1、数学试卷共 6 页第 1 页 江苏卷最后一届特供模拟试卷 数学2020.02 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满 分 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写 在试卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效 作 答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答
2、题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可 擦洗的圆珠笔 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分请把答案写在答题纸的指定位置上 1已知集合 2,1, 2A ， 2 |2Bx x，则AB 2设i为虚数单位，若复数满足(1) izi，则z的虚部为 3采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取 100 名医生支援湖北，已知从军区总 院全体 900 名医生中抽取的人数为 40，则鼓楼医院的医生总人数为 4在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 41Cyx：的渐近线方程为 5已知某厂生产的 6 个网球中有 2 个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现，现 从
3、这 6 个网球中任取 3 个进行检测，则检测出劣等品的概率是 6执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为 （第 6 题） 开始 3i ，1n 34n nni 输出i 结束3ii 是 否 数学试卷共 6 页第 2 页 7等差数列 n a的前n项和为 n S，且 105 4100SS，则 n a的通项公式为 8已知( )f x是定义在R上的偶函数，且( )f x在区间0,)上单调递增，则不等式 8(1)(2lg )ffx的解集为 9在平面直角坐标系xOy中，奇函数( )yf x的图像可由函数( )cos(3)g xx(|) 2 8的图像向左平移 4 个单位得到，则 10已知某四面体ABCD的两个面
4、ABC和BCD均是边长为 2 的正三角形，且1AD ，则 该四面体的体积为 11在平面直角坐标系xOy中，A的坐标为(2,0)，B是第一象限内的一点，以C为圆心的 13圆经过OAB、 、三点，且圆C在点,A B处的切线相交于P，若P的坐标为(4,2)，则直 13线PB的方程为 12已知函数 1 0 ( ) ln0 xx f xx xexx ， ， ，若kxxfxg)()(有两个不等的零点，则实数k的 取值范围为 13在ABC中，D为AC的中点，若 3 cos 5 DBC， 7 cos 25 DBA，且2AB AC ， 13则BA BC 的值为 14在平面直角坐标系xOy中，异于原点的CBA、三
5、点满足632 222 OCOBOA， 则ABC面积的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知角(0, )，且满足 15 sin 4 （1）若是锐角，求tan 3 ； （2）若是钝角，求cos 2 4 数学试卷共 6 页第 3 页 16 （本小题满分 14 分） 将正方体 1111 ABCDA B C D沿三角形 11 ABC所在平面削去一角可得到如图所示的几何体 （1）连结 1 ,BD BD，证明： 111 BDDABC平面平面； （2）已知,P Q R分别是正方形 111
6、1 ABCDCDD CADD A、的中心（即对角线交点） ， （2）证明： 11 PQRABC平面平面 （第 16 题甲）（第 16 题乙） 17 （本小题满分 14 分） 某工厂打算设计一种容积为 3 2m的密闭容器密闭容器用于贮藏原料， 容器的形状是如图所示的直 四棱柱，其底面是边长为x米的正方形，假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计 （1）请你确定x的值，使得该容器的外表面积最小； （2）若该容器全部由某种每平方米价格为 100 元的材料做成，且制作该容器仅需将购置的 材料做成符合需要的矩形，这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面（假设这 一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计）
