段，垂足分别为点（1分）, 矩形中, 又 , （1分）在中, （1分）在中, （1分）（3） （1分） 又，（1分），（1分）又， （1分）24题常考题型解析题型一：平行四边形【思路点拨】已知2个点的平行四边形题目 分类思路：已知边为平行四边形的“边”； 已知边为平行四边形的“对角线”例题：已知一个二次函数的图像经过、三点。（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点在轴上，点在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点、为顶点的四边形是平行四边形，求点、的坐标。【解析】（1）设所
6、求的二次函数的解析式为 因为抛物线经过 (0，3)、 (4，3)、 (1，0)三点， 所以。 解这个方程组， 得 所以，所求的二次函数的解析式为 （2）分两种情况讨论： 如图1所示，若是以点、为顶点的四边形是平行四边形的一边。由于点在轴上，那么必定也是这个平行四边形的一条边由此可知，因此点应该在过点且平行于轴的直线上，由此可知点与点(4，3)重合因为，所以因为四边形是平行四边形，所以，故可得 (5，0)， (4，3) 如图2所示，若是以点、为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线，由于点在轴上，那么依然还是这个平行四边形的一条边，因此依然可以过点作轴的平行线，交抛物线于点，容易发现这里的点依然是
7、与点 (4，3)重合，联结，过点作的平行线，交轴于点.四边形是平行四边形，,.故可得（-3，0）， (4，3) 综上所述，点、的坐标是 (5，0)， (4，3)或（-3，0）， (4，3)。 （图1） （图2）检测题：如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,已知点A（-4,0）.（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m,n）是抛物线在第二象限的部分上一动点，四边形OCDA的面积为S，求S 关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标.【答案】（1）；（2
8、）（3）、(、(.【解析】（1）连接,过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为, 将A（-4,0）代入到得，得到， 故抛物线的解析式为，可得 设的解析式为，代入A（-4,0）坐标的可得： ， 故抛物线的解析式为，的解析式为（2） 点在二次函数上（3）以为边，为边时过点作轴的平行线，交抛物线于点把代入中，得，以为边，为对角线时此时点在轴下方，过点作轴 ，把代入中，得()()， H()或()()()以为对角线时同，综上所述，(，(题型二：面积+三角比【思路点拨】求某个角的三角比时，直角三角形中，直接求 等角的转化或构造直角三角形（构造时一般要借助题目中的特殊度数， 如30、45或60）例：已知顶点为的抛
9、物线经过点，与轴交于两点（点在点的左侧）。（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 联结，求的面积；（3） 点在轴正半轴上，如果，求点的坐标。【答案】（1）（2）3（3）【解析】（1）由题意可设抛物线的解析式为：代入点可得：（2） 令，可得过点做轴于点，易得： （3） 过点做轴于点，易得：过点做垂直的延长线于点，易得：设点坐标为，则：易得：即：整理可得：或（舍去）检测题1：如图，抛物线与轴交于点和点,与轴交于但，抛物线的顶点为点。（1） 求抛物线的表达式并写出顶点的坐标；（2） 在轴上方的抛物线上有一点，若，试求出点的坐标；（3） 设在直线下方的抛物线上有一点，若，试求出点的坐标。【答案】（1）；
10、（2）（3）、【解析】（1）抛物线经过点 代入点可得， ，顶点坐标（2）设点 ,为锐角 点在点的左侧即 可解得 （舍） (3) 点在的下方 设 过点作直线垂直于轴，交轴与点，过点作垂直于直线 可解得，、检测题2：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，联结，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点.（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 联结，求的值；（3） 点在直线上，且，求点的坐标。【答案】（1）（2）（3）或【解析】（1）经过点 抛物线解析式为 (2) 由题意可知 如图1，作，垂足为M （3）.当点G在E点下方时 当点G在E点上
11、方时 综上，或题型三：相似【思路点拨】相似分类思路：一般可以找到一组固定相等的角 按边分类-相等角的两边（利用的是两边对于成比例且夹角相等） 按角分类-若上述比例式中的边没法表示时，可按角继续分类例题：如图，直线交轴与点，交轴于点，是坐标原点，且，抛物线经过、三点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）若点，在直线上有点，使得和相似，求出点的坐标；【解析】解：（1）据题意得中，又， 1分设：，、代入得，解得 直线解析式： 1分 、代入得解得 1分抛物线解析式： 1分（2） 设已知 据题意，当时， ， 2分 当时， ， ， 解得，（不合题意，舍去） 2分检测题1：如图7，已知抛物线与轴交于点和点（
