1、2018-2019学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件2（5分）等差数列an中，a413，a69，则数列an前9项的和S9等于（）A66B99C144D2973（5分）下列结论正确的是（）A若ab，cd，则acbdB若ab，cd，则adbcC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则4（5分）命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，
2、|x0|+x020Dx0R，|x0|+x0205（5分）已知数列an，a11，an+an+13，则S2017等于（）A3009B3025C3010D30246（5分）已知2m+n1，m，n0，则+的最小值为（）A4B8C9D127（5分）等差数列an的首项a15，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（）Aa6Ba8Ca9Da108（5分）已知，给出下列四个结论：aba+bab|a|b|abb2其中正确结论的序号是（）ABCD9（5分）已知F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若AB
3、E是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A（1，2）B（2，1+）C（，1）D（1+，+）10（5分）已知两个等差数列an和bn的前n项和为An和Bn，且，则为（）A13B11C10D911（5分）若点O（0，0）和点分别是双曲线y21（a0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A1，+）B（0，+）C2，+）D0，+）12（5分）设F1，F2分别为椭圆C1：+1（ab0）与双曲线C2：1（a1b10）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若椭圆的离心率e，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A，B，）C，D，+）二、填空
4、题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）等比数列an中，若前n项的和为Sn2n1，则a12+a22+an2 14（5分）已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为 15（5分）当x（1，2）时，不等式x2xm0恒成立，则m的取值范围是 16（5分）若P为椭圆+1上任意一点，EF为圆（x1）2+y24的任意一条直径，则的取值范围是 三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设命题p：实数x满足x22ax3a20（a0），命题q：实数x满足0（）若a1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a
5、的取值范围18（12分）已知数列an为等比数列，a12，公比q0，且a2，6，a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求使的n的值19（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q（）求椭圆C的方程；（）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+，求直线l的方程20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a12当n2时Sn1+l，anSn+1成等差数列（I）求证：Sn+1是等比数列：（II）求数列nan的前n项和21（12分）某科研小组研究发现：一棵水果树的产量w（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如
6、下关系：此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）2x百元已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为L（x）（单位：百元）（1）求L（x）的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？22（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值；（）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值2018-2019学年山东省泰安
7、一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【分析】当a0时，满足a1，但此时lna0不成立若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1【解答】解：a1推不出“lna0”，比如 当a0时若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1故选：B【点评】本题利用对数的知识考查充要条件的知识属于基础题2（5分）等差数列an中，a413，a69，则数列an前9项的和S9等于（）A66B99C1
8、44D297【分析】由已知结合等差数列的性质可得，a1+a9a4+a6，代入求和公式S9可求【解答】解：等差数列an中，a413，a69，a1+a9a4+a622，则数列an前9项的和S999故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题3（5分）下列结论正确的是（）A若ab，cd，则acbdB若ab，cd，则adbcC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则【分析】由cddc，利用不等式的性质：同向不等式相加所得不等式与原不等式同向，可判断A的正误；同理可可判断的B正误；对于C、D可采用特例法进行判断【解答】解：对于A选项，cddc，又ab，adbc，故A错
9、误；对于B，由cddc，又ab，adbc，故B正确；对于C，特例法：01，23，显然不能推出03，故C错误；对于D，可取特例：21，23，不能推出，故D错误；故选：B【点评】本题考查不等式的基本性质，着重考查学生掌握不等式性质并熟练应用这些性质来解决问题的能力，属于中档题4（5分）命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x020【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xR，|x|+x20”的否定x0R，|x0|+x020，故选：C【点评】本题主要
10、考查含有量词的命题的否定，比较基础5（5分）已知数列an，a11，an+an+13，则S2017等于（）A3009B3025C3010D3024【分析】由数列的递推式可得奇数项为1，偶数项为2，S2017（a1+a2）+（a3+a4）+（a2015+a2016）+a2017，计算可得所求和【解答】解：数列an，a11，an+an+13，可得a22，a31，a42，即奇数项为1，偶数项为2，则S2017（a1+a2）+（a3+a4）+（a2015+a2016）+a20173+3+3+131008+13025故选：B【点评】本题考查数列的求和，注意运用分组求和，考查运算能力，属于基础题6（5分）已
