1、2018-2019学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项是正确的）1（5分）已知命题p“xN，x20”，则p为（）AxN，x20BxN，x20CxN，x20DxN，x202（5分）已知ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2Ca3b3Da+b23（5分）数列an是公差为d（dN+），首项为1的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d不可能是（）A5B4C3D24（5分）已知实数x，y满足，则zxy的最小值为（）A1B1C3D5（5分）已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是（）A（
2、2，3）B（，2）（3，+）C（）D（，）（，+）6（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为（）A2+2BC22D17（5分）双曲线C：1（a0，b0）的右焦点F是圆x2+y24x+30的圆心，且C的渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程为（）Ax2y21B1Cy21Dx218（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD9（5分）已知等比数列an前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A若a30，则a20150B若a40，则a20140C若a30，则S
3、20150D若a40，则S2014010（5分）给出以下命题：（1）已知（2，1，3），（1，2，1），若（），则2；（2）对任意xR，不等式ax2+ax+10恒成立，则0a4；（3）0t1是曲线1表示椭圆的充要条件；（4）在ABC中，若AB，则sinAsinB；则其中正确命题的个数为（）A0B1C2D311（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形12（5分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与
4、C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，1），则坐标原点O到平面ABC的距离为 14（5分）如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A、B两处岛屿的距离为 海里15（5分）定义：”为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若已知正整数列an前n项的“均倒数”为，又bn，则+ 16（5分）已知数列an中，a1
5、2，n（an+1an）an+1，nN*，若对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1恒成立，则实数t的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知全集UR，非空集合（1）当a时，求（UB）A；（2）命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（12分）已知正项数列an中，a11，点（，an+1），（nN+）在函数yx2+1的图象上，数列bn的前n项和Sn2bn；（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn19（12分）如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
6、b，c，ab（sinC+cosC）（1）求角B的大小；（2）若A，D为ABC外一点，DB2，DC1，求四边形ABCD面积的最大值20（12分）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M为棱PC上的动点，且（0，1）（）求证：BCPC；（）试确定的值，使得二面角PADM的平面角余弦值为21（12分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元
7、的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由2018-2019学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项是正确的）1（5分）已知命题p“xN，x20”，则p为（）AxN，x20BxN，x20C
8、xN，x20DxN，x20【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p“xN，x20”，则p为：xN，x20故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5分）已知ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2Ca3b3Da+b2【分析】不等式的性质的运用【解答】解：已知ab，当a0，b0时，A不正确，若|a|b|时，B不正确，a，b为异号时，D不正确，a3b3，所以C正确，故选：C【点评】考查不等式的性质，基础题3（5分）数列an是公差为d（dN+），首项为1的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d不可能是（）A5B4
9、C3D2【分析】设81是数列an的第k项，根据等差数列的通项公式得80是公差d的整数倍即可得到结论【解答】解：依题意，设81是数列an的第k项，kN*，则1+（k1）d81，k1，即80是d的整数倍，故d不可能为3，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和推理能力，属于基础题4（5分）已知实数x，y满足，则zxy的最小值为（）A1B1C3D【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由zxy得yxz，利用平移求出z最大值即可【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）由zxy得yxz，平移直线yxz，由，解得A（1，2）由平移可知当
10、直线yxz，当直线和经过A时，直线yxz的截距最大，此时z取得最小值为1，即zxy的最小值是1故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法5（5分）已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是（）A（2，3）B（，2）（3，+）C（）D（，）（，+）【分析】先根据不等式ax2bx10的解集是，判断a0，从而求出a，b值，代入不等式x2bxa0，从而求解【解答】解：不等式ax2bx10的解集是，a0，方程ax2bx10的两个根为，a6，b5，x2bxa0，x25x+60，（x2）（x3）0，不等式的解集为
11、：2x3故选：A【点评】此题主要考查不等式和方程的关系，主要考查一元二次不等式的解法6（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为（）A2+2BC22D1【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：b2，B，C，由正弦定理得：c2，A，sinAsin（+）cos，则SABCbcsinA22+1故选：B【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（5分）双曲线C：1（a0，b
