1、2018-2019学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q2（3分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（3分）已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）1Bx00，使得（x0+1）1Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex14（3分）曲线yxex+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切
2、线的倾斜角等于（）ABCD5（3分）若直线1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D56（3分）在等差数列an中，a2+a80，则其前9项和S9的值为（）A2B0C1D27（3分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则a（）A4B3C2D18（3分）在等比数列an中，a17，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1B2C1或2D1或29（3分）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）10（3分）设ABCDA1B1C1D1是边长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则有（）ABCD11（3分）已知函数
3、f（x）kxlnx在（1，+）上为增函数，则k的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，212（3分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（）ABCD二、填空题（将答案填在答题纸上）13（3分）不等式x22x0的解集为 14（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为 15（3分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：2是函数yf（x）的极值点；函数yf（x）在x1处取最小值；函数yf（x）在x0处切线的斜率小于零；函数yf（x）在区间（
4、2，2）上单调递增则正确命题的序号是 16（3分）已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|6，|BF|8，则该双曲线的离心率为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一个动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且线段AB中点是点Q，求直线l的方程18如图所示，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF2AB，M为AF的中点，BNCE（1）求证：CF平面BDM；（2）求二面角MBDN的大小19已知函数f（x）x3+（1a
5、） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE平面PCD；（3）求二面角APDC得到正弦值21已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1（）求椭圆C的方程（）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点对于任意的是否
6、为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N两点（）设直线BD，AD斜率分别为k，t，求kt的值；（ii）求OMN面积的最大值2018-2019学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q【分析】根据命题
7、q是假命题，命题p是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案【解答】解：命题q是假命题，命题p是真命题，“pq”是假命题，即A错误；“pq”是真命题，即B正确；“pq”是假命题，即C错误；“pq”是假命题，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键2（3分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【解答】解：由1x2可得22x4，则由p推得q成立，若2x1可得x0，
8、推不出1x2由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题3（3分）已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）1Bx00，使得（x0+1）1Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex1【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）1，故选：B【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题4（3分）曲线yxex+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线
9、的倾斜角等于（）ABCD【分析】先求导函数，进而可以求切线斜率，从而可求切线的倾斜角【解答】解：由题意yxex+1，yex+xex，当x0时，y1，函数yxex+1（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为：1，在点（0，1）处的切线的倾斜角：，故选：A【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查计算能力5（3分）若直线1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D5【分析】将（1，1）代入直线得：+1，从而a+b（+）（a+b），利用基本不等式求出即可【解答】解：直线1（a0，b0）过点（1，1），+1（a0，b0），所以a+b（+）（a+b）2+2+
10、24，当且仅当即ab2时取等号，a+b最小值是4，故选：C【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+1，得到a+b（+）（a+b）是解题的关键6（3分）在等差数列an中，a2+a80，则其前9项和S9的值为（）A2B0C1D2【分析】等差数列an中，前9项和S9【解答】解：在等差数列an中，a2+a80，其前9项和S90故选：B【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（3分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则a（）A4B3C2D1【分析】利用双曲线的方程求解渐近线方程，即可得到a的值【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得a2故选：C【
11、点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8（3分）在等比数列an中，a17，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1B2C1或2D1或2【分析】当q1时，成立；当q1时，S321，由此能求出q的值【解答】解：在等比数列an中，a17，前3项之和S321，当q1时，成立；当q1时，S321，解得公比q2综上，q的值为1或2故选：C【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（3分）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）【分析】条件：“在R上有两个极值点”，利用
