1、2018-2019学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）抛物线y24x的准线方程为（）Ax2Bx2Cx1Dx12（5分）已知数列an为等差数列，若a4+a810，则a6（）A5B10C5D3（5分）如果ab0，那么下列不等式中不正确的是（）ABCabb2Da2ab4（5分）如果存在三个不全为0的实数x、y、z，使得向量，则关于叙述正确的是（）A两两互相垂直B中只有两个向量互相垂直C共面D中有两个向量互相平行5（5分）平面内到点F1（6，0）、F2（6，0）的距离之差等于
2、12的点的集合是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线6（5分）“nm”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件7（5分）已知变量x，y满足约束条件，则zx2y的最小值是（）A0B6C10D128（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为（）A36B16C20D249（5分）两个正实数x、y满足x+2y1，且恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）（4，+）B（，4）（2，+）C（2，4）D（4，2）10（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半
3、平面内，且都垂直于AB已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为（）A150B45C60D12011（5分）如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点若APAQ，则C的离心率是（）ABCD12（5分）数列an满足a11，对任意的m，nN*都有am+nam+an+mn，则+（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题：“若x21，则1x1”的否命题是 命题（填“真”或“假”之一）14（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，AA12，E为棱CC1的中点，则AE与平面ADD
4、1A1所成的角的正切值为 15（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线yx2相切，若直线l的倾斜角为45，则t 16（5分）设a、b、c是正实数满足a+bc，则的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17（10分）在等比数列an中，（1）求数列an的通项公式；（2）设，且数列bn为递减数列，求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值19（12分）已知椭圆的方程为，点P的坐标为（2，1），求过点P且与椭圆相切的直线方程
5、20（12分）已知抛物线C：y24x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点（1）若m1，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；（2）是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（2）若PA2，求二面角EAFC的余弦值22（12分）在平面直角坐标系xOy中，定长为3的线段AB两端点A、B分别在x
6、轴、y轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设点M（x0，y0）是轨迹C上一点，从原点O向圆作两条切线分别与轨迹C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1、k2求证：；求|OP|OQ|的最大值2018-2019学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）抛物线y24x的准线方程为（）Ax2Bx2Cx1Dx1【分析】利用抛物线的标准方程，有2p4，可求抛物线的准线方程【解答】解：抛物线y24x的焦点在x轴上，且，抛物线的准线方程是
7、x1故选：D【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题2（5分）已知数列an为等差数列，若a4+a810，则a6（）A5B10C5D【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a4+a82a6，代入数据计算可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an中，有a4+a82a6，若a4+a810，则a65；故选：A【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项，属于基础题3（5分）如果ab0，那么下列不等式中不正确的是（）ABCabb2Da2ab【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：ab0，abb2，a2ab，即为，因此A，
8、C，D正确，而B不正确故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）如果存在三个不全为0的实数x、y、z，使得向量，则关于叙述正确的是（）A两两互相垂直B中只有两个向量互相垂直C共面D中有两个向量互相平行【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意得，x，y，z不全为零，由平面向量基本定理知，共面，故选：C【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用5（5分）平面内到点F1（6，0）、F2（6，0）的距离之差等于12的点的集合是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线【分析】到两定点F1（6，0）、F2（6，0）的距离之差的绝对值
9、等于12，而|F1F2|12，即可得出满足条件的点的轨迹为两条射线【解答】解：到两定点F1（6，0）、F2（6，0）的距离之差的绝对值等于12，而|F1F2|12，满足条件的点的轨迹为两条射线故选：C【点评】本题考查了双曲线的定义及其注意特殊情况，考查了推理能力，属于基础题6（5分）“nm”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【分析】首先方程得出表示焦点在y轴上的双曲线的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义可作出判断【解答】解：方程表示焦点在y轴上的双曲线，nm推不出，nm，nm是的必要而不充分条件，故选：B【点评】
10、本题考查了双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）已知变量x，y满足约束条件，则zx2y的最小值是（）A0B6C10D12【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将zx2y转化为yx，结合图象求出z的最小值即可【解答】解：从满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，6），由zx2y得：yx，结合图象得直线过A（2，6）时，z的值最小，z的最小值是：10，故选：C【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题8（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为（）A36B16C20D24【分析
