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2017-2018学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2017-2018学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知ab,则下列结论正确的是()ABa+cb+cCacbcDa2b22(5分)用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容是()ABC且D或3(5分)一个命题与它的逆命题,否命题,逆否命题这四个命题中()A假命题与真命题的个数相同B真命题的个数是奇数C真命题的个数是偶数D假命题的个数是奇数4(5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线为y3x的是()ABCD5(5分)已知数列an是等比数列,a22,则公比q等于()A

2、2BC2D6(5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a,c2,cosA,则b()ABC2D37(5分)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1D8(5分)如图,空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM2MA,点N为BC的中点,则()A+B+C+D+9(5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D1210(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC等于()AmBmCmDm11(5分)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4号或5号选

3、手得第一名;观众乙猜测:3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是()A甲B乙C丙D丁12(5分)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|F1F2|,则的最小值为()ABC8D6二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)命题p:x0R,则命题p的否定为 14(5分)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC120,AB2,BCCC11

4、,则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为 15(5分)若两个正实数x,y满足1,则x+2y的最小值是 16(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式,且x+y1类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)设命题p:实数x满足x2,或x6,命题q:实数x满足x23ax+2a20(其中a0)()若a2,且pq为真命题,求实数x的取值范围;()若q是p的

5、充分不必要条件,求实数a的取值范围18(12分)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且()若,求b的值;()若ABC的面积为,求ABC的周长19(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ACAB1()证明:ABB1C;()若ABAC1,BC2,CAB190,CBB160,求二面角CABB1的正弦值20(12分)已知等差数列an中,公差d0,S627,且a3,a5,a8成等比数列()求数列an的通项公式;()若数列的前n项和为Tn,则21(12分)某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车,有9名驾驶员,建筑某段高速公路中,此公司承包了每

6、天至少搬运360t沥青的任务,已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次,B型车6次,每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元,B型车252元,每天派出A型车和B型车各多少辆,公司所花的成本费最低?22(12分)设椭圆的左焦点为F1,右顶点为A,离心率为,已知点A是抛物线E:y22px(p0)的焦点,点F1到抛物线准线的距离是()求椭圆C的方程和抛物线E的方程;()若B是抛物线E上的一点且在第一象限,满足|AB|4,直线l交椭圆于M,N两点,且OBMN,当BMN的面积取得最大值时,求直线l的方程2017-2018学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共1

7、2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知ab,则下列结论正确的是()ABa+cb+cCacbcDa2b2【分析】分别用特殊值说明A,C,D不正确,从而只有B正确【解答】解:对于A:a1或b2时,根式无意义;对于B:在一个不等式两边同时加上一个实数,不等式仍成立,故B正确;对于C:c0时不成立;对于D:a1,b2时不成立故选:B【点评】本题考查了不等式的基本性质属基础题2(5分)用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容是()ABC且D或【分析】反证法是假设命题的结论不成立,即结论的反面成立,所以只要考虑的反面是什么即可【解答】解:的

8、反面是,即或故选:D【点评】本题主要考查了不等式证明中的反证法,属于基础题3(5分)一个命题与它的逆命题,否命题,逆否命题这四个命题中()A假命题与真命题的个数相同B真命题的个数是奇数C真命题的个数是偶数D假命题的个数是奇数【分析】根据四种命题及其关系的结论,原命题与它的逆否命题是等价的,即真假相同,且逆命题与它的否命题也是等价关系,真假性相同由此不难得出结论【解答】解:根据四种命题及其关系理论:原命题逆否命题,逆命题否命题;如果原命题是真命题,逆命题是假命题,则真命题共有两个;如果原命题是真命题,逆命题也是真命题,则真命题共有四个;如果原命题是假命题,逆命题也是假命题,则真命题共有0个;故一