12、导数的意义即导函数有两个零点从而转化为二次函数f（x）0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可【解答】解：由题意，函数，f（x）x2+2ax+2a+3，函数有两个极值点，方程f（x）0必有两个不等根，0，即4a28a120，a1或a3故选：B【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析10（3分）设ABCDA1B1C1D1是边长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则有（）ABCD【分析】利用空间向量数量积公式，结合正方体的结构特征，能求出结果【解答】解：设ABCDA1B1C1D1是边长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，在A 中，a
13、cos45a2，故A正确；在B中，acosB1A1Ca2，故B错误；在C中，a2，故C错误；在D中，acosB1A1C，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查正方体的结构特征、空间向量数量积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是基础题11（3分）已知函数f（x）kxlnx在（1，+）上为增函数，则k的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，2【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立解出即可【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区
14、间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题12（3分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（）ABCD【分析】设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，表示出，根据，可求得a和b的表达式，进而根据由1求得P的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，由可得ax，b3y，x0，y0
15、又（a，b）（x，3y），由1故选：D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征考查了向量的基本运算二、填空题（将答案填在答题纸上）13（3分）不等式x22x0的解集为x|0x2【分析】把原不等式的左边分解因式，再求出不等式的解集来【解答】解：不等式x22x0可化为x（x2）0，解得：0x2；不等式的解集为x|0x2故答案为：x|0x2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题14（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60【分析】求两条异面直线AB1与BC1所成角，只要连结AD1，即可证明AD1BC1
16、，可得D1AB1 为两异面直线所成的角，在三角形D1AB1 中可求解【解答】解：连结AD1，ABCDA1B1C1D1为正方体，ABD1C1 且ABD1C1，四边形ABC1D1 为平行四边形，AD1BC1，则D1AB1 为两异面直线AB1与BC1所成角连结B1D1，正方体的所有面对角线相等，D1AB1 为正三角形，所以D1AB160故答案为60【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，此题是中档题15（3分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：2是函数yf（x）的极值点；函数yf（x）在x
17、1处取最小值；函数yf（x）在x0处切线的斜率小于零；函数yf（x）在区间（2，2）上单调递增则正确命题的序号是【分析】由导数的图象可得x2时导数小于0，f（x）递减，x2，导数大于等于0，f（x）递增，x2处f（x）的导数左负右正，为极小值点，且为最小值点，可判断正确，错误【解答】解：由yf（x）图象可得x2时导数小于0，f（x）递减，x2，导数大于等于0，f（x）递增，x2处f（x）的导数左负右正，为极小值点，且为最小值点，故正确，不正确；f（x）在x0处的导数大于0，可得切线的斜率大于0，故不正确；f（x）在（2，2）处导数大于0，即f（x）在区间（2，2）上单调递增，故正确故答案为：【
18、点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，属于基础题16（3分）已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|6，|BF|8，则该双曲线的离心率为5【分析】在AFB中，由余弦定理可得|BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cosBAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得ABF90，设F为双曲线的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形即可得到a，c，进而求得离心率【解答】解：在AFB中，|AF|6，|BF|8，由余弦定理可得：|BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cos
19、BAF，即有64|AB|2+3612|AB|化为|AB|2|AB|280，解得|AB|10由勾股定理的逆定理，可得ABF90，设F为双曲线的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形结合矩形性质可知，2c10，利用双曲线定义，2a862，所以离心率e5故答案为：5【点评】熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键，考查运算能力，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一个动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且线段
20、AB中点是点Q，求直线l的方程【分析】（1）设动点P（x，y），由动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1，利用两点间距离公式、点到直线的距离公式列出方程，能求出动点P的轨迹E的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22，y1+y22，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y24x4，利用点差法求出斜率k2，由此能求出直线l的方程【解答】解：（1）设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1，1|x+1|，当x1时，y28x，当x1时，y24x4，不成立综上，动点P的轨迹E的方程为y28x，x1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
