1、2018-2019学年辽宁省辽阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xN，xZ，则p为（）AxN，xZBx0N，x0ZCxN，xZDx0N，x0Z2（5分）在等差数列an中，若a3，a13是方程x220x+50的两个根，则a8（）A10B8C8D103（5分）椭圆点1的离心率为（）ABCD4（5分）不等式0的解集为（）Ax|6x1Bx|x1或x6Cx|6x1Dx|x1或x65（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD6（5分）在三棱柱ABCA1B1
2、C1中，若，则（）A+BCD7（5分）若等比数列an的前n项和为Sn，2a3+a60，则（）A1B1C2D28（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1，1，1）C（1，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，1，2）9（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为（）ABC或D或11（5分）已知x0，y0，且2若4x+y7mm2恒成立，则m的取值范围为（）A（3，4）B（4
3、，3）C（，3）（4，+）D（，4）（3，+）12（5分）设双曲线M：1（a0，b0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（）A+1，+）B1，+）C（1，+1D（1，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13（5分）若x，y满足约束条件，则z2x3y的最小值为 14（5分）命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题是 15（5分）已知F是抛物线x24y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|5，则线段AB的中点到x轴的距离为 16（5分）
4、如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一)必考题：共60分17（12分）设an是公比为正数的等比数列，若a12，且2a2，a3，8成等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求证：数列bn的前n项和Tn118（12分）已知a0，且a1，设p：函数f（x）logax在（0，+）上单调递增；q：函数g（x）x+在（0，+）
5、上的最小值大于4（1）试问p是q的什么条件？为什么？（2）若命题pq为假，命题pq为真，求a的取值范围19（12分）已知过M（3，4）的直线l与抛物线C：y216x交于点A，B（1）若M为弦AB的中点，求直线l的方程；（2）若F为抛物线C的焦点，P为抛物线C上的动点，求|PF|+|PM|的最小值20（12分）如图，菱形ABCD的边长为4，DAB60，矩形BDFE的面积为8，且平面BDFE平面ABCD（1）证明：ACBE；（2）求二面角EAFD的正弦值21（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使
6、l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C以及直线l的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|x1|x+1|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）a23a对xR恒成立，求a的取值范围2018-2019学年辽宁省辽阳
7、市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xN，xZ，则p为（）AxN，xZBx0N，x0ZCxN，xZDx0N，x0Z【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案【解答】解：命题p：xN，xZ，则p为x0N，x0Z，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键2（5分）在等差数列an中，若a3，a13是方程x220x+50的两个根，则a8（）A10B8C8D10【分析】由方程的根
8、与系数关系可求a3+a13，然后结合等差数列的性质可知a8，即可求解【解答】解：等差数列an中，a3，a13是方程x220x+50的两个根，a3+a1320，则a810，故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的性质及方程的根与系数关系的简单应用，属于基础试题3（5分）椭圆点1的离心率为（）ABCD【分析】求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可【解答】解：椭圆点1，可得a，b，c，可得e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力4（5分）不等式0的解集为（）Ax|6x1Bx|x1或x6Cx|6x1Dx|x1或x6【分析】原不等式即0，即，由此求得x的范围
9、【解答】解：不等式0，即0，即，求得6x1，故选：C【点评】本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于基础题5（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD【分析】利用双曲线的离心率以及虚轴长，列出方程组，然后求解双曲线方程即可【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由，得可得故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力6（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，若，则（）A+BCD【分析】利用即可得出【解答】解：故选：B【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）若等比数列an的前
10、n项和为Sn，2a3+a60，则（）A1B1C2D2【分析】先求出q32，再根据等比数列的求和公式即可求出【解答】解：2a3+a60，q32，1+q31，故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1，1，1）C（1，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，1，2）【分析】由直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，得到0，由此能求出结果【解答】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，0，在A中，
11、1146，故A错误；在B中，21+30，故B成立；在C中，211，故C错误；在D中，12+21，故D错误故选：B【点评】本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题9（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先求“方程1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m（2，4）（4，6）”，再由集合A（2，4）（4，6），集合B（2，6）的包含关系得解【解答】解：“方程1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m（2，4）（4，6），设集合A（2，4
12、）（4，6），集合B（2，6），因为AB，所以“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题10（5分）空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为（）ABC或D或【分析】直线l与平面所成的角的正弦值，通过直线与平面的数量积求解即可得出【解答】解：直线l与平面所成的角的正弦值：sin|cos，|则直线AB与平面所成角为：故选：A【点评】本题考查了线面几角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题11（5分）已知x0，y0，且2若4x+y7mm2恒成立，则m的取值范围为（）
13、A（3，4）B（4，3）C（，3）（4，+）D（，4）（3，+）【分析】利用基本不等式的性质求解x+2y的最小值，即可求解恒成立时实数m的取值范围【解答】解：x0，y0，且2，那么：4x+y（4x+y）（）（6+6+）（12+2）12当且仅当y4x时，即x，y6时取等号；要使4x+y7mm2恒成立，即127mm2恒成立，解得：4m或m3；故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用来解恒等式成立的问题属于基本知识的考查12（5分）设双曲线M：1（a0，b0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值
14、范围是（）A+1，+）B1，+）C（1，+1D（1，1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令xc，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（0，t），则1，利用D到直线BC的距离不超过87a，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论【解答】解：记c，由题意可得B（，c），C（，c），由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设D（0，t），则1，则tcc，2cc87a8c7a，7（ca），c2+2ac+a27a2，即e2+2e60，解得1e1+，e1，e（1，1，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算能力，属