11、知2m+n1，m，n0，则+的最小值为（）A4B8C9D12【分析】由题意可知，+（）（2m+n），展开利用基本不等式即可求解【解答】解：2m+n1，m，n0，则+（）（2m+n）5+5+49，当且仅当且2m+n1即mn时取等号，故+的最小值9，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换7（5分）等差数列an的首项a15，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（）Aa6Ba8Ca9Da10【分析】由等差数列an的首项a15，它的前11项的平均值为5，利用等差数前n项和公式求出a1115，从而得到公差d2，进而
12、得到该数列为ana1+（n1）d2n7，设抽去的是第m项，则am55104.655469，由此能求出结果【解答】解：等差数列an的首项a15，它的前11项的平均值为5，S11（a1+a11）（5+a11）55解得a1115，由a115+10d15，解得d2，该数列为ana1+（n1）d5+（n1）22n7，设抽去的是第m项，则am55104.655469，2m79，解得m8，抽出的这一项为第8项故选：B【点评】本题考查等差数列中某一项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用8（5分）已知，给出下列四个结论：aba+bab|a|b|abb2其中正确结论的序号是（）ABCD
13、【分析】由条件可ba0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可【解答】解：，ba0ab，错误ba0，a+b0，ab0，a+bab，正确ba0，|a|b|不成立abb2b（ab），ba0，ab0，即abb2b（ab）0，abb2成立正确的是故选：B【点评】本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断ba0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用9（5分）已知F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A（1，2）B（2，1+）C（，1）D（1+，+）【分析】根据双曲线的对称性
14、，得到等腰ABE中，AEB为锐角，可得|AF|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：根据双曲线的对称性，得ABE中，|AE|BE|，ABE是锐角三角形，即AEB为锐角，由此可得RtAFE中，AEF45，得|AF|EF|AF|，|EF|a+c，a+c，即2a2+acc20，两边都除以a2，得e2e20，解之得1e2，双曲线的离心率e1，该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：A【点评】本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题10（5分）
15、已知两个等差数列an和bn的前n项和为An和Bn，且，则为（）A13B11C10D9【分析】由等差数列的性质和前n项和公式，将转化为，再代入求值【解答】解：等差数列an和bn的前n项和为An和Bn，且，则9故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式灵活应用，是常考的题型，注意总结11（5分）若点O（0，0）和点分别是双曲线y21（a0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A1，+）B（0，+）C2，+）D0，+）【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点M，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据M，F，O的坐标表
16、示，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围【解答】解：设M（m，n），A（a，0），则（m，n）（ma，n）m2am+n2由F（，0）是双曲线y21（a0）的右焦点，可得a2+13，即a，则双曲线方程为y21，由点M为双曲线右支上的任意一点，可得n21（m），即有n21，则m2m+n2m2m+1（m）2，由m，可得函数在，+）上单调递增，即有m2m+n222+110，可得的取值范围为0，+）故选：D【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力12（5分）设F1，F
17、2分别为椭圆C1：+1（ab0）与双曲线C2：1（a1b10）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若椭圆的离心率e，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A，B，）C，D，+）【分析】设MF1s，MF2t，由椭圆的定义可得s+t2a，由双曲线的定义可得st2a1，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：设MF1s，MF2t，由椭圆的定义可得s+t2a，由双曲线的定义可得st2a1，解得sa+a1，taa1，由F1MF290，运用勾股定理，可得s2+t24c2，即为a2+a122c2，由离心率的公式可得，+2，由e，可得e2，即有2，解得e1，由a1b1，可
18、得e1，故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）等比数列an中，若前n项的和为Sn2n1，则a12+a22+an2【分析】由已知可得等比数列an的首项和公比，进而可得数列也是等比数列，且首项为1，公比为q24，代入等比数列的求和公式可得答案【解答】解：a1S11，a2S2S1312，公比q2又数列也是等比数列，首项为1，公比为q24，故答案为：【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题14（5分）已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为2
19、0，则双曲线的标准方程为【分析】根据双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，分类讨论，即可得到结论【解答】解：当焦点在x轴上时，双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，双曲线的标准方程为；当焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，双曲线的标准方程为综上知，双曲线的标准方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，解题的关键是正确分类，明确双曲线的渐近线方程的求法15（5分）当x（1，2）时，不等式x2xm0恒成立，则m的取值范围是m2【分析】构造函数，根据函数的性质即可求出【解答】解：根据题意，构造函数：f（x）x2xm，x（1，2）由于当x（1，2）时，不
20、等式x2xm0恒成立即，即解得 m2，故答案为：m2【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题16（5分）若P为椭圆+1上任意一点，EF为圆（x1）2+y24的任意一条直径，则的取值范围是5，21【分析】先把转化为（）（）（+）+2|NE|NF|cos0+|NP|24+|NP|2再结合|NP|的范围即可求出结论【解答】解：因为（）（）（+）+2|NE|NF|cos0+|NP|24+|NP|2又因为椭圆+1的a4，b，c1，N（1，0）为椭圆的右焦点，|NP|ac，a+c3，55，21故答案为：5，21【点评】本题主要考查椭圆的基本性质解决本题的关键在于知道N为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化