21、，过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且线段AB中点是点Q，x1+x22，y1+y22，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y24x4，得：，（y1+y2）（y1y2）4（x1x2），k2，直线l的方程为y+12（x1），即2x+y10【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查两点间距离公式、点到直线的距离公式、点差法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题18如图所示，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF2AB，M为AF的中点，BNCE（1）求证：CF平面BDM；（2）求二面角MBDN的大小【分析】（1）连结AC，BD，交于O
22、，连结OM，推导出OMFC，由此能证明CF平面BDM（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MBDN的大小【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于O，连结OM，ABCD是正方形，O是AC中点，M为AF的中点，OMFC，MO平面BDM，FC平面BDM，CF平面BDM解：（2）正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF2AB，M为AF的中点，BNCE以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，设AF2，则M（0，0，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，1，2），设N（a，b，c）
23、，则（a1，b1，c）（，0，2），N（1，1，2），（1，1，0），（0，1，1），（1，0，2），（1，0，2），BNCE，1+40，解得，N（，0，），（，1，），设平面BDM的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面BDN的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），设二面角MBDN的大小为，则cos二面角MBDN的大小为arccos【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19已知函数f（x）x3+（1a） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在
24、原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围【分析】（）先求导数：f（x）3x2+2（1a）xa（a+2），再利用导数求出在x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于a，b等式解之，从而问题解决（）根据题中条件：“函数f（x）在区间（1，1）不单调，”等价于“导函数f（x）在（1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（）由题意得f（x）3x
25、2+2（1a）xa（a+2）又，解得b0，a3或a1（）函数f（x）在区间（1，1）不单调，等价于导函数f（x）是二次函数，在（1，1有实数根但无重根f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）（xa）3x+（a+2），令f（x）0得两根分别为xa与x若a即a时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a时有a（1，1）或者（1，1）解得a（5，1）且a综上得参数a的取值范围是（5，）（，1）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABA
26、D，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE平面PCD；（3）求二面角APDC得到正弦值【分析】（1）由线面垂直得PAPB，又ABAD，从而AB平面PAD，进而APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小（2）由线面垂直得CDPA，由条件CDPC，得CD面PAC，由等腰三角形得AEPC，由此能证明AE平面PCD（3）过点E作EMPD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD，由此得AME是二面角APDC的平面角，由此能求出二面角APDC得到正弦值【解答】（1）解：在四棱锥PABCD中，PA底面AB
27、CD，AB平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，APB是PB与平面PAD所成的角，在RtPAB中，ABPA，APB45，PB和平面PAD所成的角的大小为45（2）证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，由条件ACCD，PA底面ABCD，利用三垂线定理得CDPC，PAACA，CD面PAC，又AE面PAC，AECD，由PAABBC，ABC60，得ACPA，E是PC的中点，AEPC，又PCCDC，综上，AE平面PCD（3）解：过点E作EMPD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD，AME是二面角APDC的平面角，由已知得CAD30，设
28、ACa，得PAa，AD，PDa，AE，在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，AM，在RtAEM中，sinAME二面角APDC得到正弦值为【点评】本题考查直线和平面所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1（）求椭圆C的方程（）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由【分析】（）利用P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2
29、的最大面积为1，结合a2b2+c2，求出a，c，b可得椭圆的方程（）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可【解答】解：（ I）由题意可知：a+c+1，2cb1，a2b2+c2a22，b21，c21所求椭圆的方程为：（4分）（ II）设直线l的方程为：yk（x1）A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x24k2x+2（k21）0则对于任意的为定值【点评】本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，注意余弦定理、面积公式椭圆的定义以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，转化思想22在平面直角坐标系xOy中，
30、已知椭圆的右焦点，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N两点（）设直线BD，AD斜率分别为k，t，求kt的值；（ii）求OMN面积的最大值【分析】（1）根据条件建立方程组求出a，b的值即可（2）设出A，B的坐标，利用直线的斜率公式以及基本不等式进行求解即可【解答】解：（1）椭圆的右焦点，点在椭圆上，解得a24，b21，则椭圆方程为+y21（2）（）设A（x1，y1），（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1），kt（ii）直线AB的斜率kAB，又ABAD，故直线AD的斜率t，由题意知x1x2，所以k，直线BD的方程为y+y1（x+x1），令y0，得x3x1，即M（3x1，0），令x0，得yy1，即N（0，y1），可得OMN的面积S|x1|y1|x1|y1|，|x1|y1|2|y1|+y21当且仅当|y1|时等号成立，此时S|x1|y1|，即OMN面积的最大值是【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆位置关系的应用，考查学生的运算和转化能力