7、 ， 再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊 接即可做成该容器，焊接费用是每米 500 元，试确定x的值，使得生产每个该种容器 的成本（即原料购置成本+焊接费用）最低 （第 17 题） AD BC 1 A 1 D 1 C AD BC 1 A 1 D 1 C Q R P 数学试卷共 6 页第 4 页 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左右焦点分别为 1 F、 2 F，左右顶点分别为A、B，上 顶点为T，且 12 TF F为等边三角形 （1）求此椭圆的离心率e； （2）若直线ykxm0k （）与椭圆交与C、D两点（点D在x轴上方） ，且与线段 12 F
8、F及 （2）椭圆短轴分别交于点M、N（其中M、N不重合） ，且| |CMDN （2） 求k的值； （2） 设AD、BC的斜率分别为 1 k、 2 k，求 1 2 k k 的取值范围 19 （本小题满分 16 分） 已知函数( ) xx f xaa ，0a 且1a ，函数 2 ( ) 1 x g x x （1）判断并证明( )f x和( )g x的奇偶性； （2）求( )g x的值域； （3）若x R，都有( )( )f xg x成立，求a的取值范围 20 （本小题满分 16 分） 若数列 n a满足：对任意 * nN，均有 nnn abc成立，且 ,c nn b都是等比数列，则 称(), nn
9、 b c是数列 n a的一个等比拆分 （1）若2n n a ，且 1 (), nn b b 是数列 n a的一个等比拆分，求 n b的通项公式； （2）设(), nn b c是数列 n a的一个等比拆分，且记 ,c nn b的公比分别为 12 qq，； 若 n a是公比为q的等比数列，求证： 12 qqq； 若 1 1a ， 2 2a ， 12 1qq ，且对任意 * nN， 3 1122 + nnnnnn aa aaaa 恒成立， 求 3 a的取值范围 数学试卷共 6 页第 5 页 江苏卷最后一届特供模拟试卷 数学附加题2020.02 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题
10、答题要求 1本试卷包含选做题（第 21 题） 、必做题（第 21 题第 22 题） 本卷满分 40 分， 考试时间为 30 分钟 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写 在试卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效 作 答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可 擦洗的圆珠笔 选做题21 （在 A、B、C 三小题中选做 2 题，若多做按前两题计分，
11、每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内 ） A （选修 4-2：矩阵与变换） 已知 313 , 102 A，求 1 A B （选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C的参数方程为 2 2 2 12 12 2 2 12 t x t t y t ，直线l的参数方程为 12 3 xa ya （1）求曲线C的一般方程； （2）求直线l被曲线C截得的弦长 C （选修 4-5：不等式选讲） 已知,0x y ，且4xy ，证明： 22 1 442 yx xy 数学试卷共 6 页第 6 页 必做题（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内） 2
12、2.（本小题满分 10 分） 如图所示是一个上下底面均是边长为 2的正三角形的直三棱柱， 且该直三棱柱的高为4， D为AB的中点，E为 1 CC的中点 （1）求DE与平面ABC夹角的正弦值； （2）求二面角 1 AADE的余弦值 （第 22 题） 23.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知点 12n AAA， ，与 12n BBB， ，均在抛物 线 2 xy上， 线段 nn A B与x轴的交点为 n H 将 1112211nnn OABH A BH A B ， ，的 面积分别记为 121n sss ， ， ，已知上述三角形均为等腰直角三角形，且它们的顶角分 别为 1n O
13、HH， ， （1）求 1 s和 2 s的值； （2）证明： 2 n nsn （第 23 题） O x y 1 A 2 A 3 A 3 H 2 H 1 H 1 B 2 B 3 B B CA D 1 C 1 B E 1 A 数学试卷共 6 页第 7 页 江苏卷最后一届特供模拟试卷 数学参考答案2020.02 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 1 2；2 1 2 ；31350；42yx ； 5 4 5 ；618；721 n an；8 10 (0,)( 10,) 10 ； 9 4 ；10 11 6 ；117180xy；12 1 (,1)( ,)e e e ； 13 36
