1、河北省衡水中学2019-2020学年度高三一调考试文数试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1已知复数z=a+i3-i（其中aR，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为-12，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集UR，Ax|x23x40，Bx|2x2，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）Ax|2x4Bx|x2或x4Cx|2x1Dx|1x23已知a，b，cR，“b24ac0”是“函数f（x）ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A充分非必要条
2、件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件4明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（）A53B54C158D2635斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的体积为4300cm3，斗的
3、密度是0.70g/cm3那么这个斗的质量是（）注：台体体积公式是V=13(S+SS+S)hA3990gB3010gC7000gD6300g6在ABC中，a2+b2+c223absinC，则ABC的形状是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D正三角形7已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，ABP为等腰三角形且其外接圆半径为5a，则双曲线的离心率为（）A155B154C153D1528已知a1，设函数f（x）ax+x2的零点为m，g（x）logax+x2的零点为n，则1m+1n的取值范围是（）A（2，+）B(72，+)C（4，+）D(
4、92，+)9已知函数f（x）x3+x+1+sinx，若f（a1）+f（2a2）2，则实数a的取值范围是（）A-1，32B-32，1C-1，12D-12，110如图，在ABC中，ADAB，BC=3BD，|AD|1，则ACAD的值为（）A1B2C3D411在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=12PB1，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为52，则该三棱锥外接球的表面积为（）A6B7C8D912已知关于x的方程f（x）2kf（x）+10恰有四个不同的实数根，则当函数f（x）x2ex时，实数k的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（4e2+e24，+）C（
5、8e2，2）D（2，4e2+e24）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13f（x）是定义域为R的偶函数，对xR，都有f（x+4）f（x），当0x2时，f(x)=2x-1，0x1，log2x+1，1x2，则f(-92)+f(21)= 14若正实数a，b满足a+b1，则下列选项中正确的是 （1）ab有最大值14 （2）a+b有最小值2（3）1a+1b有最小值4 （4）a2+b2有最小值2215在ABC中，D是AB的中点，ACD与CBD互为余角，AD2，AC3，则sinA的值为 16如图，曲线y2x（y0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成
6、一系列正三角形，OP1Q1，Q1P2Q2，Qn1PnQn设正三角形Qn1PnQn的边长为an，nN*（记Q0为O），Qn（Sn，0）数列an的通项公式an 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题17（12分）设an是等差数列，公差为d，前n项和为Sn（1）设a140，a638，求Sn的最大值；（2）设a1=1，bn=2an(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，且对任意的nN*，都有Tn20，求d的取值范围18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，AA1面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点（1）求证：AE平面A1BD
7、；（2）求三棱锥B1ABE的体积19（12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度x（）的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程yebx+a来拟合，令zlny，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合根据收集到的数据，计算得到如下值：x y z i=17 （xi-x）2i=17 （xi-z）2i=17 （xi-x）（xi-x）27743.53718211.946.418表中zilnyi，z=17i=17 zi（1）求z和温度x的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y关于温度
