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福建省2020年中考数学复习专题三:圆的综合题

1、专题三圆的综合题类型一 与切线有关 (2019泉州模拟)已知BC是O的直径,点D是BC延长线上一点,ABAD,AE是O的弦,AEC30.(1)求证:直线AD是O的切线;(2)若AEBC,垂足为M,O的半径为4,求AE的长【分析】(1)先求出ABC30,进而求出BAD120,再求出OAB30,结论即可得证;(2)先求出AOC60,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结论【自主解答】1(2019龙岩武平一模)如图,ABC中,ABAC,以AB为直径的O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DFAC于点F.(1)试说明DF是O的切线;(2)若AC3AE,求tan C.2(2019莆田

2、模拟)如图,在ABC中,BCA90,以BC为直径的O交AB于点P,Q是AC的中点,连接QP并延长交CB的延长线于点D.(1)判断直线PQ与O的位置关系,并说明理由;(2)若AP4,tan A.求O的半径的长;求PD的长3(2019福建大联考)已知,AB是O的直径,点C在O上,点P是AB延长线上一点,连接CP.(1)如图1,若PCBA.求证:直线PC是O的切线;若CPCA,OA2,求CP的长;(2)如图2,若点M是的中点,CM交AB于点N,MNMC9,求BM的值4如图,以ABC的边AB为直径画O,交AC于点D,半径OEBD,连接BE,DE,BD.设BE交AC于点F,若DEBDBC.(1)求证:B

3、C是O的切线;(2)若BFBC2,求图中阴影部分的面积类型二 与圆的基本性质有关 (2018福建A卷)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E.(1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PCPB;(2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB,DH1,OHD80,求BDE的大小【分析】(1)先判断出BCDF,再利用同位角相等判断出FPBC,即可得出结论;(2)先判断出四边形DHBC是平行四边形,得出BCDH1,再用锐角三角函数求出ACB60,进而判断出DHOD,求出OAD20,即可得出结论【自主

4、解答】5如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EFAE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD7,BE2,求半圆和菱形ABFC的面积6(2019厦门二检)如图,已知ABC及其外接圆,C90,AC10.(1)若该圆的半径为5,求A的度数;(2)点M在AB边上且AMBM,连接CM并延长交该圆于点D,连接DB,过点C作CE垂直DB的延长线于E.若BE3,CE4,试判断AB与CD是否互相垂直,并说明理由类型三 与动点结合 (2018福建B卷)如图,D是ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧DEAB,垂足为E,DE的延长线

5、交此圆于点F.BGAD,垂足为G,BG交DE于点H.DC,FB的延长线交于点P,且PCPB.(1)求证:BGCD;(2)设ABC外接圆的圆心为O,若ABDH,OHD80,求BDE的大小【分析】(1)根据等边对等角得PCBPBC,由四点共圆的性质得BADBCD180,从而得BFDPCBPBC,根据平行线的判定得BCDF,可得ABC90,AC是O的直径,从而得ADCAGB90,根据同位角相等可得结论;(2)先证明四边形BCDH是平行四边形得BCDH,根据特殊的三角函数值得ACB60,BAC30,所以DHAC,分两种情况讨论【自主解答】7(2019晋江质检)如图,在O中,圆心O关于弦AB的对称点C恰

6、好在O上,连接AC,BC,BO,AO.(1)求证:四边形AOBC是菱形;(2)若点Q是优弧(不含端点A,B)上任意一点,连接CQ交AB于点P,O的半径为2.试探究:线段CP与CQ的积CPCQ是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;求CPPO的取值范围8(2019龙岩武平一模)如图,AB是O的直径,弦BCOB,点D是上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC,OE于点F,G.(1)求DGE的度数;(2)若,求的值;(3)记CFB,DGO的面积分别为S1,S2,若k,求的值(用含k的式子表示)拓展类型 与坐标系结合1如图1,直线l:yxb与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是

7、线段OA上一动点(0AC)以点A为圆心,AC长为半径作A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连接OE并延长交A于点F. 图1 图2(1)求直线l的函数解析式和tanBAO的值;(2)如图2,连接CE,当CEEF时求证:OCEOEA;求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OEEF的最大值2在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(10,0),点C为OA的中点,以C为圆心,OC长为半径作圆,点B是该半圆圆周上的一动点,连接OB,AB,并延长AB至点D,使DBAB,过点D作x轴的垂线,分别交x轴、直线OB于点E,F,点E为垂足,连接CF.(1)当AOB30时,求的长;(2)当DE8时,求线段E

