1、2018-2019学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q2（5分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）1Bx00，使得（x0+1）1Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex14（5分）若x0，则函数（）A
2、有最大值4B有最小值4C有最大值2D有最小值25（5分）曲线yxex+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的倾斜角等于（）ABCD6（5分）若直线1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D57（5分）在等差数列an中，a2+a80，则其前9项和S9的值为（）A2B0C1D28（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则a（）A4B3C2D19（5分）在等比数列an中，a17，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1B2C1或2D1或210（5分）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）
3、11（5分）已知函数f（x）kxlnx在（1，+）上为增函数，则k的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，212（5分）已知定点F1（2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）不等式x22x0的解集为 14（5分）在等比数列an中，an0且a1+a21，a3+a49，则a5+a6 15（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：2是函数yf（x）的极值点；函数yf（
4、x）在x1处取最小值；函数yf（x）在x0处切线的斜率小于零；函数yf（x）在区间（2，2）上单调递增则正确命题的序号是 16（5分）已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|6，|BF|8，则该双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一个动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且线段AB中点是点Q，求直线l的方程18将长为72cm的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成
5、一个容积最大的容器，则此四棱柱的高应该是 cm19已知函数f（x）x3+（1a） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围20已知椭圆，点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点（1）求椭圆C的离心率；（2）对于任意的kR，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由21已知椭圆的上顶点M与左右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F2AB面积的最大值22
6、已知函数f（x）x2+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若x1，+）时，恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q【分析】根据命题q是假命题，命题p是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案【解答】解：命题q是假命题，命题p是真命题，“pq”是假命题，即A错误；
7、“pq”是真命题，即B正确；“pq”是假命题，即C错误；“pq”是假命题，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键2（5分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【解答】解：由1x2可得22x4，则由p推得q成立，若2x1可得x0，推不出1x2由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题3（5分）已知命题
8、p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）1Bx00，使得（x0+1）1Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex1【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）1，故选：B【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题4（5分）若x0，则函数（）A有最大值4B有最小值4C有最大值2D有最小值2【分析】由基本不等式可得，函数，即可判断【解答】解：x0，则由基本不等式可得，函数4，当且仅当x即x2时取得最小值4，故选：B【点评】本题主要考查了理基本不等式求解
9、函数的最值，属于基础试题5（5分）曲线yxex+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的倾斜角等于（）ABCD【分析】先求导函数，进而可以求切线斜率，从而可求切线的倾斜角【解答】解：由题意yxex+1，yex+xex，当x0时，y1，函数yxex+1（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为：1，在点（0，1）处的切线的倾斜角：，故选：A【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查计算能力6（5分）若直线1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D5【分析】将（1，1）代入直线得：+1，从而a+b（+）（a+b），利用基本不等式求出即可【解
10、答】解：直线1（a0，b0）过点（1，1），+1（a0，b0），所以a+b（+）（a+b）2+2+24，当且仅当即ab2时取等号，a+b最小值是4，故选：C【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+1，得到a+b（+）（a+b）是解题的关键7（5分）在等差数列an中，a2+a80，则其前9项和S9的值为（）A2B0C1D2【分析】等差数列an中，前9项和S9【解答】解：在等差数列an中，a2+a80，其前9项和S90故选：B【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则a（）A4B3C2D1【分析】利用
11、双曲线的方程求解渐近线方程，即可得到a的值【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得a2故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查9（5分）在等比数列an中，a17，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1B2C1或2D1或2【分析】当q1时，成立；当q1时，S321，由此能求出q的值【解答】解：在等比数列an中，a17，前3项之和S321，当q1时，成立；当q1时，S321，解得公比q2综上，q的值为1或2故选：C【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（1
12、，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）【分析】条件：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义即导函数有两个零点从而转化为二次函数f（x）0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可【解答】解：由题意，函数，f（x）x2+2ax+2a+3，函数有两个极值点，方程f（x）0必有两个不等根，0，即4a28a120，a1或a3故选：B【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析11（5分）已知函数f（x）kxlnx在（1，+）上为增函数，则k的取值范围是（）A1，+）B2，+）C（，1D（，2【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x
13、）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立解出即可【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题12（5分）已知定点F1（2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【分析】由N是圆O：x2+y21上任意一点，可得ON1，且
14、N为MF1的中点可求MF2，结合已知由垂直平分线的性质可得PMPF1，从而可得|PF2PF1|PF2PM|MF22为定值，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线【解答】解：连接ON，由题意可得ON1，且N为MF1的中点MF22点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PMPF1|PF2PF1|PF2PM|MF22F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线故选：B【点评】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON1，结合N为MF1的中点，由三角形中位
15、线的性质可得MF22，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF2PF1|PF2PM|MF22F1F2，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）不等式x22x0的解集为x|0x2【分析】把原不等式的左边分解因式，再求出不等式的解集来【解答】解：不等式x22x0可化为x（x2）0，解得：0x2；不等式的解集为x|0x2故答案为：x|0x2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题14（5分）在等比数列an中，an0且a1+a21，a3+a49，