8、x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在2636之间（包括26与36），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围（参考数据：e3.28227，e3.79244，e5.832341，e6.087440，e6.342568）附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n (i-)(vi-v)i=1n (i-)2，a=v-20（12分）设椭圆C：x28+y22=1，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于相异的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）（）证明：直线AP，AQ的斜率之和为1；（）设直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，点G
9、（3，0），求|GM|GN|21（12分）已知函数f（x）（x+a1）ex，g（x）=12x2+ax，其中a为常数（1）若a2时，求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）若对任意x0，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）已知曲线C的参数方程为x=2cos#/DEL/#y=3sin#/DEL/#(为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换x=12xy=13y得到曲线C，以原点为极
10、点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若过点A(32，)（极坐标）且倾斜角为6的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP|AM|AN|的值选修4-5；不等式选讲23设函数f（x）k|x|2x1|（1）当k1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（0，+）时，f（x）+b0恒成立，求k+b的最小值一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1【详解详析】z=a+i3-i=(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=3a-110+a+310i，由题意可得a+310=1
11、2，即a2，z=12+12i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（12，12），位于第一象限故选：A2【详解详析】阴影部分所表示的集合为BUA，Ax|x23x40x|x1，或x4，UR，UAx|1x4，又Bx|2x2，BUAx|1x2，故选：D3【详解详析】若a0，欲保证函数f（x）ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a0且b24ac0但是，若a0时，如果b0，c0，则函数f（x）ax2+bx+cc的图象恒在x轴上方，不能得到b24ac0；反之，“b24ac0”并不能得到“函数f（x）ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a0时从而，“b24ac0
12、”是“函数f（x）ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件故选：D4【详解详析】【法一】正整数n被3除余2，得n3k+2，kN；被5除余3，得n5l+3，lN；被7除余4，得n7m+4，mN；求得n的最小值是53【法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n26310510553，即输出n值为53故选：A5【详解详析】依题意，V台=13(400+900+400900)9=5700，又长方体形凹槽的体积为4300，故“斗”的体积为10000cm3，其质量为100000.77000g故选：C6【详解详析】由余弦定理得a2+b2c22ab
13、cosC，又a2+b2+c2=23absinC，将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+3sinC)，化为cos(C-3)=a2+b22ab2ab2ab=1，当且仅当ab时取等号cos(C-3)=1，C（0，），(C-3)(-3，23)C-3=0，解得C=3，又ab，ABC是正三角形故选：D7【详解详析】由ABP的外接圆的半径为5a，且PAAB2a，设PBA，则2asin=2R25a，即有sin=55，cos=255，sin22sincos=45，cos212sin2=-35，则P的坐标为（2acos2a，2asin2），即（-11a5，8a5），代入双曲线方程可得12125-64a225b