9、个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数一定是偶数,故选:C【点评】本题考查四种命题的关系、命题真假的判断,属基本题型的考查在判断命题的真假时,要充分利用“原命题与它的逆否命题真假相同”这一结论4(5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线为y3x的是()ABCD【分析】判断双曲线的焦点坐标所在的轴,求出双曲线的渐近线方程,即可得到选项【解答】解:选项A双曲线的焦点坐标在x轴,不正确;选项B双曲线的焦点坐标在x轴不正确;选项C:双曲线的焦点坐标在y轴,渐近线方程为:y3x,满足题意;正确;选项D双曲线的渐近线方程为:yx,不满足题意,不正确;故选:C【点评】本题考查双曲线的

10、简单性质的应用,是基本知识的考查5(5分)已知数列an是等比数列,a22,则公比q等于()A2BC2D【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解:数列an是等比数列,a22,q3,解得q故选:D【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6(5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a,c2,cosA,则b()ABC2D3【分析】由余弦定理可得cosA,利用已知整理可得3b28b30,从而解得b的值【解答】解:a,c2,cosA,由余弦定理可得:cosA,整理可得:3b28b30,解得:b3或(舍去)故选:D【点评】本题主要考查了余弦定理

11、,一元二次方程的解法在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题7(5分)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1D【分析】根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点F(1,0)由双曲线标准方程,算出它的渐近线方程为yx,化成一般式得:,再用点到直线的距离公式即可算出所求距离【解答】解:抛物线方程为y24x2p4,可得1,抛物线的焦点F(1,0)又双曲线的方程为a21且b23,可得a1且b,双曲线的渐近线方程为y,即yx,化成一般式得:因此,抛物线y24x的焦点到双曲线渐近线的距离为d故选:B【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程,求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的

12、距离,着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题8(5分)如图,空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM2MA,点N为BC的中点,则()A+B+C+D+【分析】由题意,把,三个向量看作是基向量,由图形根据向量的线性运算,将用三个基向量表示出来,即可得到答案,选出正确选项【解答】解:,+,+,+,+,故选:A【点评】本题考点是空间向量基本定理,考查了用向量表示几何的量,向量的线性运算,解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来,本题是向量的基础题9(5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D12【分析

13、】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解:an是公差为1的等差数列,S84S4,8a1+14(4a1+),解得a1则a10+91故选:B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC等于()AmBmCmDm【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案【解答】解:如图,DAB15,tan15tan(4530)2在RtADB中,又AD60,DBA

14、Dtan1560(2)12060在RtADC中,DAC60,AD60,DCADtan6060BCDCDB60(12060)120(1)(m)河流的宽度BC等于120(1)m故选:B【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题11(5分)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是()A甲B乙C丙D丁【分析】本

15、题应用了合情推理【解答】解:假设甲猜对,则乙也猜对了,所以假设不成立;假设乙猜对,则丙、丁中必有一人对,所以假设不成立;假设丙猜对,则乙一定对,假设不成立;假设丁猜对,则甲、乙、丙都错,假设成立,故选:D【点评】本题考查了合情推理,属于易考题型12(5分)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|F1F2|,则的最小值为()ABC8D6【分析】由题意可知:|PF1|F1F2|2c,设椭圆的方程为+1(a1b10),双曲线的方程为1(a20,b20),利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式,通

16、过基本不等式即得结论【解答】解:由题意可知:|PF1|F1F2|2c,设椭圆的方程为+1(a1b10),双曲线的方程为1(a20,b20),又|F1P|+|F2P|2a1,|PF2|F1P|2a2,|F2P|+2c2a1,|F2P|2c2a2,两式相减,可得:a1a22c,则+(+18)(2+18)8当且仅当,即有e23时等号成立,则的最小值为8,故选:C【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)命题p:x0R,则命题p的否定为xR,x2x+10【分析】根据含有量词的命题的否定即可

17、得到结论【解答】解:特称命题的否定是全称命题,所以命题p:x0R,则命题p的否定为:xR,x2x+10故答案为:xR,x2x+10【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础14(5分)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC120,AB2,BCCC11,则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为【分析】以A为原点,在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【解答】解:以A为原点,在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,过B作BDAC,交AC于点D,

