1、2018-2019学年辽宁省六校协作体高二（下）期初数学试卷（文科）（2月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1（5分）设集合Ax|x|1，Bx|x（x3）0，则AB（）A（1，0）B（0，1）C（1，3）D（1，3）2（5分）已知命题p：xR，x22x+40，则p为（）AxR，x22x+40BCxR，x22x+40D3（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a614，则S7（）A13B35C49D634（5分）已知为锐角，且tan（）+30，则sin的值是（）ABCD5（5分）已知向量，满足|1，|，（）0，则|2|（）A2B2C4D46（5分）函数yloga（x3）+1（
2、a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny10上，其中mn0，则的最小值为（）A16B24C25D507（5分）已知m，n，是直线，是平面，给出下列命题：若，m，nm，则n或n若，m，n，则mn若m，n，m，n，则若m，nm且n，n，则n且n其中正确的命题是（）ABCD8（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则函数g（x）Acos（x+）图象的一个对称中心可能为（）ABCD9（5分）已知点M（，0），椭圆+y21与直线yk（x+）交于点A、B，则ABM的周长为（）A4B8C12D1610（5分）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上
3、存在一点P满足PF1PF2，且PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）ABC2D311（5分）已知an是首项为1的等比数列，Sn是其的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为（）A或5B或5CD12（5分）已知，若f（x）m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4，则的取值范围为（）A（0，10）B0，10C（0，4）D0，4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设变量x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为 14（5分）已知具有线性相关关系的两个量x，y之间的一组数据如表：x01234y2.24.34.5m6.7且回归直线方程是0.95x+2.6，则m的值
4、为 15（5分）三棱锥PABC，PA平面ABC，ABC90，（单位：cm），则三棱锥PABC外接球的体积等于 cm316（5分）已知P是抛物线y24x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y3）21上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C60，cb（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a4，BCD的面积为，求BD的长18（12分）已知数列an的前n项和Sn满足2Sn3an1，其中nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列b
5、n的前n项和为Tn，若对nN*恒成立，求实数c的取值范围19（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：分组频数频率40，50）a0.0450，60）3b60，70）140.2870，80）150.3080，90）cd90，10040.08合计501（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在90，100内的学生中任选出两名同学，从成绩在40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动若A1同学的数
6、学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点（ I）求抛物线C的方程；（）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点21（12分）如图1，棱形ABCD的边长为6，BAD60，ACBDO将棱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（）求证：OM平面ABD；（）求三棱锥MABD的体积22（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标
7、原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值2018-2019学年辽宁省六校协作体高二（下）期初数学试卷（文科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1（5分）设集合Ax|x|1，Bx|x（x3）0，则AB（）A（1，0）B（0，1）C（1，3）D（1，3）【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出AB【解答】解：集合Ax|x|1x|1x1，Bx|x（x3）0x|0x3，则ABx|1x3（1，3）故选：C【点评】本题考查了不等式的解法与集合的运算问题，是基础题2（5分）已知命题p：xR，x22x+40，则p为（）AxR，x22x+40BCxR，x22x+4
8、0D【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：xR，x22x+40，则p为：故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a614，则S7（）A13B35C49D63【分析】由等差数列性质得：S7（a1+a7）（a2+a6），由此能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a2+a614，S7（a1+a7）（a2+a6）49故选：C【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础
9、题4（5分）已知为锐角，且tan（）+30，则sin的值是（）ABCD【分析】已知等式利用诱导公式变形，求出tan的值，根据为锐角，求出cos的值，即可求出sin的值【解答】解：为锐角，且tan（）+3tan+30，即tan3，cos，则sin故选：B【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5（5分）已知向量，满足|1，|，（）0，则|2|（）A2B2C4D4【分析】利用已知条件求出，求出的值，然后求解向量的模即可【解答】解：|1，|，可得（）0，可得，解得1，4则|2|2故选：A【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查计算能力6（5分）函数yl
10、oga（x3）+1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny10上，其中mn0，则的最小值为（）A16B24C25D50【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键函数yloga（x3）+1（a0且a1）的图象恒过定点A，知A（4，1），点A在直线mx+ny10上，得4m+n1又mn0，m0，n0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值【解答】解：令x31，解得x4，y1，则函数yloga（x3）+1（a0且a1）的图象恒过定点A（4，1），4m+n1，（）（4m+n）16+1+17+217+825，当且仅当mn时取等号，故则的最小值为25