14、2=1，可得b2a2=23，即有e=ca=1+b2a2=153故选：C8【详解详析】函数f（x）ax+x2的零点是函数yax与函数y2x图象交点A的横坐标，函数g（x）logax+x2的零点是函数ylogax与函数y2x图象交点B的横坐标，a1；m0，n0，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线yx对称，直线y2x与直线yx垂直，故直线y2x与直线yx的交点（1，1）即是A，B的中点，m+n2，m0，n0，1m+1n=12（m+n）（1m+1n）=12（2+nm+mn）12（2+2mnnm）2，当mn1等号成立，而mn，故1m+1n2，故所求的取值范围是（2，+）故选：A9【详解详析
15、】令g（x）f（x）1x3+x+sinx，xR则g（x）g（x），g（x）在R上为奇函数g（x）3x2+1+cosx0，函数g（x）在R上单调递增f（a1）+f（2a2）2，化为：f（a1）1+f（2a2）10，即g（a1）+g（2a2）0，化为：g（2a2）g（a1）g（1a），2a21a，即2a2+a10，解得1a12实数a的取值范围是1，12故选：C10【详解详析】ADAB，BC=3BD，|AD|1，ACAD=(AB+BC)AD=(AB+3BD)AD=ABAD+3BDAD=3AD2=3故选：C11【详解详析】Q是线段BC上一动点，连接PQ，PA、PB、PC互相垂直，AQP就是直线AQ与平
16、面PBC所成角，当PQ短时，即PQBC时直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大此时APPQ=52，所以PQ=255，在RtPBQ中，BQ=PB2-PQ2=22-(255)2=455，又因为PQ2BQBC，则BC=5，所以PC=BC2-PB2=1，如图，将三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为12+22+12=6，三棱锥PABC的外接球的半径为R=62，三棱锥PABC的外接球的表面积为4R26故选：A12【详解详析】函数f（x）2xex+x2ex（x+2）xex，由f（x）0得（x+2）x0，得x0或x2，此时f（x）为增函数，由f（x）0得（x+2）x0，得2x0，此时f（x）为减函
17、数，即当x0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）0，当x2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2）=4e2，当x0，f（x）0，且f（x）0，作出函数f（x）的图象如图：设tf（x），则当0t4e2时 方程tf（x）有3个根，当t=4e2时 方程tf（x）有2个根，当t0或t4e2时 方程tf（x）有1个根，则方程f（x）2kf（x）+10等价为t2kt+10，若f（x）2kf（x）+10恰有四个不同的实数根，等价为t2kt+10有两个不同的根，当t0，方程不成立，即t0，其中0t14e2或t24e2，设h（x）t2kt+1，则满足h(0)=10-k2=k20h(4e2)0，得k0
18、(4e2)2-k(4e2)+10，即k0k(4e2)2+14e2=4e2+e24，即k4e2+e24，即实数k的取值范围是（4e2+e24，+），故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13【详解详析】根据题意，f（x）是定义域为R的偶函数，对xR，都有f（x+4）f（x），则有f（x+4）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有f（-92）f（92）f（4+12）f（12），f（21）f（1+45）f（1），又由当0x2时，f(x)=2x-1，0x1log2x+1，1x2，则f（12）=2-1，f（1）1，则f(-92)+f(21)
19、=f（12）+f（1）（2-1）+1=2；故答案为：214【详解详析】正实数a，b满足a+b1，则ab(a+b2)2=14，当且仅当ab时取等号，此时ab取得最大值14，（1）正确；当a=14，b=34时，a+b=1+322；（2）错误；1a+1b=a+bab=1ab4，当且仅当ab时取等号，（3）正确；由(a+b2)2a2+b22可得a2+b212即最小值12，（4）错误故答案为：（1）（3）15【详解详析】如图所示：在ADC中，设ACD，则：CBD=2-，利用余弦定理：cos=32+CD2-423CD=5+CD26CD在ADC中，利用正弦定理：CDsin(2-)=BDsin(2-A)，故：
20、CDcos=BDcosA，所以：CD5+CD26CD=2cosA，解得：cosA=10+2CD26CD2，在ACD中，利用余弦定理：cosA=22+32-CD2223，所以：10+2CD26CD2=13-CD212，整理得：CD49CD2+200解得：CD=2或5当CD2时，cosA=10+222622=34所以：sinA=74CD=5时，cosA=10+2565=23，所以：sinA=53故答案为：74或5316【详解详析】由条件可得P1OQ1为正三角形，且边长为a1，P1(12a1，32a1)，P1在曲线上，代入y2x（y0）中，得34a12=12a1，a10，a1=23，根据题意得点Pn
21、+1(Sn+12an+1，32an+1)，代入曲线y2x（y0）并整理，得Sn=34an+12-12an+1当n2，nN*时，anSnSn1=(34an+12-12an+1)-(34an2-12an)，即12(an+1+an)=34(an+1+an)(an+1-an)an+1an0，an+1an=23，当n1时，S1=34a22-12a2，a2=43或a2=-23（舍）a2a1=23，故an+1an=23数列an是首项为23，公差为23的等差数列，an=2n3故答案为：2n3三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题17【详解详析】（1）a1