12、0）的右焦点F是圆x2+y24x+30的圆心，且C的渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程为（）Ax2y21B1Cy21Dx21【分析】求得圆C的圆心和半径，可得c2，即a2+b24，求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：dr，解得b1，a，即可得到双曲线的方程【解答】解：圆C：x2+y24x+30的圆心为（2，0），半径为1，即有F（2，0），即c2，即a2+b24，双曲线的渐近线方程为yx，由直线和圆相切的条件，可得：1，解得b1，a，可得双曲线的标准方程为：y21故选：C【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：dr，同时考查双曲线的渐近线方程的运用，属于中
13、档题8（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是ANO，BCCACC1，设BCCACC12，CO1，AO，AN，MB，在ANO中，由余弦定理可得：cosANO故选：C【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关
14、键，同时考查余弦定理的应用9（5分）已知等比数列an前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A若a30，则a20150B若a40，则a20140C若a30，则S20150D若a40，则S20140【分析】运用等比数列的通项公式和求和公式，注意公比为1的情况，即可判断正确结论【解答】解：若a30，则a1q20，即a10，a20150；若q1，则S20152015a10；若q1，则S2015，由1q和1q2015同号，可得S20150；由a40，可得a2014a1q20130；a40，不能判断S2014的符号，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意讨论公比是否为1，以及等比
15、数列中奇数项和偶数项的符号的特点，属于基础题10（5分）给出以下命题：（1）已知（2，1，3），（1，2，1），若（），则2；（2）对任意xR，不等式ax2+ax+10恒成立，则0a4；（3）0t1是曲线1表示椭圆的充要条件；（4）在ABC中，若AB，则sinAsinB；则其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【分析】（1）根据空间向量垂直的等价条件进行计算（2）根据不等式恒成立的等价条件进行判断（3）根据椭圆的定义和方程性质进行判断（4）根据正弦定理以及大角对大边进行判断【解答】解：（1）（2，1，3）（1，2，1）（2+，12，3），若（），则（）0，则2（2+）+（12）+3（3）0，
16、即714，得2，故（1）正确，（2）当a0时，不等式等价为10恒成立，当a0，则满足，得0a4，综上0a4，故（2）错误，（3）若曲线1表示椭圆，则，得，得0t或t1，故（3）错误，（4）在ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，故（4）正确故正确的是（1）（4），故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大11（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】三角形ABC中，利用正弦定理化简a2tanBb2t
17、anA，再利用二倍角的正弦即可得到sin2Asin2B，从而得到：AB或A+B，问题即可解决【解答】解：三角形ABC中，a2tanBb2tanA，由正弦定理，得：，sinAsinB0，所以sin2Asin2B，又A、B为三角形中的角，2A2B或2A2B，AB或A+B，则ABC的形状是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式，属于中档题12（5分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10【分
18、析】方法一：根据题意可判断当A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可方法二：设直线l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为 +，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：方法一：如图，l1l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，由图象知要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为yx1，联立方程组，则y24y40，y1+y24，y1y24，|DE|y1y2|8，|AB|+|DE|的最小值为2|DE|16，方法二：设直
19、线l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为 +，根据焦点弦长公式可得|AB|DE|AB|+|DE|+，0sin221，当45时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，1），则坐标原点O到平面ABC的距离为【分析】本题求空间中点到面的距离可用法向量法来解决，先设平面ABC的法向量（1，x，y），然后根据，算出法向量（1，1），再根据点到面的距离公式d
20、即可得出结果【解答】解：根据题意，（1，2，2），（1，4，1），设平面ABC的法向量（1，x，y），则，即，解得（1，1）又（2，2，0），原点O到平面ABC的距离d故答案为：【点评】本题主要考查了运用法向量法来解决求空间中点到面的距离的问题，考查了方程组的计算能力本题属中档题14（5分）如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A、B两处岛屿的距离为20海里【分析】分别在ACD和BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在ABD中利用余弦定理计算AB【解
21、答】解：连接AB，由题意可知CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，CAD45，ADB60，在ACD中，由正弦定理得，AD20，在RtBCD中，BDC45，BCD90，BDCD40在ABD中，由余弦定理得AB20故答案为：【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题15（5分）定义：”为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若已知正整数列an前n项的“均倒数”为，又bn，则+【分析】由“均倒数”的定义可得a1+a2+an2n2+n，由数列的递推式可得an，bn，再由裂项相消求和可得所求和【解答】解：已知正整数列an前n项的“均倒数”
22、为，可得，可得a1+a2+an2n2+n，当n1时，a13，n2时，an2n2+n2（n1）2（n1）4n1，对n1也成立，可得an4n1，nN*，bnn，则+1+1故答案为：【点评】本题考查新定义“均倒数”的理解和应用，考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题16（5分）已知数列an中，a12，n（an+1an）an+1，nN*，若对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1恒成立，则实数t的取值范围为（，22，+）【分析】由题意可得，运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得2t2+at40，设f（a）2t2+at4，a2，2，运用一次函函数的性质，