11、，故选：C【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值7（5分）已知m，n，是直线，是平面，给出下列命题：若，m，nm，则n或n若，m，n，则mn若m，n，m，n，则若m，nm且n，n，则n且n其中正确的命题是（）ABCD【分析】n和和两个平面之间有相交，在面上故不正确，根据两个平面平行的性质定理，得到正确缺少两条直线相交的条件，故不正确，
12、正确【解答】解：若，m，nm，则n和和两个平面之间有相交，在面上故不正确，若，m，n，则mn这是两个平面平行的性质定理，故正确若m，n，m，n，则，缺少两条直线相交的条件，故不正确，若m，nm且n，n，则n且n，正确，故选：B【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题解题的关键是正确写出几个元素之间的关系，不要理解不全面，这里题目中出错的地方也是我们经常出错的地方8（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则函数g（x）Acos（x+）图象的一个对称中心可能为（）ABCD【分析】由图观察可得A，T，再求得代入最高点可得，所以可得g（x）的解析式，再求
13、得对称中心横坐标【解答】解：由图观察可知：A2，6（2）8，T16，代入最高点（10，2）得sin（10+）1，+2k，kZ，又|，ko，g（x）2cos（x+），由x+k+，kZ，xk，kZ，当k1时，x，所以一个对称中心可能为（，0）故选：D【点评】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式属中档题9（5分）已知点M（，0），椭圆+y21与直线yk（x+）交于点A、B，则ABM的周长为（）A4B8C12D16【分析】直线过定点，由椭圆定义可得 AN+AM2a4，BM+BN2a4，由ABM的周长为AB+BM+AM（AN+AM）+（BN+BM），求出结果【解答】解：直线过定点，由题设
14、知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM2a4，BM+BN2a4ABM的周长为AB+BM+AM（AN+BN）+BM+AM（AN+AM）+（BN+BM）8，故选：B【点评】本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题10（5分）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1PF2，且PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）ABC2D3【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可【解答】解：不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1PF2，可得|PF1|PF2|2a，|PF1|2+|PF
15、2|24c2，|PF1|PF2|2b2，PF1F2的面积为|PF2|PF2|b23，即m213，a2m24，c27则该双曲线的离心率为e故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量垂直的等价条件结合直角三角形的边角关系以及双曲线的定义是解决本题的关键11（5分）已知an是首项为1的等比数列，Sn是其的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为（）A或5B或5CD【分析】利用等比数列求和公式代入9s3s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和【解答】解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和故选：C【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性
16、质，属于中等题在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用12（5分）已知，若f（x）m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4，则的取值范围为（）A（0，10）B0，10C（0，4）D0，4【分析】画出f（x）的图象，由对称性可得x3+x410，对数的运算性质可得x1x2x1+x2，代入要求的式子，结合图象可得所求范围【解答】解：的图象如右：f（x）m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4，可得x3+x410，且|log2（x11）|log2（x21）|，即为log2（x11）+log2（x21）0，即有（x11）（x21）1，即
17、为x1x2x1+x2，可得（+）（x3+x4）10m10m，由0m1，可得010m10，故选：A【点评】本题考查分段函数的图象和应用：求自变量的范围，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设变量x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z3x2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z3x2y过可行域内的点A时，从而得到z3x2y的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z3x2y，当直线经过A（0，2）时，z取到最大值，Zmax4故答案为：4【点评】本题主要考查了用平面区域
18、二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解14（5分）已知具有线性相关关系的两个量x，y之间的一组数据如表：x01234y2.24.34.5m6.7且回归直线方程是0.95x+2.6，则m的值为4.8【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程即可求得m值【解答】解：由图表可知，则样本中心点的坐标为（2，），把（2，）代入0.95x+2.6，得，则m4.8故答案为：4.8【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题15（5分）三棱锥PABC，PA平面ABC，ABC
19、90，（单位：cm），则三棱锥PABC外接球的体积等于cm3【分析】补充图形为长方体，三棱锥PABC的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积【解答】解：三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB1，BC，画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；对角线长为2，三棱锥DABC的外接球的半径为1，该三棱锥外接球的体积为13cm3故答案为：【点评】本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解是关键16（5分）已知P是抛物线y24x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y3）21上，R是P在y
20、轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是3【分析】设M为P在抛物线准线上的射影，根据抛物线的定义可得|PM|+|PC|PF|+|PC|，由平面几何知识可得当P点恰好在线段CF上时，|PF|+|PC|达到最小值，由此即可得到答案【解答】解：圆C：（x+3）2+（y3）21的圆心为（3，3），半径为1，抛物线方程为y24x，焦点为F（1，0），准线方程l：x1，设M为P在抛物线准线上的射影，P、R、M三点共线，且|PM|PR|+1根据抛物线的定义，可得|PM|+|PC|PF|+|PC|设CF与抛物线交点为P0，则P与P0重合时，|PF|+|PC|CF|5达到最小值，因此，|PM|+|PC|的最小
