1、2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）A、B两点的坐标分别为（3，1）和（1，3），则线段AB的垂直平分线方程为（）AyxByxCx+y40Dxy+402（5分）i是虚数单位，复数的虛部为（）A0BiC1D13（5分）椭圆的焦点坐标为（）A（0，5）和（0，5）B（，0）和（，0）C（0，）和（0，）D（5，0）和（5，0）4（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ax1By1CxDy5（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若，则a5（）A10B10C12D1
2、26（5分）圆x2+y22x8y+130上的点到直线x+y10的距离的最大值为（）A4B8CD7（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的离心率为（）ABCD8（5分）二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标（2）表示，例如：10（2）等于十进制数2，110（2）等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如表十进制123456二进制1（2）10（2）11（2）100（2）101（2）110（2）二进制数化为十进制数举例：，二进制数11111（2）化为十进制数等于（）A7B15C13D319（5分）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDC
3、60设，则的值为（）ABCD10（5分）双曲线的离心率为，圆C的圆心坐标为（2，0），且圆C与双曲线C1的渐近线相切，则圆C的半径为（）ABC1D11（5分）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，抛物线C1的准线与x轴的交点为K，过K作直线l与抛物线C1相切，切点为A，则AFK的面积为（）A32B16C8D412（5分）数列an中，数列bn是首项为4，公比为的等比数列，设数列an的前n项积为n，数列bn的前n项积为Dn，nDn的最大值为（）A4B20C25D100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）记Sn为数列an的前n项和若2anSn+1，则S6 14（5分）平面的一
4、个法向为，直线l的一个方向向量为，若l，则k 15（5分）矩形ABCD中，AB长为3，AD长为4，动点P在矩形ABCD的四边上运动，则点P到点A和点D的距离之和的最大值为 16（5分）设点F1、F2的坐标分别为和，动点P满足F1PF260，设动点P的轨迹为C1，以动点P到点F1距离的最大值为长轴，以点F1、F2，为左、右焦点的椭圆为C2，则曲线C1和曲线C2的交点到x轴的距离为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）数列an中，a11，an+12an+n1（1）求证：数列an+n为等比数列；（2）求数列an的通项公式18（12分）如图，在三棱锥
5、PABC中，ABBC3，PBPC5，AC6，O为AC的中点PO4（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）若M为BC的中点，求二面角MPAC的余弦值19（12分）设抛物线C的对称轴是x轴，顶点为坐标原点O，点P（1，2）在抛物线C上，（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线l与抛物线C交于A、B两点（A和B都不与O重合），且OAOB，求证：直线l过定点并求出该定点坐标20（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长都为2，D是AC的中点（1）在线段A1C1上是否存在一点E，使得平面EB1C平面A1BD，若存在指出点E在线段A1C1上的位置，若不存在，请说明理由；（2）求直线AB1与
6、平面A1BD所成的角的正弦值21（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，数列bn为正项等比数列，已知a35，S39，b1a1，b5S4（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）记Tn为数列anbn的前n项和，求Tn22（12分）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线l：ykx+2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在
7、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）A、B两点的坐标分别为（3，1）和（1，3），则线段AB的垂直平分线方程为（）AyxByxCx+y40Dxy+40【分析】由题意利用中点公式及两直线垂直的性质求出AB的中垂线的斜率，再利用点斜式求出结果【解答】解：A、B两点的坐标分别为（3，1）和（1，3），则线段AB的中点为C（2，2），又AB的斜率为1，故AB的中垂线的斜率为1，故AB的垂直平分线方程为y21（x2），即 xy0，故选：A【点评】本题主要考查求直线的中垂线方程的方法，中点公式及两直线垂直的性质，属于基础题2（5分）i是虚数单位，复数的虛部为（）A0BiC1D1【分析
8、】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，复数的虛部为1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）椭圆的焦点坐标为（）A（0，5）和（0，5）B（，0）和（，0）C（0，）和（0，）D（5，0）和（5，0）【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长，然后求解焦距即可【解答】解：由题意得，a216，b29，c2a2b21697，c，椭圆的焦点为（，0）和（，0）故选：B【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题4（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ax1By1CxDy【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得【解答】解：