23、可得t的不等式，解不等式即可得到所求t的范围【解答】解：根据题意，数列an中，n（an+1an）an+1，即nan+1（n+1）an1，则有，则有（）+（）+（a1）+a1（）+（）+（1）+233，对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1即32t2+at1恒成立，2t2+at13，化为2t2+at40，设f（a）2t2+at4，a2，2，可得f（2）0且f（2）0，即有，即，可得t2或t2，则实数t的取值范围是（，22，+）故答案为：（，22，+）【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（an+1an）an+1的变形三、
24、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知全集UR，非空集合（1）当a时，求（UB）A；（2）命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】（1）代入a的值，求出集合A，B，求出（UB）A即可；（2）根据 集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）当a时，Ax|2x3，Bx|x，故（UB）Ax|x或x2；（2）Ax|2x3，Bx|（xa）（xa22）0x|axa2+2，a2+2a+0，推出a2+2a，q是p的必要不充分条件，AB，故a（，11，2【点评】本题考查了集合的包含关系，考查转化思
25、想，是一道常规题18（12分）已知正项数列an中，a11，点（，an+1），（nN+）在函数yx2+1的图象上，数列bn的前n项和Sn2bn；（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）利用“点（，an+1），（nN+）在函数yx2+1的图象上”代入求解即可得出数列an为等差数列进而求出其通项公式；而bn则利用；（2）由（1）可得，再利用错位相减法即可求出Tn【解答】解：（1）点（）在函数yx2+1的图象上，an+1an+1，即an+1an1；数列an是以1为首项，1为公差的等差数列；ann，（nN*）；当n1时，b1S12b1，b11；当n2时，bn
26、SnSn1（2bn）（2bn1）bn1bn；数列bn是以1为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知；Tnc1+c2+c3+cn120+221+n2n1；得：（1n）2n1；【点评】本题考查了利用错位相减法求前n项和，考查了学生的分析能力，计算能力；属于中档题19（12分）如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab（sinC+cosC）（1）求角B的大小；（2）若A，D为ABC外一点，DB2，DC1，求四边形ABCD面积的最大值【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosBsinCsinBsinC，结合sinC0，可求tanB1，根据
27、范围B（0，），可求B的值（2）由余弦定理可得BC254cosD，由ABC为等腰直角三角形，可求，SBDCsinD，由三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值【解答】解：（1）在ABC中，ab（sinC+cosC）有sinAsinB（sinC+cosC），sin（B+C）sinB（sinC+cosC），cosBsinCsinBsinC，sinC0，则cosBsinB，即tanB1，B（0，），则（2）在BCD中，BD2，DC1，BC212+22212cosD54cosD，又，则ABC为等腰直角三角形，又，当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为【点评】本题主要考查了正弦
28、定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题20（12分）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M为棱PC上的动点，且（0，1）（）求证：BCPC；（）试确定的值，使得二面角PADM的平面角余弦值为【分析】（）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BCPC（）设M（a，b，c），由可得点M的坐标为（，0，），求出平面AMD的法向量和平面PA
29、D的法向量，由此利用向量法能求出结果【解答】解：（）取AD中点O，连结OP，OC，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，2，0），（0，2，0），（，0，），0，CBCP（）由可得点M的坐标为（，0，），（，1，），（，），平面AMD的法向量（x，y，z），则令z，得（1，0，），由题意平面PAD的法向量（1，0，0），二面角PADM的平面角余弦值为|cos，|，由0，1），解得【点评】本题考查空
30、间线面关系、二面角PADM的平面角余弦值等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，正确运用向量法是关键21（12分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）
31、由题意知，y（4+）px6（p+），将p代入化简得：y19x（0xa）；（）y22（+x+2）22310，当且仅当x+2，即x2时，上式取等号；当a2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y19x，y，a2时，函数在0，a上单调递增，xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）经过点（，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为，若动点P满足+2，试探究，是否存在
32、两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）由，得xx1+2x2，yy1+2y2，由M，N都在椭圆1上，设，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标【解答】解：（）椭圆C：+1（ab0）经过点（，1），且离心率为，解得a2，b，椭圆C的方程为1（）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得xx1+2x2，yy1+2y2，M，N都在椭圆1上，（）（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）20+4（x1x2+2y1y2），设，x1x2+2y1y20，x2+2y220，点P是椭圆上的点，由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|24为定值，又|F1F2|22，F1，F2的坐标分别为F1（，0），F2（，0）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用