21、三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设命题p：实数x满足x22ax3a20（a0），命题q：实数x满足0（）若a1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（）把a1代入x22ax3a20，化为x22x30，可得1x3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；（）求解x22ax3a20（a0），得ax3a，由0，得2x4，由q是p的充分不必要条件，可得2，4）（a，3a），由此列关于a的不等式组求解【解答】解：（）a1，则x22ax3a20化为x22x30，即1x3；若q为真命题，
22、则0，解得2x4p，q都为真命题时x的取值范围是2，3）；（）由x22ax3a20（a0），得ax3a，由0，得2x4，q是p的充分不必要条件，2，4）（a，3a），则，即a【点评】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题18（12分）已知数列an为等比数列，a12，公比q0，且a2，6，a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求使的n的值【分析】（1）由a2，6，a3成等差数列，知12a2+a3，由an为等比数列，且a12，故122q+2q2，由此能求出数列an的通项公式（2）由，知，由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值【解答】解：（1）
23、由a2，6，a3成等差数列，得12a2+a3（2分）又an为等比数列，且a12，故122q+2q2（3分）解得q2，或q3，又q0（5分），q2，（7分）（2），（10分）（12分）故由，得n6，又nN*n的取值为1，2，3，4，5【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答19（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q（）求椭圆C的方程；（）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+，求直线l的方
24、程【分析】（）设椭圆C的方程为+1（ab0），由题意得，+1，a2b2+c2解出即可得出；（）由题意得点Q（2，0），设直线方程为xty+2（t0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线xty+2（t0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty20，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出【解答】解：（）设椭圆C的方程为+1（ab0），由题意得，+1，a2b2+c2解得a26，b2c23，则椭圆C：+1（）由题意得点Q（2，0），设直线方程为xty+2（t0），A（x1，y1），B（x2，y2），则（x12，y1），（x22，y2），由3+，得3y1+y20， y1
25、+y22y1，y1y23，得到（*）将直线xty+2（t0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty20，y1+y2，y1y2，代入（*）式，解得：t2，直线l的方程为：y（x2）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a12当n2时Sn1+l，anSn+1成等差数列（I）求证：Sn+1是等比数列：（II）求数列nan的前n项和【分析】（I）由题意可得2ansn+sn1+2，结合ansnsn1可得sn与sn1之间的递推关系，进而可证明（II
26、）由（I）可求sn+1，进而可求sn，然后利用ansnsn1可求an，然后利用错位相减可求Tn【解答】（I）证明：Sn1+l，anSn+1成等差数列2ansn+sn1+2（2分）2（snsn1）sn+sn1+2 即sn3sn1+2 （4分）sn+13（sn1+1），n2（6分）sn+1是首项为s1+13，公比为3的等比数列（7分）（II）解：由（I）可知（9分）当n2时，ansnsn123n1又a13（11分）+2n3n1 （1）+2n3n （2）（1）（2）得：2Tn2+23+232+23n12n3n2n3n3n12n3n（14分）【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列
27、的通项，数列的错位相减求和方法的综合应用21（12分）某科研小组研究发现：一棵水果树的产量w（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）2x百元已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为L（x）（单位：百元）（1）求L（x）的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可得L（x）16（x）2xx，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润【解答】解：（1）L（x）16（x）2xx（2）当0x2时
28、L（x）maxL（2）42当2x5时l（x）67+3（x+）67243当且仅当时，即x3时等号成立答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元【点评】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值；（）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值【分析】（1）由题设知a2，e，由此能求出a2，b1（2）（i）由（1
29、）得，椭圆C的方程为+y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）若k1，则直线l的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，得x22mx+m210|AB|，点O到直线l的距离d，由此求出SOAB取得最大值1（）设直线l的方程为yk（xm）将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x28mk2x+4（k2m21）0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的【解答】（本小题满分16分）解：（1）由题设知a2，e，所以c，故b2431因此，a2，b1（2分）（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）若k1，
30、则直线l的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，即将y消去，化简得x22mx+m210解得x1，x2，从而有，x1+x2，x1x2，而y1x1m，y2x2m，因此，|AB|，点O到直线l的距离d，所以，SOAB|AB|d|m|，因此，S2OAB（ 5m2）m2（）21（6分）又2m2，即m20，4所以，当5m2m2，即m2，m时，SOAB取得最大值1（8分）（）设直线l的方程为yk（xm）将直线l与椭圆C的方程联立，即将y消去，化简得（1+4k2）x28mk2x+4（k2m21）0，解得，x1+x2，x1x2（10分）所以PA2+PB2（x1m）2+y12+（x2m）2+y22（x12+x22）2m（x1+x2）+2m2+2 （*）（14分）因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k2+20，解得k所以，k的值为（16分）【点评】本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用