8、F的长参考答案类型一【例1】 (1)AEC30,ABC30.ABAD,DABC30.根据三角形的内角和定理得BAD120.如图,连接OA,OAOB,OABABC30,OADBADOAB90,OAAD.点A在O上,直线AD是O的切线(2)如图,AEC30,AOC60.BCAE于M,AE2AM,OMA90.在RtAOM中,AMOAsinAOM2,AE2AM4.跟踪训练1解:(1)如图,连接OD.OBOD,OBDODB.ABAC,ABCC,ODBC,ODAC.DFAC,ODDF,点D在O上,DF是O的切线(2)如图,连接BE.AB是直径,AEB90.ABAC,AC3AE,AB3AE,CE4AE,BE

9、2AE.在RtBEC中,tan C.2解:(1)PQ与O相切理由如下:如图,连接OP,CP.BC为O的直径,CPB90.在RtAPC中,Q是AC的中点,PQCQAQ,34.OCOP,12,231490,OPPQ,PQ为O的切线(2)在RtAPC中,tan A,PCPA42,AC2.在RtABC中,tan A,BC2,O的半径的长为.在RtABC中,AB5,BPABAP1.点O为BC的中点,OQ为ABC的中位线,OQAB,OQAB.PQAC,PQ.PBOQ,DBPDOQ,即,PD.3(1)证明:OAOC,AACO.PCBA,ACOPCB.AB是O的直径,ACOOCB90,PCBOCB90,即OC

10、CP.OC是O的半径,PC是O的切线解:CPCA,PA,COB2A2P.OCP90,P30.OCOA2,OP2OC4,PC2.(2)解:如图,连接MA,MB.点M是的中点,AMBM.ACMBAM.AMCAMN,AMCNMA,AM2MNMC.MNMC9,AM3,BMAM3.4(1)证明:AB是O的直径,ADB90,AABD90.ADEB,DEBDBC,ADBC.DBCABD90,ABC90.又点B在圆上,BC是O的切线(2)解:如图,连接OD.BFBC2,且ADB90,CBDFBD.OEBD,FBDOEB.OEOB,OEBOBE,CBDOEBOBEADB9030,C60,ABBC2,O的半径为,

11、S阴影S扇形DOBSDOB3.类型二【例2】 (1)AC是O的直径,ABC90.又DEAB,DEA90,DEAABC,BCDF,FPBC.四边形BCDF是O内接四边形,FDCB180.又PCBDCB180,FPCB,PBCPCB,PCPB.(2)如图,连接OD.AC是O的直径,ADC90,又BGAD,AGB90,ADCAGB,BGDC.又BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BCDH1.在RtABC中,AB,tanACB,ACB60,BCACOD,DHOD.在等腰三角形DOH中,DOHOHD80,ODH20.设DE交AC于点N.BCDE,ONHACB60,NOH180(ONHOHD)40,DO

12、CDOHNOH40.OAOD,OAD20,则CBDOAD20.BCDE,BDECBD20.跟踪训练5(1)证明:AB是O的直径,AEB90,即AEBC.ABAC,BECE.AEEF,四边形ABFC是平行四边形ACAB,四边形ABFC是菱形(2)解:设CDx.如图,连接BD.AB是直径,ADBBDC90,AB2AD2CB2CD2,(7x)27242x2,解得x1或8(舍去),AC8,BD,S菱形ABFC2SABC2ACBD8,S半圆428.6解:(1)C90,AB为ABC外接圆的直径该圆的半径为5,AB10.在RtABC中,AC2BC2AB2.AC10,102BC2(10)2,BC10,ACBC

13、,AB,A45.(2)AB与CD互相垂直,理由如下:由(1)得AB为直径,取AB中点O,则点O为圆心,如图,连接OC,OD.CEDB,E90,在RtCBE中,BE2CE2BC2,即3242BC2,BC5.,ABOC,CDEBOC,ACDE.ACB90,在RtACB中,tan A,tanCDEtan A.又在RtCED中,tanCDE,即,DE8,BDDEBE835,BCBD,BOCBOD.OCOD,OMCD.即ABCD.类型三【例3】 (1)PCPB,PCBPBC.四边形ABCD内接于圆,BADBCD180.又BCDPCB180,BADPCB.BADBFD,BFDPCBPBC,BCDF.DEA