12、点在点的左侧），与轴交于点，且,点是抛物线的顶点，直线和交于点。（1） 求点的坐标；（2） 联结，求的余切值；（3） 设点在线段延长线上，如果和相似，求点的坐标。【答案】（1）（2）3（3）【解析】（1）抛物线与轴的交于点和点（点在点的左侧） ，与轴交于点，,且,（2） (3)由，可得,在AOC和BCD中， ,，又;当相似时，可知;又点在线段的延长线上，,可得;由题意，得直线的表达式为;设.,解得（舍去）点M的坐标是检测题2：如图，抛物线经过点,，为抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）点关于抛物线的对称点为点，联结，求的正切值；（3）点是抛物线对称轴上一点，且和相似，求点的坐
13、标。【答案】（1）；（2）（3） 或【解析】（1）抛物线经过点, 可解得 顶点坐标 （2）过点作垂直于交于点 点与点关于对称轴对称 ,平行于轴 , 在等腰直角三角形中, 在直角三角形中, 的正切值为 （3） 设抛物线对称轴交轴与点 在直角三角形中，, , 点在点的下方 当与相似时，有下列两种情况： 当 时，即 可解得 当 时，即 可解得 综上所述： 或题型四：三角比+圆【思路点拨】关于圆与圆的位置关系时，一般充分利用圆与圆的5种位置关系的表达式找相应等量关系。例题：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），且与轴正半轴交于点，已知（2，0）（1）当（-4，0）时，求抛物线的解析式
14、；（2）为坐标原点，抛物线的顶点为，当时，求此抛物线的解析式；（3）为坐标原点，以为圆心长为半径画圆，以为圆心，长为半径画圆，当圆与圆外切时，求此抛物线的解析式.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）如图1，因为抛物线与轴交于两点，所以 (2)如图2，设抛物线的对称轴与轴交于点，设，那么由 ，得 所以所以抛物线的顶点式可以表示为代入点 ，得 ，得当 时，抛物线与 轴的交点在负半轴，不符合题意，舍去。当时，(3)如图3，当与外切时，在中由勾股定理得 解得或 (舍去)将点代入，得解得所以题型五：其他【思路点拨】本题思路：利用已知条件构造相似三角形。例题：在直角坐标系中，抛物线的顶点为，它的对称轴
15、与轴交点为。（1） 求点的坐标；（2） 如果该抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，且,，求的值。【答案】（1）,（2）【解析】(1) 顶点,（2） 第一种情况：如图，若抛物线与轴正半轴相交过点作的垂线,垂足为可证点坐标为且,解得：第二种情况：如图，若抛物线与轴交于负半轴分别过点、点作的垂线，垂足分别为同理过程可求出,解得：综上,的值为或.1:、如图，已知正方形，点在的延长线上，联结、，与边交于点，且与交于点G.（1） 求证：.（2）在边上取点，使得，联结交于点.求证：【解析】 略2、已知：如图6，菱形，对角线，交于点，垂足为点，交于点.求证：（1） （2）【解析】 略3、 已知：如图7，在四边形
16、中，对角线交于点，点在边上，联结交线段于点，. （1）求证：； （2）联结，求证：.【解析】 略4、如图，在中，点、分别在边、上，的平分线分别交线段于点（1） 求证：（2） 联结，若，求与的长.【解析】 略5、如图，在直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点、与轴相交于点，点在线段上，点在此抛物线上，轴，且，与相交于点.（1）求证：；（2）已知，求此抛物线的表达式.【答案】（1）略（2）【解析】（1） ， ，（2）轴， 已知，设在中，有勾股定理得：，即解得，抛物线解析式为：6、已知在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，且与轴相交于点；（1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点的坐标；（2
17、）求的正弦值；（3）设点在线段的延长线上，且，求点的坐标；【答案】（1）；（2）（3）、【解析】（1） 把代入解得（2） 的正弦值为（3） 过点作1.当点在轴上方直线解析式：解得2. 当点在轴下方解得：7、已知，如图8，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点和点，与轴交于点，且，点是第一象限内的点，联结，是以为斜边的等腰直角三角形.（1） 求这个抛物线的表达式；（2） 求点的坐标；（3） 点在轴上，若以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，求点的坐标.【答案】（1）（2）（3）点坐标为或【解析】（1）由题意可得代入得（2） 过点作为等腰直角三角形可证四边形为正方形,解得在第一象限内（3） ，可得为等腰直角三角形，则点在轴左侧i.，ii.若点在轴右侧，不存在综上所述：点坐标为或 27 / 27