22、40，a638，可得d=a6-a15=-25，可得Sn40n-12n（n1）25=-15（n-2012）2+201220，由n为正整数，可得n100或101时，Sn取得最大值2020；（2）设a1=1，bn=2an(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，可得an1+（n1）d，数列bn为首项为2，公比为2d的等比数列，若d0，可得bn2；d0，可得bn为递增数列，无最大值；当d0时，Tn=2(1-2dn)1-2d21-2d，对任意的nN*，都有Tn20，可得2021-2d，且d0，解得dlog20.918【详解详析】（1）证明：ABBCCA，D是AC的中点，BDAC，三棱柱ABCA1B1C1中，
23、AA1平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，且平面AA1C1C平面ABCAC，BD平面AA1C1C，AE平面AA1C1C，BDAE又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，A1DAE，又A1DBDD，AE平面A1BD（2）解（割补法）：VB1-ABE=VABC-A1B1C1-VBACE-VB1-AEC1A1SABCAA1-13S正方形ACC1A1BD=12232-13223=23319【详解详析】（1）由题意，z和温度x可以用线性回归方程拟合，设z=bx+a，则b=i=17 (xi-x)(zi-z)i=17 (xi-x)2=46.4181820.255，a=z-bx=3.53
24、7-0.25527=-3.348，故z关于x 的线性回归方程为z=0.255x-3.348；（2）由（1）可得，lny0.255x3.348，于是产卵数y关于x的回归方程为ye0.255x3.348当x26时，ye0.255263.348e3.28227；当x36时，ye0.255363.348e5.832341函数ye0.255x3.348为增函数，气温在2636之间时，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是27，341的正整数20【详解详析】（）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由y=k(x-4)x2+4y2=8得（1+4k2）x232
25、k2x+64k280，0，可得：k214，x1+x2=32k21+4k2，x1x2=64k2-81+4k2，k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=k(x1-4)-1x1-2+k(x2-4)-1x2-2=2kx1x2-(6k+1)(x1+x2)+16k+4x1x2-2(x1+x2)+4 =2k64k2-81+4k2-(6k+1)32k21+4k2+16k+464k2-81+4k2-232k21+4k2+4=-16k2+416k2-4=-1；（）设M（x3，0），N（x4，0），由y1k1（x2），令y0，得x32-1k1，即M（2-1k1，0），同理x4=2-1k2，即N（2-1k2，
26、0），设x轴上定点G（3，0），则|GM|GN|=|3-(2-1k1)|3-(2-1k2)|=|1+1k1+1k2+1k1k2|=|1+k1+k2k1k2+1k1k2|1+-1k1k2+1k1k2|=121【详解详析】（1）a2时，f（x）（x+1）ex，f（x）（x+2）ex，f（0）2，又因为切点（0，1），所以切线为2xy+10；（2）令h（x）f（x）g（x），由题得h（x）min0在x0，+）恒成立，h（x）（x+a1）ex-12x2ax，所以h（x）（x+a）（ex1），若a0，则x0，+）时h（x）0，所以函数h（x）在0，+）上递增，所以h（x）minh（0）a1，则a10，得
27、a1，若a0，则当x0，a时，h（x）0，当xa，+）时，h（x）0，所以函数h（x）在0，a上递减，在a，+）上递增，所以h（x）minh（a），又因为h（a）h（0）a10，所以不合题意综合得：a1（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程选讲22【详解详析】（）C：x=2cosy=3sinC：x24+y23=1，（2分）将x=12xy=13yx=2xy=3y，代入C的普通方程可得x2+y21，（4分）即C：x2+y21，所以曲线C的极坐标方程为 C：1（）点A(32，)直角坐
28、标是A(-32，0)，将l的参数方程x=-32+tcos6y=tsin6，代入x2+y21，可得4t2-63t+5=0，（8分）t1+t2=332，t1t2=54，所以|AP|AM|AN|=|t1+t22|t1t2|=335 （10分）选修4-5；不等式选讲23【解答】解 （1）当k1时，不等式化为|x|2x1|0，即x0-x+2x-10，或0x12x+2x-10，或x12x-2x+10；（3分）解得x，或13x12，或12x1；综上，原不等式的解集为（13，1）；（2）x（0，+）时，不等式f（x）+b0恒成立，可化为k|x|+b|2x1恒成立；画出y|2x1|与yk|x|+b的图象，如图所示；由图象知当k2，且b1时，yk|x|+b的图象始终在y|2x1|的上方，（8分）k+b3，即k+b的最小值为3（这时k2，b1）（10分）16