9、因为抛物线y4x2，可化为：x2y，则抛物线的准线方程为y故选：D【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若，则a5（）A10B10C12D12【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，由等差数列的前n项和公式可得3（3a1+d）（2a1+d）+（4a1+d），解可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若，则3（3a1+d）（2a1+d）+（4a1+d），解可得：d2，则a5a1+4d2+810；故选：A【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出数列的公差，
10、属于基础题6（5分）圆x2+y22x8y+130上的点到直线x+y10的距离的最大值为（）A4B8CD【分析】圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，求出圆心坐标及半径，用点到直线的距离公式求出即可【解答】解：x2+y22x8y+130的标准形式为：（x1）2+（y4）2（2）2，所以圆心坐标（1，4），半径为2，由题意圆心到直线的距离d2，所以最大距离圆心到直线的距离加半径为2+2；故选：D【点评】考查点到直线的距离公式，属于基础题7（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的离心率为（）ABCD【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求得双曲线的标准方程，然后求解离心率即可
11、【解答】解；设双曲线，代入点点，可得12，1，双曲线方程为：，所以双曲线的离心率为：e故选：B【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键，属于中档题8（5分）二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标（2）表示，例如：10（2）等于十进制数2，110（2）等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如表十进制123456二进制1（2）10（2）11（2）100（2）101（2）110（2）二进制数化为十进制数举例：，二进制数11111（2）化为十进制数等于（）A7B15C13D31【分析】根据二进制化为十进制数公式，计算即可【解答
12、】解：11111（2）124+123+122+121+12031，即二进制数11111（2）化为十进制数是31故选：D【点评】本题考查了二进制数化为十进制数的计算问题，是基础题9（5分）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDC60设，则的值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDABCD的棱长为1，点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，且PDA60，（01），则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，
13、0，1），B（1，1，0），P（，1），（，1），（0，1，0），cos，|cos60，由01，解得故选：C【点评】本题考查利用空间向量的家角求实数值，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，是中档题10（5分）双曲线的离心率为，圆C的圆心坐标为（2，0），且圆C与双曲线C1的渐近线相切，则圆C的半径为（）ABC1D【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出圆的半径，利用点到直线的距离公式，转化求解即可【解答】解：双曲线的离心率为，可得，可得b，所以双曲线的渐近线方程为：，设圆的半径为r，由题意可得，所以r故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性
14、质以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题11（5分）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，抛物线C1的准线与x轴的交点为K，过K作直线l与抛物线C1相切，切点为A，则AFK的面积为（）A32B16C8D4【分析】由椭圆方程求得抛物线焦点坐标，得到抛物线方程，设切点，利用导数求得切点坐标，再由三角形面积公式求解【解答】解：由椭圆，得右焦点为（2，0）即为抛物线y22px的焦点，得p4抛物线的方程为y28x其准线方程为x2，K（2，0）过K作直线l与抛物线C1相切，不妨设A在第一象限，设切点为A（），由，得y，则，则切线方程为，把（2，0）代入，得，解得：x02，则y04AFK的面
15、积为故选：C【点评】本题考查椭圆与抛物线的综合，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题12（5分）数列an中，数列bn是首项为4，公比为的等比数列，设数列an的前n项积为n，数列bn的前n项积为Dn，nDn的最大值为（）A4B20C25D100【分析】由已知利用累加法求数列an的通项公式，再求出等比数列bn的通项公式，结合函数单调性求nDn的最大值【解答】解：由，得an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1；由数列bn是首项为4，公比为的等比数列，得则数列an为递增数列，但an2，数列bn是递减数列，但bn0，而当n3时，b31，当n3时，an递增的速度
