1、专题二实际应用题类型一 几何类最值问题 (2018福建B卷)空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米(1)已知a20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，如图1.求所利用旧墙AD的长；(2)已知0a50，且空地足够大，如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值【分析】(1)按题意设出AD的长，表示出AB的长进而构成方程求解即可；(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系【自主解答】1
2、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米(1)求证：AE2BE；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？2国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.(1)求y与x的函数解析式；(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；(3)若要求x1，求改造后剩余油菜花
3、地所占面积的最大值类型二 费用、利润最值问题 (2018陕西)经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1 kg/袋2 kg/袋成本(元/袋)4038售价(元/袋)6054根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3 000 kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2 000 kg，其中，这种规格的红
4、枣的销售量不低于600 kg.假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x kg，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元【分析】(1)分别算出红枣和小米的利润，由利润共4.2万元列方程得解；(2)列出总利润y与红枣的重量x之间的函数关系式，再根据函数性质求最值即可【自主解答】3(2019三明质检)某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件利润40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装降价1元，日销售量将增加2件(1)若想要这种童装销售利润平均每天达到1 20
5、0元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？(2)当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？4(2019福建模拟)某商店销售10件A商品和5件B商品的利润为1 750元，销售5件A商品和10件B商品的利润为2 000元(1)求A商品和B商品每件的销售利润；(2)若该商店计划一次购进A，B商品共100件，其中B商品的进货量不超过A商品进货量的2倍，求该商店购进A，B商品各多少件时，全部商品销售完，总利润最大？5某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多10
6、0元(1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件求m的取值范围；已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件如果50n150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元/件)的函数关系式(每件销售利润售价进价销售成本)6(2018随州)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1x15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，
7、部分数据如下表：天数(x)13610每件成本p(元)7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：y设李师傅第x天创造的产品利润为W元(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型三 方案问题 某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵
8、已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元(1)求y与x的函数解析式，其中0x21；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【分析】(1)根据购买两种树苗所需费用A种树苗费用B种树苗费用，即可解答；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据(1)得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值范围，即可得出费用最省的方案【自主解答】7(2019鸡西)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表
9、现优秀的师生，已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1 000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？8某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6 000元(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B
10、两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于10台，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？类型四 函数图象型 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以 300 m/min 的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示(1)家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3
11、)求两人相遇的时间【分析】(1)根据图象得到路程与速度数据；(2)根据方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；(3)相遇其实质是求交点坐标【自主解答】9(2019福州模拟)某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似地看成一次函数(如图)(1)求y与x的关系式； (2)设商厦获得的毛利润(毛利润销售额成本)为S(元)，则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？10(2019莆田模拟)甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间
12、x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米；(2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式；(3)登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？11某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止设甲、乙两车间各自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图1所
13、示；未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天加工大米 吨，a ；(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间函数关系式；(3)若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？12某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益售价成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部
14、销售该种蔬菜4，5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4，5两个月的销售量分别是多少万千克？参考答案类型一【例1】 (1)设ADx米，则AB米依题意得450，解得x110，x290.a20，xa，x290不合题意，舍去，所利用旧墙AD的长为10米(2)设ADx米，矩形ABCD的面积为S平方米()如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得S(x2100x)(x50)21 250，0xa.0a50，xa50时，S随x的增大而增大，当xa时，S最大50aa2.()如果按图2方案围成矩形菜园，依题意得Sx(25)2(25)2，ax50.当a2550，即0a时，则x25时，
15、S最大(25)2.当25a，即a50时，S随x的增大而减小，当xa时，S最大50aa2.综合()()，当0a时，(50aa2)0，即50aa2，此时按图2方案围成的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当a50时，两种方案围成的矩形菜园面积的最大值相等综上所述，当0a时，围成长和宽均为(25)米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当a50时，围成长为a米，宽为(50)米的矩形菜园面积最大，最大面积为(50aa2)平方米跟踪训练1(1)证明：三块矩形区域的面积相等，矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍又EF是公共边，AE2BE.(2)解：设BEa，则AE2a，8a2x80，a，AB3a，y3
16、ax3xx230x.a100，x40，0x40.(3)解：yx230x(x20)2300(0x40)，且二次项系数为0，y的值随x值的增大而增大x600，当x600时，y1260016 00023 200，这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23 200元跟踪训练3解：(1)设每件童装降价x元，则(40x)(2x20)1 200.解得x120，x210.为使顾客得到更多实惠，x20.答：每件童装应降价20元(2)设每件童装降价x元时，每天盈利为y元，则y(40x)(2x20)2x260x8002(x15)21 250.20，W随x的增大而增大当x36时，W最小10366
17、00960(元)，1203684.答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时，需要的资金最少，最少资金是960元8解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元，y元由题意得解得答：A型空调每台需9 000元，B型空调每台需6 000元(2)设采购A型空调a台，则购买B型空调(30a)台由题意得解得10a12.a为整数，a10，11，12，共有三种采购方案方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台(3)设总费用为w元，则w9 000a6 000(30a)3 000a180 000(10a12，且a为整数)，w随a
18、的增大而增大，当a10时，w取得最小值，此时w210 000.答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元类型四【例4】 (1)4 000100提示：结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折线OAB为小玲离家路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4 000 m，小玲步行速度为2 00020100 (m/s)(2)小东从离家4 000 m处以300 m/min的速度返回家，则y4 000300x(0x)(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，4 000300x200x，解得x8.答：两人出发后8 min相遇跟踪训练9解：(1)设ykxb
19、，将(60，40)，(70，30)代入得解得yx100.(2)S(x100)(x50)x2150x5 000.a1，b150，c5 000，当x75时，S最大值625.当x75时，y7510025，当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件10解：(1)1030提示：甲登山上升的速度是(300100)2010(米/分钟)，b151230(米)(2)当0x2时，y15x；当x2时，y30103(x2)30x30.当y30x30300时，x11，乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y(3)甲登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数
20、关系式为y10x100(0x20)当10x100(30x30)70时，解得x3；当30x30(10x100)70时，解得x10；当300(10x100)70时，解得x13.答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米11解：(1)2015提示：由图象可知，第一天甲、乙共加工22018535吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工18516520吨，则乙一天加工352015吨，a15.(2)设ykxb.把(2，15)，(5，120)代入得解得y35x55(2x5)(3)当0x1时，20153555，不合理；当1x2时，20x1555，x2；当2x5时，20x35x55110，
21、x3，321(天)答：加工2天可装满第一节车厢，再加工1天可装满第二节车厢12解：(1)由图象知，当x6时，蔬菜的销售单价y13，蔬菜的成本单价y21，此时出售每千克的收益为312(元)(2)设y1kxb.将(3，5)和(6，3)代入得解得y1x7.设y2a(x6)21.将(3，4)代入得a(36)214，解得a，y2(x6)21x24x13，出售这种蔬菜每千克的收益Wy1y2(x7)(x24x13)(x5)2.此二次函数的二次项系数为0，当x5时，W最大值，在5月出售这种蔬菜每千克的收益最大. (3)设4月份的销售量为n万千克，则5月份的销售量为(n2)万千克根据题意得(45)2n(55)2(n2)22，解得n4，则n26.答：4，5两个月的销售量分别是4万千克和6万千克