16、则a5+a681【分析】由等比数列的定义和性质可得，a1+a2 、a3+a4、a5+a6成等比数列，再由a1+a21，a3+a49，求得a5+a6的值【解答】解：根据等比数列的定义和性质可得，每2项的和任然成等比数列，a1+a21，a3+a49，则a5+a69982，故答案为 81【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质可得，每2项的和任然成等比数列，即 a1+a2 、a3+a4、a5+a6成等比数列，属于中档题15（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：2是函数yf（x）的极值点；函数yf（x）在x1处取最小值；函数yf（x）在x0处切线的斜率小于零；函数yf（x
17、）在区间（2，2）上单调递增则正确命题的序号是【分析】由导数的图象可得x2时导数小于0，f（x）递减，x2，导数大于等于0，f（x）递增，x2处f（x）的导数左负右正，为极小值点，且为最小值点，可判断正确，错误【解答】解：由yf（x）图象可得x2时导数小于0，f（x）递减，x2，导数大于等于0，f（x）递增，x2处f（x）的导数左负右正，为极小值点，且为最小值点，故正确，不正确；f（x）在x0处的导数大于0，可得切线的斜率大于0，故不正确；f（x）在（2，2）处导数大于0，即f（x）在区间（2，2）上单调递增，故正确故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调性和极值、最值，考查数
18、形结合思想方法，属于基础题16（5分）已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|6，|BF|8，则该双曲线的离心率为5【分析】在AFB中，由余弦定理可得|BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cosBAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得ABF90，设F为双曲线的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形即可得到a，c，进而求得离心率【解答】解：在AFB中，|AF|6，|BF|8，由余弦定理可得：|BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cosBAF，即有64|AB|2+3612|AB|化为|AB|2|AB|
19、280，解得|AB|10由勾股定理的逆定理，可得ABF90，设F为双曲线的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形结合矩形性质可知，2c10，利用双曲线定义，2a862，所以离心率e5故答案为：5【点评】熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一个动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且线段AB中点是点Q，求直线l的方程【分析】（
20、1）设动点P（x，y），由动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1，利用两点间距离公式、点到直线的距离公式列出方程，能求出动点P的轨迹E的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22，y1+y22，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y24x4，利用点差法求出斜率k2，由此能求出直线l的方程【解答】解：（1）设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比到直线x1的距离多1，1|x+1|，当x1时，y28x，当x1时，y24x4，不成立综上，动点P的轨迹E的方程为y28x，x1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点Q（1，1）的直线l与曲线E交于A
21、，B两点，且线段AB中点是点Q，x1+x22，y1+y22，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y24x4，得：，（y1+y2）（y1y2）4（x1x2），k2，直线l的方程为y+12（x1），即2x+y10【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查两点间距离公式、点到直线的距离公式、点差法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题18将长为72cm的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则此四棱柱的高应该是6cm【分析】设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（728x）182x，表示出体积，求导数，即可求出此四
22、棱柱的高【解答】解：设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（728x）182x，体积VShx2（182x）2x3+18x2，求导，得：V6x2+36x6x（x6），当0x6时，V是递增的，当x6时，V递减，则x6cm，182x6cm时，V的最大值是V216cm3，故答案为：6【点评】本题考查四棱柱的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查导数应用，是中档题19已知函数f（x）x3+（1a） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的
23、取值范围【分析】（）先求导数：f（x）3x2+2（1a）xa（a+2），再利用导数求出在x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于a，b等式解之，从而问题解决（）根据题中条件：“函数f（x）在区间（1，1）不单调，”等价于“导函数f（x）在（1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（）由题意得f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）又，解得b0，a3或a1（）函数f（x）在区间（1，1）不
24、单调，等价于导函数f（x）是二次函数，在（1，1有实数根但无重根f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）（xa）3x+（a+2），令f（x）0得两根分别为xa与x若a即a时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a时有a（1，1）或者（1，1）解得a（5，1）且a综上得参数a的取值范围是（5，）（，1）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题20已知椭圆，点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点（1）求椭圆C的离心率；（2）对于任意的kR，是否为定值？若是，
25、求出这个定值；若不是，说明理由【分析】（1）从椭圆C的方程中得出c和a的值，即可得出椭圆的离心率；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），写出直线l的方程ykxk，将直线l的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，然后利用向量的数量积的坐标运算，并代入韦达定理，通过计算可得出为定值【解答】解：（1）椭圆C的焦距为2，所以，椭圆C的离心率为；（2）椭圆C的右焦点为F2（1，0），则直线l的方程为ykxk，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（2k2+1）x24k2x+2（k21）0，由韦达定理可得，同理可得，所以，（kx1k）（kx2k）（定值）【点
26、评】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理法在椭圆综合中的应用，同时考查了计算与化简变形能力，属于中等题21已知椭圆的上顶点M与左右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F2AB面积的最大值【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，然后求解椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解三角形的面积，转化求解表达式的最值即可【解答】解：（1）椭圆的上顶点M与左右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，bc，e，a2b2+c2，a2，b，c1，椭圆方程为+1，（2
27、）过点F1的直线l的方程为xmy1，联立方程组，消x可得（3m2+4）y26my90，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2，y1y2，|y1y2|F2AB面积S|F1F2|y1y2|令t，则t1，S，由于y3t+，t1y30恒成立，y3t+在1，+）为增函数，ymin3+14，当t1时，即m0时取等号Smax3，故F2AB面积的最大值为3【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，注意韦达定理、换元法、函数单调性的合理运用属于中档题22已知函数f（x）x2+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若x1，+）时，恒成立，求实数a的取值范围【分
28、析】（1）代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设g（x）f（x）（3），求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最值，求出a的范围即可【解答】解：（1）由题意得：函数的定义域是（0，+），a2时，f（x），由f（x）0，解得：0x1，故f（x）在（0，1）递减；（2）设g（x）f（x）（3）x2+alnx+3，则g（1）0，g（x），当a0时，x（1，+）时，g（x）0，g（x）在（1，+）递增，g（x）g（1）0恒成立，当a0时，设h（x）2x3+ax2，h（1）a0，x01，使得x（1，x0）时，h（x）0，故g（x）0，g（x）在1，x0递减，故g（x0）g（1）0，与条件矛盾，故a的范围是0，+）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题