16、小于bn递减的速度，n3时，nDn取最大值为（a1a2a3）（b1b2b3）故选：B【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）记Sn为数列an的前n项和若2anSn+1，则S663【分析】由已知数列递推式求得首项，并得到数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解【解答】解：由2anSn+1，得2a1a1+1，a11，当n2时，2an1Sn1+1，2an2an1an，即an2an1（n2），数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，则故答案为：63【点评】本题
17、考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的应用，是中档题14（5分）平面的一个法向为，直线l的一个方向向量为，若l，则k0或2【分析】l，可得，利用0，即可得出【解答】解：l，k22k0，解得k0或2故答案为：0或2【点评】本题考查了平面的法向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）矩形ABCD中，AB长为3，AD长为4，动点P在矩形ABCD的四边上运动，则点P到点A和点D的距离之和的最大值为8【分析】作图，分析点P的位置，结合对称性即可得到答案【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，当点P在线段AD（包括端点）上运动时，PA+PD4；当点P在线段A
18、B上运动时，易知，当点P在点B处时，PA+PD有最大值；由对称性可知，当点P在线段CD上运动时，PA+PD也有最大值；当点P在线段BC（不包括端点）上运动时，由对称性可知，当点P在线段BC的中点时，PA+PD的值最小，在点B或点C时，PA+PD的值最大综上，PA+PD的最大值为8故答案为：8【点评】本题考查距离和的最值求解，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题16（5分）设点F1、F2的坐标分别为和，动点P满足F1PF260，设动点P的轨迹为C1，以动点P到点F1距离的最大值为长轴，以点F1、F2，为左、右焦点的椭圆为C2，则曲线C1和曲线C2的交点到x轴的距离为【分析】根据直线的斜率与倾斜
19、角的关系，求得曲线C1的方程，根据题意椭圆的长轴长为2a4，c，即可求得椭圆的方程；方法一：联立方程组，求得交点到x轴的距离；方法二：根据椭圆的焦点三角形的面积公式，即可求得交点到x轴的距离【解答】解：设PF1F2，PF2F1，则+120，tan（+），即，设P（x，y），若y0，则tan，tan，代入整理得x2+（y1）24，y0，同理当y0时，x2+（y+1）24，y0，由动点P到点F1距离的最大值为4，所以曲线C2的方程为，方法一：联立方程组，解得y，同理解得y，所以曲线C1和曲线C2的交点到x轴的距离为方法二：F1PF260，根据椭圆焦点三角形的面积公式，则S2c|y0|b2tan，解
20、得|y0|，故答案为【点评】本题考查轨迹方程的求法，椭圆的标准方程，椭圆的焦点三角形的面积公式的应用，考查转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）数列an中，a11，an+12an+n1（1）求证：数列an+n为等比数列；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）根据题意，将an+12an+n1变形可得，由等比数列的定义分析可得结论；（2）根据题意，由（1）的结论数列an+n为以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式可得，变形可得答案【解答】解：（1）证明：根据题意，an+12an+n1，则an+1+n+12an+n1+n+
21、12an+2n2（an+n）所以，所以数列an+n为等比数列（2）由（1）得数列an+n为以2为公比的等比数列，又a11，所以a1+12所以，所以【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的通项公式，属于综合题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC3，PBPC5，AC6，O为AC的中点PO4（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）若M为BC的中点，求二面角MPAC的余弦值【分析】（1）连结BO，推导出POC为直角，ABC为直角POBPOC从而POBPOC90进而POOC，POOB，推导出PO平面ABC，由此能证明平面PAC平面ABC（2）以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、
22、y、z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角MPAC的余弦值【解答】解：（1）证明：连结BO，因为O为AC的中点，所以，所以PC2PO2+OC2，所以POC为直角在ABC中，AC6，所以AC2AB2+BC2，所以ABC为直角所以，又因为PBPC，POPO，所以POBPOC所以POBPOC90所以POOC，POOB，OBOCO，所以PO平面ABC，又因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC（2）解：由（1）得POAO，POOB，AOOB，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系AOOBOC3，A（3，0，0），B（0，3，0），C（3，0，0），P（0，0，