11、】由题意可知：a6，b4，c2利用椭圆的定义及勾股定理即可求得|PF1|PF2|32根据三角形的面积公式，即可求得PF1F2的面积【解答】解：椭圆的方程：，则a6，b4，c2由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|2a12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2（2c）280，|PF1|PF2|32PF1F2的面积|PF1|PF2|16PF1F2的面积为16，故选：B【点评】本题考查椭圆的标准方程及定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题9（5分）两个正实数x、y满足x+2y1，且恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）（4，+）B（，4）（2，+）C（2，4）D（4，2）【分析】
12、先由题意得出，然后将代数式和x+2y相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值8，然后解不等式m2+2m8即可得出答案【解答】解：由题意可知，由基本不等式可得，当且仅当，即当x2y时，等号成立，所以m2+2m8，即m2+2m80，解得4m2故选：D【点评】本题考查基本不等式，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，属于中等题10（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为（）A150B45C60D120【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而
13、向量与的夹角就是二面角的补角【解答】解析：由条件，知62+42+82+268cos，cos，即120，所以二面角的大小为60，故选：C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题11（5分）如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点若APAQ，则C的离心率是（）ABCD【分析】由已知条件求出直线l的方程为：yx+，直线l：yx+与yx联立，能求出P点坐标，将x0带入直线l，能求出Q点坐标，由APAQ，知kAPkAQ，由此入手能求出双曲线的离心率【解答】解：A，F分别是
14、双曲线的左顶点、右焦点，A（a，0）F（c，0），过F的直线l与C的一条渐近线垂直，且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，直线l的方程为：yx+，直线l：yx+与yx联立：，解得P点（，）将x0带入直线l：yx+，得Q（0，），APAQ，kAPkAQ1，化简得b2aca2c2，把b2c2a2代入，得2c22a2ac0同除a2得2e22e0，e，或e（舍）故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题12（5分）数列an满足a11，对任意的m，nN*都有am+nam+an+mn，则+（）ABCD【分析】运用数列裂项相消法可求得数列
15、的和【解答】解：根据题意得，数列an满足a11，对任意的m，nN*都有am+nam+an+mnan+1ann+1an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1n+n1+2+12（）+2（1+）2（1）故选：D【点评】本题考查数列的递推关系式，裂项相消法求和二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题：“若x21，则1x1”的否命题是真命题（填“真”或“假”之一）【分析】写出“若x21，则1x1”的否命题，即可判断其真假【解答】解：“若x21，则1x1”的否命题为：“若x1或x1，则x21”，显然是真命题故答案为：真【点评】本题考查四种命题的真假关系，关键是真确写
16、出其否命题，再判断，属于基础题14（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，AA12，E为棱CC1的中点，则AE与平面ADD1A1所成的角的正切值为【分析】取DD1中点F，连结EF，AF，推导出EAF是AE与平面ADD1A1所成的角，由此能求出AE与平面ADD1A1所成的角的正切值【解答】解：取DD1中点F，连结EF，AF，正方体ABCDA1B1C1D1，AA12，E为棱CC1的中点，EF平面ADD1A1，EAF是AE与平面ADD1A1所成的角，EF2，AF，tanEAF，AE与平面ADD1A1所成的角的正切值为故答案为：【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面
17、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线yx2相切，若直线l的倾斜角为45，则t【分析】设切点为（m，m2），求出函数的导数，求得切线的斜率，再由直线的斜率公式解方程可得切点，再由两点你的斜率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设切点为（m，m2），yx2的导数为y2x，即有切线l的斜率为k2mtan451，解得m，可得切点为（，），由1，解得t故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题16（5分）设a、b、c是正实数满足a+bc，则的最小值为【分析】利用放缩法和基本不等式的性质
18、进行求解【解答】解：a，b，c是正实数，满足a+bc，a+2bb+c，+（+1）+（当且仅当a+bc时取等号）故答案为：【点评】本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17（10分）在等比数列an中，（1）求数列an的通项公式；（2）设，且数列bn为递减数列，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）设公比为q，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；（2）数列bn为递减数列，可得log2（）2n2n，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）等比数列an的公比设为q，可得a1
19、q2，a1+a1q+a1q2，解得a1，q1，或a16，q，则an或an6（）n1；（2）若an，不满足数列bn为递减数列，则log2（）2n2n，数列bn的前n项和Tnn（22n）n2n【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值【分析】（1）设，则两两夹角为60，且模均为1根据向量加法的平行四边形法则，我们易得+我们易根据向量数量积的运算法则，求出|的模，即AC1的长；（2）我们求出向