14、43 ；14 3 2 13记ABcACbBCa， 则 222 cos2 2 bca AB ACc bBAC ，因此 222 4bac， 由 DCBDBA SS ，可得 424 525 ac，即 6 5 ac； 又由 222 7324 43 cos 25 525 552 acb ABC ac ，解得 2 50 43 c ； 因此 2 33 636 55 543 BA BCa cc 注：本题建系亦可，略 14如图，以A为原点建系，设aAB ，),(yxO， 由 222 362OCOBOA， 可得 2222 22 ()2 39 xayOCa， 所以 O y的最大值为 22 9 2 2aOC ， 所以
15、 C y 222222 9 1 12) 9 2 2(2 9 2 2aOCaOCOCaOC， 所以 2 3 9 1 12 2 2 a a S ABC ，取等条件经验证成立 数学试卷共 6 页第 8 页 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分 15解： （1）是锐角，cos0，2 分 2 151 cos1 sin1 164 ，3 分 sin tan15 cos ， tantan 4 315 3 tan 311 1tantan 3 7 分 （2）是钝角，cos0，9 分 （2） （2） （2） 2 151 cos1sin1 164 ，10 分 2） （2） （2） 22 715 cos2cos
16、sinsin22sincos 88 ，11 分 2） （2） （2） 307 2 cos 2cos2 cossin2 sin 44416 14 分 16解： （1）连结AC，因为正方体 1111 ABCDA B C D， 所以 11 AACC，所以 11 AACC，共面， 因为正方体 1111 ABCDA BC D，所以 1111 DDAC D 平面， 因为 11111 ACAC D 平面，所以 111 DDAC，2 分 因为正方体 1111 ABCDA BC D， 所以四边形ABCD为正方形，所以ACBD， 因为正方体 1111 ABCDA BC D，所以 1 AAABCD 平面， 因为 1
17、11 BDAC D 平面，所以 1 AABD， 因为 1111 ,AC AAAAC CACAAA平面，所以 11 BDAAC C 平面， 因为 1111 ACAAC C 平面，所以 11 BDAC，5 分 因为 111 BDDDBDDBDDDD，平面， 所以 111 ACBDD 平面， 因为 1111 ACA BC 平面，所以 111 BDDABC平面平面8 分 （2）连结 11 A DBDC D， （2）因为 1111 PQRABCDCDD CADD A， 分别是正方形，的中心 （2）所以PQR， ，分别是 11 BDC DA D，的中点，10 分 （2）所以PQ是 1 BC D的中位线，所
18、以 1 PQBC， （2）因为 11111 BCA BCPQA BC平面，平面， （2）所以 11 PQA BC平面，同理有 11 PRA BC平面，12 分 （2）因为PQPRPQR，平面且PQPRP， （2）故 11 PQRA BC平面平面14 分 数学试卷共 6 页第 9 页 17解： （1）设该容器高为:hm（单位），据体积为 3 2m得 2 2x h ，即 2 2 h x ， 设该容器的外表面积为 2 (:m )S 单位， 则 22 8 242Sxxhx x ，其中0x ，3 分 2333 22 84(2)(24) 4 xxx Sx xx ，列表如下： x 3 (0, 2) 3 2
19、3 ( 2,) S 0 S单调递减极小值单调递增 答：当 3 2x 时，该容器的表面积最小7 分 （2）解：设生产每个该容器的成本为(:)C 单位 元，则 （2） 2 2 420 100500(84 )200(20)CSxhxx xx ，0x ，10 分 （2） 432333 33 400(10220)400(10)(2)(24)xxxxxxx C xx x 3 (0, 2) 3 2 3 ( 2,) C 0 C单调递减极小值单调递增 （2）答：当 3 2x 时，生产每个该容器的成本最低14 分 18解： （1）设椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的半焦距为c， 由等边三角形 12 T
20、FF得2ac，即离心率 1 2 c e a 3 分 （2） 设 11 (,)C x y， 22 (,)D xy，由ykxm，知(,0) m M k ，(0,)Nm， （2）联立ykxm与 22 22 1 xy ab ， （2）有 222222222 ()20a kbxkma xa ma b， （2）其中 222222 4()0a b a kbm ，6 分 （2）又易知 12MN xxxx，即 2 222 2kmam a kbk ， （2）解得 2 22 2 3 1 4 b ke a ，因为0k ，所以 3 2 k 10 分 数学试卷共 6 页第 10 页 （2） 由M在线段 12 F F上，且