14、B,DEB90,ABC90,AC是直径,ADC90.又BGAD,AGB90,ADCAGB,BGCD.(2)由(1)知,BCDF,BGCD,四边形BCDH是平行四边形,BCDH.在RtABC中,ABDH,tanACB,ACB60,BAC30,ADB60,BCAC,DHAC.()当点O在DE的左侧时,如图,作直径DM,连接AM,则DAM90,AMDADM90.DEAB,BED90,BDEABD90.AMDABD,ADMBDE.DHAC,DHOD,DOHOHD80,ODH20.ADB60,ADMBDE40,BDEADM20.()当点O在DE的右侧时,如图,作直径DN,连接BN.同()可得ADEBDN

15、20,ODH20,BDEBDNODH40.综上所述,BDE20或BDE40.跟踪训练7(1)证明:如图,连接OC交AB于点I,圆心O与点C关于弦AB对称,AB垂直平分OC.OC是半径,OCAB,OC平分AB,四边形AOBC是菱形(2)解:CPCQ为定值12.理由如下:由(1)证得四边形AOBC是菱形,ACOA2.如图,连接AQ.ACCB,CABAQC.又ACPQCA,ACPQCA,即CPCQAC2OA2(2)212.四边形AOBC是菱形,AOACCBOB,AB2AI.又OCOA,AOACCBOBOC,AOC与OCB均是等边三角形,AOCCAOACO60.在RtAIO中,AOC60,AI AOs

16、in 6023,AB2AI6.如图,连接BQ,则CABCQB,ACQABQ,APCQPB,CPPQPAPB.设PAx,则PB6x,CPPQAPPBx(6x)6xx2(x3)29(0x6),当x3时,CPPQ的最大值为9.当点Q移动到点A(或点B)的位置时,点P,Q重合,此时CPPQ0,CPPQ的取值范围是0CPPQ9.8解:(1)BCOBOC,COB60,CDBCOB30.OCOD,点E为CD中点,OECD,GED90,DGE60.(2)如图,过点F作FHAB于点H.设CF1,则OF2,OCOB3.COB60,OHOF1,HFOH,HBOBOH2.在RtBHF中,BF.由OCOB,COB60得

17、OCB60.又OGBDGE60,OGBOCB.OFGCFB,FGOFCB,GF,.(3)如图,过点F作FHAB于点H.设OF1,则CFk,OBOCk1.COB60,OHOF,HFOH,HBOBOHk.在RtBHF中,BF.由(2)得FGOFCB,即,GO.如图,过点C作CPBD于点P.CDB30,PCCD.点E是CD中点,DECD,PCDE.DEOE,.拓展类型1(1)解:把A(4,0)代入yxb得4b0,解得b3.直线l的函数解析式为yx3.AOBO,OA4,BO3,tanBAO.(2)证明:如图,连接AF.CEEF,CAEEAF.又ACAEAF,ACEAEF,OCEOEA.又COEEOA,

18、OCEOEA.解:如图,过点E作EHx轴于点H.tanBAO,设EH3x,则AH4x,AEAC5x,OH44x.OCEOEA,即OE2OAOC.又OE2OH2EH2,(44x)2(3x)24(45x),解得x1,x20(不合题意,舍去),E(,)(3)解:如图,过点A作AMOF于点M,过点O作ONAB于点N.tanBAO,cosBAO,ANOAcosBAO.设ACAEr,ENr.ONAB,AMOF,ONEAME90,且EMEF.又OENAEM,OENAEM,即OEEFAEEN,OEEF2AEEN2r(r),OEEF2r2r(0r),当r时,OEEF有最大值,最大值为.2解:(1)如图,连接BC.A(10,0),OA10,CA5.AOB30,ACB2AOB60,的长.(2)若D在第一象限,如图,连接OD.OA是C的直径,OBA90.又ABBD,OB是AD的垂直平分线,ODOA10.在RtODE中,OE6,AEAOOE1064.由AOBADE90OAB,OEFDEA得OEFDEA,即,EF3.若D在第二象限,如图,连接OD.OA是C的直径,OBA90.又ABBD,OB是AD的垂直平分线,ODOA10.在RtODE中,OE6,AEAOOE10616.由AOBADE90OAB,OEFDEA得OEFDEA,即,EF12.综上,线段EF的长为3或12.