1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题特殊的平行四边形（下）学习目标1理解正方形的概念；2掌握正方形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算教学内容1、 上次课后巩固作业复习；互动探索观察下面几幅图片，你能联系到数学中的哪些知识？【知识梳理1】1在下图箭头上填上适当条件一组邻边相等一个角是直角2总结一下正方形所具备的性质：边角对角线对称性正方形两组对边平行四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等每一条对角线平分一组对角中心对称轴对称正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等
2、 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）【例题精讲】例题1：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，DCE是等边三角形，AE、BD交于点F，（1）若OF1，求AB的长； （2）在（1）的条件下，求ADE的面积参考答案：（1）ADE90+60150，ADDCDEDAEDEA15DAO45， OAF30 在RtAOF中，AF-OF2，在等腰直角AOB中，（2）作EHAD延长线；EDH90-6030， 例题2：如图，正方形中点是边上的一个动点，且，与相
3、交于点 当在边上运动时，试判断的形状并证明参考答案：证明ADPDCQ，可得DPQ为等腰直角三角形例题3：如图，在正方形中，已知，垂足为，与交于点，与交于点，求证：参考答案：证明ADPDCQ，可得DPQ为等腰直角三角形【试一试】：如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG交DE于点H，求证：BHDE 参考答案：（1）解：猜想：BG=DE；四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，BC=DC，BCG=DCE=90，CG=CE，BCGDCE（SAS），BG=DE；CBG=
4、CDE，CBG+BGC=90，CDE+CED=90，BGC=CED，BHE=BCD=90，BGDE；（2）证明：在BCG与DHG中，由（1）得CBG=CDE，CGB=DGH，DHB=BCG=90，BHDE例题4：如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，作OEOF，垂足为点O，OE、OF分别与边AB、BC交于点E、F，其中AE4，CF3，（1）求EF的长； （2）求EOF的面积。参考答案：（1）四边形ABCD是正方形， OBOC，BOCEOF90，OEOF BOCEOF90 EOBFOC，ABCBCD90 OCBOBE45在BOE和COF中，OCBOBE45，OBOC，EOBFO
5、C，BOECOF（ASA）BFAE4，同理BECF3在RtBEF中，EF5（2）BOECOF OEOFOEF为等腰直角三角形 OEOF例题5：如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点
6、Q的位置并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由 参考答案：（1）PQ=PB，过P点作MNBC分别交AB、DC于点M、N，在正方形ABCD中，AC为对角线，AM=PM，又AB=MNMB=PN，BPQ=90，BPM+NPQ=90；又MBP+BPM=90，MBP=NPQ，在RtMBPRtNPQ中，RtMBPRtNPQ，PB=PQ（2）S四边形PBCQ=SPBC+SPCQ，AP=x，AM= x，CQ=CD2NQ=1x，又SPBC= BCBM= 1（1x）= ，SPCQ= CQPN= （1x）（1x）= + ，S四边形PBCQ= x+1（0x）（3）PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合时，点Q与点
7、D重合，PQ=QC，此时，x=0当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，有：QN=AM=PM= x，CP= x，CN= CP=1x，CQ=QNCN= x（1x）= x1，当x= x1时，x=1例题5：如图所示，在ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MNBC交BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点（1）求证：OEOF（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，请说明理由？（3）在第（2）问基础上，如果使四边形AECF变成正方形，需要在ABC中添加什么条件，请说明理由？ 参考答案：（1）CE为BCA的平分线 ，BCEOCE又MNBC，BCEOECOCE OEC，OEOC同理：OFOC O
8、EOF（2） 当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；证明：AOCO，OEOF，四边形AECF是平行四边形，ECA+ACFBCD，ECF90，四边形AECF是矩形（3）需添加ACB90；证明：ACBC，MNBCACEF四边形AECF是菱形又四边形AECF是矩形四边形AECF是正方形1如图，是正方形的对角线上的一点，且，、分别是垂足求证：参考答案：联结PC，证明PECF为矩形及ADPCDP即可 2如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形参考答案：
9、（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AOCO 又ACE是等边三角形，EOAC，即DBAC 平行四边形ABCD是菱形；（2）ACE是等边三角形，AEC60EOAC，AED30AED2EAD，EAD15ADOEAD+AED 45 四边形ABCD是菱形，ADC2ADO90 四边形ABCD是正方形 3如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是 OC上的一点， AGBE于 G，AG交 OB于 F，求证：OEOF参考答案：四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOC，OBOD，OAOB，ACBD，AGBE，FAO+AFO90，EAG+AEG90，AFOBEO，在AOF和BOE中，AFOBEO，FOA
10、EOB，OAOB，AOFBOE（AAS），OEOF；补充类试题：1已知：如图所示：、分别是正方形的边、上的点，且，求证： 参考答案：辅助线如图所示，先证ADFABG，再证AEFAEG即可1如图：正方形ABCD的边长为4，AE平分DAC，EFAC，垂足为F，则FC 。2已知：如图，O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OFOE交BA延长线于点F，联结EF。（1） 求证：EOFO；（2） 若正方形的边长为2， OE2OA，求BE的长3如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点.求证：（1） (2)4.如图，在四边形ABCD中，点E是
11、线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EFBC，且EF= BC，证明：平行四边形EGFH是正方形解题思路：（1）G，F分别是BE，BC的中点，GFEC且GF= EC又H是EC的中点，EH= EC，GFEH且GF=EH四边形EGFH是平行四边形（2）G，H分别是BE，EC的中点，GHBC且GH= BC又EFBC且EF= BC，又EFBC，GH是三角形EBC的中位线，GHBC，EFGH，又EF=GH平行四边形EGFH是正方形参考答案：1； 2（1）证明：ABCD是正方形，对角线交于点O，AOBO，ACBD， OABOBA,OAFOBE，ACBD，OFOE，AOFBOE，AOFBOE，EOFO.（2）解：ABCD是正方形，边长为2，AO,OE2OA OFOE，EOFO，EF4， AOFBOE，AFBE， 设AFBEx， 在RtEFB中，,即 解得，x0，即BE3证明：（1）正方形 是的中点 是的中点 (2)证 1在箭头上填上适当的条件；一个角是直角，一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角四边形平行四边形梯形矩形矩形矩形矩形直角梯形正方形等腰梯形菱形菱形菱形菱形2回顾等腰梯形的性质与判定，完成下表：边角对角线对称性等腰梯形等腰梯形的判定方法边角对角线 12 / 12