21、M、N不重合， （2）可知,0)(0, M mam xcc kb ，从而,0)(0, bcbc m aa ， （2）记 2 1 2 y k xa ， 1 2 1 y k xa ，并结合点在曲线上，则有 （2） 222222 1212112 222222 2121212 ()()()() ()()()() kyxaaxxaxa xa kyxaaxxaxa xa （2） 22 1212 22 1212 ()() = ()() x xa xxamb x xa xxamb ， （2）从而可得 1 2 2 1,1)(1, kmbbacac kmbmbacac ， （2）即 1 2 k k 的取值范围为
22、1 ,1)(1,3 3 16 分 19解： （1）首先，( )( )f xg x，的定义域都是R，是关于原点对称的， 其次， () ()()( ) xxxx fxaaaaf x ， 22 ()( ) 1()1 xx gxg x xx ， 因此( )( )f xg x，都是R上的奇函数3 分 （2） 22 (1)(1) ( ) (1) xx g x x ，列表如下： x(, 1) 1 ( 1,1) 1 (1,) ( )g x 00 ( )g x单调减极小值 1 2 单调增极大值 1 2 单调减 （2）因为 1,1x 时，函数( )g x不间断，( )g x在 1,1x 上值域为 1 1 , 2
23、2 ， （2）又因为(, 1)x 时， 1 ( 1)( )0 2 gg x； （2）(1,)x时， 1 01 2 g xg； （2）所以( )g x在R上的值域为 1 1 , 2 2 7 分 （3）考虑到( )( )f xg x，都是奇函数，故只需保证0x 时都有( )( )f xg x即可， （2）这是因为当0x 时( )()( )()f xfxg xgx，8 分 数学试卷共 6 页第 11 页 （2） 先考虑1a 的情形，此时( )1 10, ( )0 xx f xaag x ， 因此只要保证当0x 时，( )( )0f xg x恒成立即可， 令 2 ( ) 1 xx x h xaa x
24、，0x ，则 2 22 1 ( )()ln (1) xx x h xaaa x ， 令 2 22 1 (1 ) ) ( x x x ，0x ，则 2 23 2 (3) ( ) (1) xx x x ， 当0, 3)x时，( )0x，即( )x单调增，故此时 min ( )(0)1x ， 当 3,+ )x时， 2 22 1 0 (1 ( ) ) x x x ，故0x 时，( )x取得最小值1， 若ea ，则( )()ln( )2ln10 xx h xaaaxa ， 则( )h x单调递增，故( )(0)0h xh，符合题设12 分 若1ea，则(0)10 h ， 1 (1)()ln0haa a
25、， 且01x时， 2 2 23 2 (3) ( )()ln0 (1) xx xx h xaaa x ，( )h x单调递增， 故由零点定理知 0 (0,1)x使得 0 ()0h x， 且 0 (0,)xx时( )0h x，( )h x单调递减， 0 (,1)xx时( )0h x，( )h x单调递增， 则 0 ()(0)0h xh，不符合题意，因此 e,)a14 分 （2） 再考虑01a的情形，此时 2 11 ( )( )( )( ) 1 xx x f xg x aax ， 此时的 1 a 与中的a地位等价，同理可知 11 e(0, e e a ，即 （2）综合，实数a的取值范围是 1 (0,
26、 e,) e 16 分 20解： （1）设 n b的公比为 0 q，则 1 1010 2 nnn b qb q 10 (0)b q对任意 * nN成立， 令1,2n 可得 110 2 1010 2 4 bbq bqbq ，两式相除可得 0 2q ，进而 1 2 3 b ， 因此 2 3 n n b ，经验证符合题意4 分 （2） 由 nnn abc，可得 111 11 112 nnn a qbqc q ，令1,2,3n 得 111 11 112 222 11 112 (1) (2) (3) abc a qbqc q a qbqc q ， (1)代入(2)得 1112 ()()b qqc qq，
27、(2)代入(3)得 1 11122 ()()bq qqc q qq， 数学试卷共 6 页第 12 页 如果 12 ,q q不全等于q，显然它们一定都不等于q， 因此考虑 1 qq且 2 qq的情况，此时用后式除以前式可得 12 qq， 再将其代入到 11111 112 ,abc a qbqc q可得 12 qqq，矛盾， 因此只能 12 qqq，经验证符合题意10 分 令 2 12nnnn Taa a ，则当n为偶数时 2112 1 111 111 111 11 11 1111 1111 ()()()(+) nnn n nnn Tbqcbqcbqcbc q qqqq ， 同理，当n为奇数时，可