20、量，然后代入向量夹角公式，即可求出BD1与AC夹角的余弦值【解答】解：设，则两两夹角为60，且模均为1（1）+|2（+）2|2+|2+|2+2+2+23+6116，|，即AC1的长为（2）+（+）（+）2+2+1|，|，cos，BD1与AC夹角的余弦值为【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，用空间向量求直线间的夹角，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，将异面直线的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键19（12分）已知椭圆的方程为，点P的坐标为（2，1），求过点P且与椭圆相切的直线方程【分析】设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，转化求解即可已知
21、椭圆的方程为，点P的坐标为（2，1），求过点P且与椭圆相切的直线方程【解答】解：椭圆的方程为，可得2x2，点P的坐标为（2，1），过点P且与椭圆相切的直线方程之一是x2，另一条切线为：y1k（x2）由：可得：（3+4k2）x2（16k28k）x+16k216k80，（16k28k）24（3+4k2）（16k216k8）0，解得k过点P且与椭圆相切的直线方程：x+2y40或x2【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知抛物线C：y24x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点（1）若m1
22、，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；（2）是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先将直线AB的方程写出来为yx1，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理与弦长公式计算|AB|的值，并求出线段AB的中点到准线的距离，证明该距离等于|AB|的一半，即可证明结论成立；（2）设直线AB的方程为xty+m，并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），列出韦达定理，结合弦长公式得出的表达式，根据表达式为定值得出m的值，从而可求出定点M的坐标【解答】解：（1）当m1时，且直线l的斜率为1时，直线l的方
23、程为yx1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，x26x+10，由韦达定理可得x1+x26，x1x21，由弦长公式可得，线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线x1的距离为4，因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；（2）设直线l的方程为xty+m，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入抛物线方程并化简得y24ty4m0，由韦达定理可得y1+y24t，y1y24m，同理可得，所以，为定值，所以，即m2时，恒为定值此时，定点M的坐标为（2，0）【点评】本题考查直线与抛物线的综合，灵活利用韦达定理求解，是解
24、本题的关键，属于中等题21（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（2）若PA2，求二面角EAFC的余弦值【分析】（1）判断垂直证明AEBCPAAE推出AE平面PAD，然后证明AEPD（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量通过向量的数量积求解二面角的余弦值【解答】解：（1）垂直证明：由四边形ABCD为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形因为E为BC
25、的中点，所以AEBC又BCAD，因此AEAD因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD，又PD平面PAD，所以AEPD（6分）（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），所以，设平面AEF的一个法向量为，则，因此，取z11，则（9分）因为BDAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC，故为平面AFC的一个法向量又，所以（11分）因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为（12分）【
26、点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22（12分）在平面直角坐标系xOy中，定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设点M（x0，y0）是轨迹C上一点，从原点O向圆作两条切线分别与轨迹C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1、k2求证：；求|OP|OQ|的最大值【分析】（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），根据，可得x1x，y13y，再根据|AB|3，即可求出轨迹方程，（2）因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆R相切，推出k1
27、，k2是方程（1+k2）x2（2x0+2ky0）x+x02+y020的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+10，推出y12y22x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ25，即可求出OPOQ的最大值【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），（xx1，y）（x，y1y），xx1x，y（y1y），x1x，y13y，|AB|3，（x）2+（3y）29，即+y21，证明：（2）直线OP：yk
28、1x，OQ：yk2x，与圆相切，直线OP：yk1x与圆M：（xx0）2+（yy0）2联立，可得（1+k12）x2（2x0+2k1y0）x+x02+y020同理（1+k22）x2（2x0+2k2y0）x+x02+y020，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02）k22x0y0k+y020的两个不相等的实数根，k1k2，点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y01，k1k2；（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），4k1k2+10，+10，即y12y22x12x22，P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，y12y22（1）（1）x12x22，整理得x12+x224，y12+y221OP2+OQ25（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ25，综上：OP2+OQ25OPOQ（OP2+OQ2）2.5，OPOQ的最大值为2.5【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用，属于难题