1、2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）如果1ab0，则有（）Ab2a2Ba2b2Cb2a2Da2b22（5分）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立3（5分）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2B1CD4（5分）若f（x）是可导函数，则“f（x）0，xD”是“xD内f（x）单调递增”的（
2、）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+Bysinx+（0）Cyex+2Dy6（5分）方程1表示双曲线则m的取值范围是（）Am1Bm3或m2Cm4Dm4或m17（5分）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（）ABC8D108（5分）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（）ABCD9（5分）已知等差数列an的前n项和为Snn2+k+，则f（x）x3kx22x+1的极大值为（）AB3CD210（5分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
3、以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D2011（5分）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，若n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D2612（5分）函数f（x）是定义在区间（0，+）上可导函数，其导函数为f（x）且满足xf（x）+2f（x）0，则不等式的解集为（）Ax|x2014Bx|2019x2014Cx|0x2014Dx|x2014二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），
4、则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是 14（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则an 15（5分）已知函数f（x）x3+3mx2+nx+m2在x1时有极值0，则m+n 16（5分）已知椭圆：l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围
5、18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：19（12分）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程20（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品
6、每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价21（12分）已知函数f（x）lnx，g（x）x+m（1）若f（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是函数F（x）f（x）g（x）的两个零点，且x1x2，求证：x1x2122（12分）如图，已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为
7、，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（）求椭圆E的方程；（）求证：点M在直线l上；（）是否存在实数k，使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）如果1ab0，则有（）Ab2a2Ba2b2Cb2a2Da2b2【分析】取a，b，分别计算出
8、，b2，a2，由此能够判断出，b2，a2的大小【解答】解：取a，b，分别计算出32，b2a2由此能够判断出，b2，a2的大小故选：A【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要合理地选取特殊值，能够有效地简化运算2（5分）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则p：a0，有ea1成立，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2
9、B1CD【分析】利用等比数列的通项公式列出方程能求出首项【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，（）（）64，解得a1故选：C【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）若f（x）是可导函数，则“f（x）0，xD”是“xD内f（x）单调递增”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合导数与函数单调性的关系进行判断即可【解答】解：f（x）0，xDxD内f（x）单调递增，xD内f（x）单调递增f（x）0，xD；f（x）0，xD是xD内f（x）
10、单调递增的充分但不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据导数与函数单调性的关系是解决本题的关键5（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+Bysinx+（0）Cyex+2Dy【分析】直接利用排除法和基本不等式的应用和函数的性质的应用求出结果【解答】解：对于选项A、当x0时，yx+，当x0时，yx+2，故错误对于选项B、由于：，函数的最小值取不到2，当x时，函数的最小值为2，故错误对于选项D函数的关系式转换为：y，故错误故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型6（5分）方程
11、1表示双曲线则m的取值范围是（）Am1Bm3或m2Cm4Dm4或m1【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，列出不等式1就即可【解答】解：若方程1表示双曲线，则（2+m）（m3）0m2或m3，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题7（5分）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（）ABC8D10【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z（x+3）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，只需求出（3，0）到可行域的距离的最小值即可【解答】解：根据约束条件画出可行域z（x+3）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，当点B（0，1）时，距离最小，
12、即最小距离为 则（x+2）2+y2的最小值是 10故选：D【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化8（5分）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（）ABCD【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行转化即可【解答】解：在等差数列中，故选：B【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n项和公式以及性质是解决本题的关键9（5分）已知等差数列an的前n项和
13、为Snn2+k+，则f（x）x3kx22x+1的极大值为（）AB3CD2【分析】根据等差数列的性质求出k的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数的单调性求出f（x）的极大值即可【解答】解：根据等差数列an的前n项和为Snn2+k+，得到k，f（x）x3+x22x+1，f（x）3x2+2x2（3x2）（x+1），令f（x）0，解得：x或x1，令f（x）0，解得：1x，故f（x）在（，1）递增，在（1，）递减，在（，+）递增，故f（x）的极大值是f（1）故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查等差数列的性质，是一道中档题10（5分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x
14、1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D20【分析】可得点O1到C的准线l的距离为5，又点O1到C的准线l的距离为，可得x1+x28，故r（x1+x2）40【解答】解：由抛物线的性质知，点O1到C的准线l的距离为，依题意得r225r5，又点O1到C的准线l的距离为，则有x1+x28，故r（x1+x2）40故选：A【点评】考查了抛物线的定义与简单几何性质，属于中档题11（5分）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，若n，mN*，n
15、m，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D26【分析】由条件可得1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值【解答】解：（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，即为（3n5）an+1（3n2）an（3n5）（3n2），可得1，设bn，即bn+1bn1，可得bn是4为首项、1为公差的等差数列，可得bn4（n1）5n，即an（3n5）（5n），可得an：8，3，8，7，0，13，32，57，88，（n5，各项递减，且为负的），由n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（8+3+8+7+0）（8）18故选：C【点评】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考