28、算得 2 1 11 1 1 (+) n Tbc q q ， 所以对任意 * nN，均有 1nn TT 成立，12 分 由 1nn TT 可得 22 2+1312nnnnnn aaaaa a ， 因为0 n a ，因此可化简得 231 12 nnnn nn aaaa aa ， 所以 2313 12 1 = 2 nn n aaaaa aa ，14 分 要使原不等式恒成立，显然必有0 n a ，即 22 12 1 + nn nnn n aa aa a a 恒成立， 而 13 4Ta，因此可得 3 3 3 3 1 4 2 1 4 2 a a a a ，解得 3 37a， 综上所述， 3 a的取值范围为
29、(3,7)16 分 数学试卷共 6 页第 13 页 江苏卷最后一届特供模拟试卷 附加题参考答案2020.02 21选做题（选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分 ） A （选修 4-2：矩阵与变换） 解：设 1 ab cd A，由 1 10 01 A A可得 310 301 aba cdc ， 即 31 0 30 1 ab a cd c ，解得 0 1 1 3 a b c d ，故 1 01 13 A，6 分 因此 1 0132 1392 A10 分 B （选修 4-4：坐标系与参数方程） 解： （1）由于 24224 22 222222 1448144 1 (12 )(12 )(12
30、) ttttt xy ttt ， （1）因此曲线C的一般方程为 22 1xy4 分 解： （2）直线l的一般方程为 2 3 10 3 xy ，7 分 解： （2）其到圆心(0,0)的距离 22 13 7 2 3 1() 3 d ， 解： （2）故弦长 22 44 7 22 77 rd10 分 C （选修 4-5：不等式选讲） 解：由,0x y ，且4xy ，可知 2222 44()() yxyxyx xyxxyyxyx xyy xy 1111112 = xxyyxyxyxy 121 2 22xyxy ， 当且仅当2xy时， “”成立10 分 数学试卷共 6 页第 14 页 22解： （1）如图
31、，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， （1）由 3 1 (,0) 22 D，(0,2,2)E，可知 3 3 ,2 22 DE ， （1）又平面ABC的一个法向量为 0 (0,0,1)n， （1）故正弦值 0 0 0 2 7 cos, 7 DE DE DE n n n 4 分 （2）设平面 1 ADE的一个法向量 1 , ,x y zn， （2）由 1 11 0 0 DE A E n n ，可得 33 20 22 220 xyz yz ， （2）取1z ，有 1 7 3 (,1,1) 3 n， （2）而平面 1 AAD法向量 2 n可取 3 3 (,0) 22 DC ， （2）故
32、12 12 12 73 2 55 22 cos 5555 3 , | 3 | nn n n nn ， （2）因此，二面角 1 AADE的余弦值为 2 55 55 10 分 B C A D 1 C 1 B E 1 A x y z 数学试卷共 6 页第 15 页 23解： （1）由 1: OAyx与 2 xy联立得01x 或，故 1(1,1) A，因此 1 1s ， 由 12: 1H Ayx与 2 xy联立得 35 2 x ，故 2 35 15 (,) 22 A ， 因此 2 2 1+ 53+ 5 () 22 s 3 分 （2）设 12n AAA， ，的纵坐标分别为 12n xxx， ， ， ，
33、（2）易知 2 nn sx，且 111 :() nnnn H Ayxxxx ， （2）与 2 xy联立得 2 1111 () nnnn xxxxx ，即 1 2 1 1 n in i xx ， （2）将 1 2 1 1 n in i xx 与 2 1 n in i xx 相减得 22 11nnn xxx （2）进而解得 2 1 11 24 nn xx ，6 分 （2）下面用数学归纳法证明 n nxn： （2）当12x ，时， 1 1s ， 2 3+ 5 2 s ，符合题意， （2）当nk时，假设 k kxk成立， （2）一方面， 2 1 11 11 24 kk xkxk 11 1 24 kk 1 2(1)3 4 0 1 4(1) 4 kk kk ， （2）另一方面， 22 1 1111 (1)(1)()0 2442 kk xkxkkk ， （2）因此有 n nxn成立，即 2 n nsn成立10 分 江苏卷，后会无期！