1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第10讲：平行四边形的判定学习目标1掌握平行四边形判定定理； 2会应用平行四边形的性质定理和判定定理解决相关的几何证明和计算问题教学内容1、 上次课后巩固作业复习；2、平行四边形的判定 平行四边形判定定理边（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等角（4）两组对角分别相等对角线（5）对角线互相平分平行四边形性质定理1 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。简述为：平行四边形对边相等。平行四边形性质定理2 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相
2、等。简述为：平行四边形对角相等。平行四边形性质定理3 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。简述为：平行四边形的两条对角线互相平分。平行四边形性质定理4 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点平行四边形判定定理：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。1能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：ABCD的值为（ ）A、1234B、1423C、12
3、21 D、12122如图，E、F分别是ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有（ ）A、2个B、3个 C、4个D、5个3已知：四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：如果再加上条件“BCAD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“BADBCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“OAOC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“DBACAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（ ）A、 B、 C、 D、4在四边形ABCD中，AB
4、CD，如果要使这个四边形成为平行四边形，那么还需添加一个条件，这个条件可以是 参考答案：1D； 2C； 3C； 4 ABCD（答案不唯一）【例题精讲】例题1：已知：如图，ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA DC的延长线于点MN，交BABC于点P、Q，求证：MPNQ参考答案：可证四边形ACQM和四边形ACNP为平行四边形，可得MQACNP例题2：如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形求证：四边形ADFE为平行四边形；参考答案：可证EBFABC和DFCABC，可得EFACAD和DFABAE，根据两种对边分别相等的四边形是平行四边形例题3：如图，在ABCD中，分别从A
5、、B、C、D四点向对角线作垂线，垂足分别为E、F、G、H，求证：四边形EFGH为平行四边形。参考答案：易证RtBOERtDOG，得EOGO；同理可证：HOFO；根据对角线互相平行的四边形是平行四边形例题4：如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上求证：EF和GH互相平分参考答案：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点在ABC中，EG=BC；在DBC中，HF=BC，EG=HF同理EH=GF四边形EGFH为平行四边形EF与GH互相平分例题:5：已知：如图，在等边ABC中，D、F
6、分别为CB、BA上的点，且CDBF，以AD为边作等边三角形ADE求证：（1）ACDCBF； （2）四边形CDEF为平行四边形参考答案：(1)ABC为等边三角形，ACCB，ACDCBF60又CDBF，ACDCBF(2)ACDCBF，ADCF，CADBCFAED为等边三角形，ADE60，且ADDEFCDEEDB60BDACADACDBCF60，EDBBCFEDFC四边形CDEF为平行四边形.例题6：在等边ABC中，AB8，点D在边BC上，ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF/BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD
7、x，FGy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长参考答案：（1）证明：ABC和ADE是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60BADCAEBADCAEBACB60，ACEB60，BCE120BBCE180，BF/CEEF/BC，四边形BCEF是平行四边形 （2）解：四边形BCEF是平行四边形，BADCAE，BFCEBDx，EF/BC，AGFACB60FAG，FGAF8x，y关于x的函数解析式为，定义域为 （3）解：过点A作AHBC，垂足为H， BHBC8， ，DH当时，FG835当时，FG8531已知：如图，OCDE和ABCD；其中点O是ABC
8、D的对角线AC与BD的交点；求证：OE与AD互相平分参考答案：联结AE，证四边形AODE为平行四边形（一组对边平行且相等）2已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EGED，延长CE到点F，使得EFEC求证：AFBG参考答案：联结FG，GC，FD，分别证明四边形CDFG和ABGF为平行四边形即可3如图，在中，、交于点，、的中点分别是、求证：四边形是平行四边形参考答案：根据对角线互相平分即可证明4如图，在ABCD中，DAB60，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AEAD，CFCB（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“DAB60”，上述的结论还成立吗？若成
9、立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由参考答案：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCBDAB60ADECBF60 AEAD，CFCB，AED，CFB是正三角形AECBFC60，EAFFCE120四边形AFCE是平行四边形（2）解：上述结论还成立证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，CDACBA，DCBDAB，ADBC，DCABADECBF AEAD，CFCB，AEDADE，CFBCBF AEDCFB又ADBC， 在ADE和CBF中ADECBF，AEDCFB，ADBCADECBF（AAS）AEDBFC，EADFCB又DABBCD，EAFFCE四边形EAFC是平行四边形1
10、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AB上，且AFCE，FGAD于G，EHBC于H求证：四边形EGFH为平行四边形（运用两种以上的方法证明）参考答案：方法1：先证AGFCHE得FGEH，AGCH，再证GDEHBF得GEFH，从而四边形EGFH为平行四边形方法2：延长GF交BC于M，可证GFEH，再证AGFCHE得FGEH，从而四边形EGFH为平行四边形2如图，在平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别是E、F.求证：四边形AECF是平行四边形.参考答案：由已知证得AECF；由ABEDCF证得AECF3如图在RtABC中，C90，M是AB中点，AMAN，MNAC，求证：MN
11、AC参考答案：联结CM，证明四边形ACMN为平行四边形4已知：如图，oABCD中，求证： ENMF参考答案：证明四边形EMFN为平行四边形（一组对边平行且相等）5.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AEBD于E，CFBD于F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）参考答案：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形证明：有（1）可知：BE=DF，四边形ABCD为平行四边行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN，DNFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四边形MENF是平行四边形1回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；边角对角线对称性矩形菱形2.总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；矩形的判定菱形的判定四边形矩形四边形菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 10 / 10