15、于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13（5分）若x，y满足约束条件，则z2x3y的最小值为1【分析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z2x3y变形为yx，当此直线经过图中A（1，1）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为21311；故答案为：1【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法14（5分）命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题是当c0时，若acbc，则ab【分析】根据原命题是若P，则Q，它的逆命题是若Q，则P，【解答】解：命题
16、“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题是当c0时，若acbc，则ab，故答案为：当c0时，若acbc，则ab【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题15（5分）已知F是抛物线x24y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|5，则线段AB的中点到x轴的距离为【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离【解答】解：抛物线x24y的焦点F（0，1）准线方程y1，设A（x1，y1），B（x2，y2），|AF|+|BF|y1+1+y2+15，
17、解得y1+y23，线段AB的中点纵坐标为，线段AB的中点到x轴的距离为，故答案为：【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离16（5分）如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，PAPC，ACOP，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，OP平
18、面ABC，又ABBC，ACOB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC是等腰直角三角形，PAPC4，ABC为直角三角形，A（2，0，0），C（2，0，0），P（0，0，2），D（，0），（4，0，0），（，2），cos异面直线AC与PD所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一)必考题：共60分
19、17（12分）设an是公比为正数的等比数列，若a12，且2a2，a3，8成等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求证：数列bn的前n项和Tn1【分析】（1）设等比数列an的公比为q，通过2a2，a3，8成等差数列，求出公比，然后求解an的通项公式（2）求出，利用裂项相消法求解数列的和，即可说明数列bn的前n项和为Tn1【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，2a2，a3，8成等差数列a3a2+4即2q22q+4，（2分）即q2q20，解得q2或q1（舍去），q2（4分）所以an的通项为（nN*） （5分）（2）由上知，（7分）Tnb1+b2+b3+bn（9分）（10分）即数列bn的前n
20、项和为Tn1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力18（12分）已知a0，且a1，设p：函数f（x）logax在（0，+）上单调递增；q：函数g（x）x+在（0，+）上的最小值大于4（1）试问p是q的什么条件？为什么？（2）若命题pq为假，命题pq为真，求a的取值范围【分析】（1）由由对数函数的单调性可得a1，由均值不等式可得，x+2（当且仅当x时取等号），即a4，故得解，（2）由命题pq为假，命题pq为真，则命题p，q一真一假，分p真q假，p假q真时两种情况讨论，列不等式组得解【解答】解：（1）由函数f（x）logax在（0，+）上单调递增，得：a1，当x0
21、时，x+2（当且仅当x时取等号）即24，即a4，故p是q的必要不充分条件，（2）命题pq为假，命题pq为真，则命题p，q一真一假，当p真q假时：，得1a4，当p假q真时有，无解，综上得：a的取值范围（1，4，故答案为：（1，4【点评】本题考查了对数函数的单调性、复合命题的真假及运算能力，属简单题19（12分）已知过M（3，4）的直线l与抛物线C：y216x交于点A，B（1）若M为弦AB的中点，求直线l的方程；（2）若F为抛物线C的焦点，P为抛物线C上的动点，求|PF|+|PM|的最小值【分析】（1）由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求得直
22、线斜率，再由直线方程点斜式求解；（2）过M作准线的垂线，把求|PF|+|PM|的最小值转化为点M到准线l的距离求解【解答】解：（1）由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）则有，两式作差可得：，即，y1+y2248，k则直线l的方程为y4k（x3），即2xy20；（2）记P到抛物线C的准线的距离为d，由抛物线的定义可得|PF|d，于是|PF|+|PM|PM|+d，当直线PM与x轴平行时，|PM|+d最小，故|PF|+|PM|的最小值为3+【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的简单性质，体现了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题20（
23、12分）如图，菱形ABCD的边长为4，DAB60，矩形BDFE的面积为8，且平面BDFE平面ABCD（1）证明：ACBE；（2）求二面角EAFD的正弦值【分析】（1）推导出BEBD，从而BE平面ABCD，由此能证明ACBE（2）设AC，BD的交点为O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAFD的正弦值【解答】证明：（1）四边形BDEF是矩形，BEBD，平面BDEF平面ABCD，且平面BDEF平面ABCDBD，BE平面BDFE，BE平面ABCD，AC平面ABCD，ACBE解：（2）设AC，BD的交点为O，建立空间直角坐标系，菱形ABCD的边长为4，且DAB60，BD4，矩形BDEF的面积
24、为8，BE2，则A（2，0，0），D（0，2，0），E（0，2，2），F（0，2，2），（0，4，0），（2，2，2），（2，2，0），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，），设平面ADF的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设二面角EAFD的平面角为，则cos，sin二面角EAFD的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的
25、直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，转化求解K，即可得到直线方程【解答】解：（1）直线的一般方程为bx+ayab0依题意，解得，故椭圆C的方程式为（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx+2由，得（3+5k2）x2+20kx+50由400k220（3+5k2）0
26、，得记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，而y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，即0，所以0，整理解得或，所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参
27、数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C以及直线l的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：，（2）将参数方程（t为参数），转换为标准参数的形式：（t为参数），代入得到：5t2+4t120（t1和t2为A、B对应的参数），所以：，则：|AB|t1t2|【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标
28、方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|x1|x+1|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）a23a对xR恒成立，求a的取值范围【分析】（1）由绝对值的意义，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（2）由题意可得a23af（x）min，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）f（x）1即为|x1|x+1|1，当x1时，x1x11，即21，可得x；当1x1时，1x（x+1）1，即x，可得1x；当x1时，1x+x+11即21，可得x1综上可得原不等式的解集为（，；（2）f（x）a23a对xR恒成立，可得a23af（x）min，由|x1|x+1|x1x1|2，可得|x1|x+1|的最小值为2，即有a23a2，解得1a2，可得a的范围是（1，2）【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题