23、4）因为M为BC的中点，所以M的坐标为设为平面PAM的一个法向量，则，得，可取O为AC的中点，ABBC，所以OBAC，由（1）得平面PAC平面ABC，OB平面ABC，所以OB平面PAC为平面PAC的一个法向量，所以二面角MPAC的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题19（12分）设抛物线C的对称轴是x轴，顶点为坐标原点O，点P（1，2）在抛物线C上，（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线l与抛物线C交于A、B两点（A和B都不与O重合），且OAOB，求证：直线l过定点并求出该定点坐标【分析
24、】（1）由抛物线的对称轴设抛物线的方程，再由P在抛物线上求出该抛物线的标准方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由OAOB，可得0，求出参数之间的关系进而求出直线l恒过定点【解答】解：（1）设抛物线C的标准方程为y2ax（a0）因为抛物线C经过点P，所以22a1，所以a4，所以设抛物线C的标准方程为y24x（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+m，把ykx+m与y24x联立得k2x2+（2km4）x+m20和设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程的两根，y1，y2为方程的两根，因为OAOB，所以，所
25、以x1x2+y1y20，即，所以m+4k0，即m4k所以直线l的方程可化为yk（x4），当x4时，无论k取何值时，y0，所以直线l恒过点（4，0），当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xx0，把xx0与y24x联立得，因为OAOB，所以，所以得x04所以直线l的方程为x4所以直线l过点（4，0）所以无论直线l的斜率存在还是不存在，直线l恒过点（4，0）【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题20（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长都为2，D是AC的中点（1）在线段A1C1上是否存在一点E，使得平面EB1C平面A1BD，若存在指出点E在线段A1C1上的位置，若不
26、存在，请说明理由；（2）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值【分析】（1）设A1C1的中点为D1，连结DD1，以D为坐标原点，分别以DA、DB、DD1，为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面A1BD的一个法向量，由，得，若线段A1C1上存在点E，使得平面EB1C平面A1BD，设点E坐标为（a，0，2），则，再由，即求得a0，可得点E为线段A1C1的中点；（2）由（1）得为平面A1BD的一个法向量，再由与所成角的余弦值可得直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值【解答】解：（1）设A1C1的中点为D1，连结DD1，以D为坐标原点，分别以DA、DB、DD1，为x、y、z轴建立空间直角坐标系
27、在ABC中，设为平面A1BD的一个法向量，由，得，取z1，得，若线段A1C1上存在点E，使得平面EB1C平面A1BD，设点E坐标为（a，0，2），则，平面EB1C平面A1BD，也为平面EB1C的法向量，得a0，点E为线段A1C1的中点；（2）解：由（1）得为平面A1BD的一个法向量，直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为【点评】本题考查平面与平面平行的判定及其应用，考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题21（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，数列bn为正项等比数列，已知a35，S39，b1a1，b5S4（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）记Tn为数列anbn的前n
28、项和，求Tn【分析】（1）设数列an的首项为a1，公差为d，设数列bn的首项为b1，公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设数列an的首项为a1，公差为d，设数列bn的首项为b1，公比为q，由a3a1+2d5和S33a1+3d9得a11，d2，ana1+（n1）d1+2（n1）2n1所以数列an的通项公式为an2n1b1a11，由b5S4得，所以所以数列bn的通项公式为（2）相减可得即有【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力
29、，属于中档题22（12分）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线l：ykx+2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围【分析】（1）求得椭圆中的a2，b，c1，可得双曲线方程中的a，b，c，可得双曲线的方程；（2）把ykx+2与联立得可得关于x的二次方程，以及关于y的二次方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）在椭圆C1中，a24，b23，所以c2a2b21，所以c1因为双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，所以在双曲线C2中，a21，c24，b2c2a23，所以在双曲线C2的方程为；（2）把ykx+2与联立得（k23）x2+4kx+70和（k23）y2+12y12+3k20设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程的两根，y1，y2为方程的两根，得k23或k21，又因为方程中，0，得k27，联立得k的取值范围（，）（1，1）（，）【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题