16、查数列的前n项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题12（5分）函数f（x）是定义在区间（0，+）上可导函数，其导函数为f（x）且满足xf（x）+2f（x）0，则不等式的解集为（）Ax|x2014Bx|2019x2014Cx|0x2014Dx|x2014【分析】根据题意，构造函数g（x）x2f（x），对其求导分析可得g（x）在（0，+）上单调递增，原不等式可以转化为g（x+2019）g（5），结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）x2f（x），g（x）x2f（x）+xf（x）；当x0时，2f（x）+xf（x）0，则有g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调
17、递增，（x+2019）2f（x+2019）25f（5）g（x+2019）g（5），又由g（x）在（0，+）上单调递增，则有0x+20195，解可得：2019x2014，即不等式的解集为x|2019x2014；故选：B【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，涉及抽象不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是（1，3）【分析】根据不等式axb0的解集得出a0且ab，把不等式（ax+b）（x3）0化为（x+
18、1）（x3）0，求出解集即可【解答】解：关于x的不等式axb0的解集是（1，+），a0，且ab；关于x的不等式（ax+b）（x3）0可化为（x+1）（x3）0，1x3，所求不等式的解集是（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题14（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则ann【分析】利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解通项公式【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，可知2Sn1nan1，n2，两式作差可得：（n1）annan1，可得是等比数列，首项为1，公比为1的等比数列，所
19、以1，即ann故答案为：n【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力15（5分）已知函数f（x）x3+3mx2+nx+m2在x1时有极值0，则m+n11【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x1有极值0，可以得到f（1）0，f（1）0，代入求解即可【解答】解：f（x）x3+3mx2+nx+m2f（x）3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m1，n3时函数f（x）x3+3x2+3x+1，f（x）3x2+6x+33（x+1）20函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：11【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值f（x0）0反之结论
20、不成立，即函数有f（x0）0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题16（5分）已知椭圆：l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是，1【分析】由椭圆的定义可得解得x，由题意可得aa，解不等式求得离心率e的取值范围【解答】解：设点P的横坐标为x，|PF1|e|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+）ee（x），x，由题意可得aa，11，e1，则该椭圆的离心率e的取值范围是，1），故答案为：，1）【点评】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+）ee（x）是解题的关
21、键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（）由pq为真得p真q真，解一元二次不等式组求出p、q为真的范围，取交集即可；（）由已知得AB，得等价不等式组，解得实数a的取值范围【解答】解：（）x23ax+2a20，（xa）（x2a）0，又a0，ax2a，a2时，2x4，即命题p为真命题时，实数x的取值范围为：2x4，1x3，即命题q为真命题时，实数x的取值范围为：1x3，pq为真，实
22、数x的取值范围为（2，3；（）q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件，设A（a，2a），B（1，3，AB，1a实数a的取值范围为：1，【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意知：，解得a13，d2所以an2n+1（2）由（1），an2n+1，则有则所
23、以Tn，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程【分析】（）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及由2，可得直线AB过定点（2，0）；（）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB的斜率用AB中点的坐标表示，代入直线方程可得弦AB中点M的轨迹方程【解答】解：（）
24、设直线AB的方程为：xmy+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由2，可得x1x2+y1y22，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上可得x1y12，x2y22，由可得y1y22或1（舍去），由可得y2myn0根据韦达定理有y1y2n2，直线AB过定点（2，0）；（）设M（x，y），由，相减可得（y1y2）（y1+y2）x1x2，当x1x2时，（y1+y2）1，又直线AB恒过点（2，0），且y1+y22y，y2x1，当x1x2时，M（2，0）满足上式，故所求的轨迹方程为y2x1【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关的问题
25、，是中档题20（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于
26、原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【分析】（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x25时，不等式ax258+50+（x2600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x258，整理得t265t+1 0000，解得25t40所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意知当x25时，不等式ax258+50+（x2600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解由于+x2 10，当且仅当，即x30
27、时等号成立，所以a10.2当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义21（12分）已知函数f（x）lnx，g（x）x+m（1）若f（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是函数F（x）f（x）g（x）的两个零点，且x1x2，求证：x1x21【分析】（1）令F（x）f（x）g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于m的不等式，解出即可；（2）问题转化为证，根据函数的单调性
28、问题转化为只需证即可【解答】解：（1）令F（x）f（x）g（x）lnxxm（x0），有，当x1时，F（x）0，当0x1时，F（x）0，所以F（x）在（1，+）上单调递减，在（0，1）上单调递增，F（x）在x1处取得最大值，为1m，若f（x）g（x）恒成立，则1m0即m1（2）由（1）可知，若函数F（x）f（x）g（x）有两个零点，则m1，0x11x2要证x1x21，只需证，由于F（x）在（1，+）上单调递减，从而只需证，由F（x1）F（x2）0，mlnx1x1，即证令，有h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）0，所以x1x21【点评】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研
29、究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力22（12分）如图，已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（）求椭圆E的方程；（）求证：点M在直线l上；（）是否存在实数k，使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【分析】（）由椭圆的离心率、焦点坐标及b2a2c2联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（）设出直线AB的方程，和（）中求出的椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系和中点坐标公式求得M坐标，代入直线l：x+4ky0验证即可
30、；（）由（）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，由BDM的面积是ACM面积的3倍推得M为OC中点，联立直线l的方程和椭圆方程后结合根与系数关系求得M坐标，由M的坐标相等列式求得k的值【解答】（）解：由题意可知，于是a2，椭圆的标准方程为；（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立，得，M（），M在直线l上；（）解：由（）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若BDM的面积是ACM面积的3倍，则|DM|3|CM|，|OD|OC|，于是M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则联立，解得于是，解得，【点评】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题