21、值等于5可得|PQ|+|PR|PC|1+|PM|1的最小值为3，故答案为3【点评】本题着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C60，cb（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a4，BCD的面积为，求BD的长【分析】（1）由C60，可得sinC，由cb，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合bc，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值【解答】（本题满
22、分为12分）解：（1）C60，可得：sinC，由cb，可得：，又由正弦定理，可得：，解得：sinB，由已知可得bc，可得B为锐角，可得：B45，ABC75（2）BCD的面积为，即：aCDsinC，解得：CD1，由余弦定理可得：BD【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题18（12分）已知数列an的前n项和Sn满足2Sn3an1，其中nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，若对nN*恒成立，求实数c的取值范围【分析】（1）利用已知条件，通过ansnsn1，判断数列是等比数列，然后求解通
23、项公式（2）利用数列裂项求和，然后利用不等式推出结果即可【解答】解：（1），当，a11，当n2，：，即：an3an1（n2）（4分）又a11，对nN*都成立，所以an是等比数列，（6分）（2），（8分），Tn3对nN*都 成立（10分）3c22c，c3或c1，实数c的取值范围为（，13，+），（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和以及数列与不等式的关系，考查分析问题解决问题的能力19（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：分组频数频率40，50）a0.0450，60）3b60，7
24、0）140.2870，80）150.3080，90）cd90，10040.08合计501（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在90，100内的学生中任选出两名同学，从成绩在40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率【分析】（1）由频率分布表，列出方程组，能求出a，b，c，d的值，由此能估计本次考试全年级学生的数学平均分（2）设数学成绩在90，100内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4
25、，成绩在40，50）内的两名同学为A1，A2，利用列举法能求出A1，B1两名同学恰好都被选出的概率【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a2，b0.06，c12，d0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：450.04+550.06+650.28+750.3+850.24+950.0873.8（2）设数学成绩在90，100内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A
26、2B3B4，共有12种情况A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为【点评】本题考查频率分布表曲的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点（ I）求抛物线C的方程；（）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点【分析】（I）利用抛物线的焦点坐标，求出p，然后求抛物线C的方程；（）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用
27、韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【解答】解：（）因为抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），所以1，所以p2所以抛物线C的方程为y24x（4分）（）证明：当直线AB的斜率不存在时，设 A（，t），B（，t），因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232所以A（8，t），B（8，t），此时直线AB的方程为x8（7分）当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），联立得化简得ky24y+4b0（8分）根据根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB+2yAyB0即+2yAyB0，解得yAyB0（舍去）或yAyB
28、32所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk（x8）综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用21（12分）如图1，棱形ABCD的边长为6，BAD60，ACBDO将棱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（）求证：OM平面ABD；（）求三棱锥MABD的体积【分析】（）推导出OM是ABC的中位线，从而OMAB，由此能证明OM平面ABD（）三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积，由此能求出结果【解答】证明：（）因为点O是棱形ABCD
29、的对角线的交点，所以O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，所以OMAB，因为OM平面ABD，AB平面ABD所以OM平面ABD解：（）三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积由题意，OMOD3因为，所以DOM90，ODOM，又因为棱形ABCD，所以ODAC因为OMACO，所以OD平面ABC即OD平面ABM所以OD3为三棱锥DABM的高，ABM的面积为所求体积【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线
30、l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值【分析】（）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykx+m由已知，得把ykx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m230，然后由根与系数的关系进行求解【解答】解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意b1，所求椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykx+m由已知，得把ykx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m230，|AB|2（1+k2）（x2x1）2当且仅当，即时等号成立当k0时，综上所述|AB|max2当|AB|最大时，AOB面积取最大值【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答