18、直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC120,AB2,BCCC11,AC,BD,AD,A(0,0,0),B1(,1),B(,0),C1(0,1),(,1),(,1),设异面直线AB1与BC1所成角为,则cos异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故答案为:【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题15(5分)若两个正实数x,y满足1,则x+2y的最小值是8【分析】根据1可得x+2y(x+2y)(),然后展开,利用基本不等式可求出最值,注意等号成立的条件【解答】解:两个正实数x,y满足1,x+2y

19、(x+2y)()4+4+28,当且仅当时取等号即x4,y2,故x+2y的最小值是8故答案为:8【点评】本题主要考查了基本不等式的应用,解题的关键是“1”的活用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题16(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式,且x+y1类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式,且x+y+z1【分析】利用类比推理、向量共线与向量共面定理及其性质即可得出【解答】解:类比已知结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是

20、:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式为:,且x+y+z1故答案为:,且x+y+z1【点评】本题考查了类比推理、向量共线与向量共面定理及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)设命题p:实数x满足x2,或x6,命题q:实数x满足x23ax+2a20(其中a0)()若a2,且pq为真命题,求实数x的取值范围;()若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围【分析】()把a2代入命题p,可得x的取值范围是x|2x4,再根据pq为真命题,即可求出()q是p的充分不必要条,可得,解

21、得即可【解答】解:()当a2命题q:2x4,命题p:x2或x6p:2x6,又pq为真命题,x满足,2x4,实数x的取值范围x|2x4;()由题意得:命题q:ax2a;q是p的充分不必要条件,2a3,实数a的取值范围a|2a3【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题18(12分)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且()若,求b的值;()若ABC的面积为,求ABC的周长【分析】()由已知及正弦定理可求b的值()利用三角形面积公式可求,由余弦定理可求b+c的值,即可得解三角形的周长【解答】解:()在ABC中,由题意知,由正弦定理得:

22、,(),由余弦定理得:,ABC的周长为【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题19(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ACAB1()证明:ABB1C;()若ABAC1,BC2,CAB190,CBB160,求二面角CABB1的正弦值【分析】()连接BC1,交B1C于点O,连接AO,证明B1CBC1,AOB1C,推出B1C平面ABO然后证明ABB1C()以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz求出平面ABC的一个法向量,平面ABB1一个法向量,利用向量的数量积求解即可【解答】()证明

23、:连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为BC1与B1C的中点,ACAB1,AOB1C,又AOABA,所以B1C平面ABO故ABB1C()解:在ABC1中,ABAC1,AOBC1结合()可知,BC1,CB1,OA三条直线两两垂直,因此,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz在ACB1中,CAB190,ACAB1,又因为O为B1C的中点,所以AOCOB1O因为CBB160,所以CBB1为等边三角形,因为BC2,所以,AOCOB1O1所以A(0,0,1),B1(0,1,0),C(0,1,0),设是平面ABC的一个法向量,则,即,所以可

24、取x1,则同理,平面ABB1一个法向量则,所以【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力20(12分)已知等差数列an中,公差d0,S627,且a3,a5,a8成等比数列()求数列an的通项公式;()若数列的前n项和为Tn,则【分析】()利用等差数列以及等比数列通项公式,求出首项与公差,然后求解通项公式()利用裂项消项法转化求解数列的和即可【解答】解:()由题意得整理得an2+(n1)dn+1()【点评】本题等差数列以及等比数列的通项公式,数列求和的方法方法,考查计算能力21(12分)某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B

25、型卡车,有9名驾驶员,建筑某段高速公路中,此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务,已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次,B型车6次,每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元,B型车252元,每天派出A型车和B型车各多少辆,公司所花的成本费最低?【分析】设公司派出A型车x辆,B型车y辆,花费的成本为z元,得目标函数是z160x+252y在满足线性约束条件的情况下,讨论A、B两种车的派出方案,经计算可得当派出A型车3辆与B型车4辆,可使每天所花费的成本最低为1304元【解答】解:设每天派出A型车x辆,B型车y辆,成本为z,所以x和y需满足:可行域如图目标函数为z160x+252y把z160x

26、+252y变形为得到斜率为,在y轴上的截距为随z变化的一组平行直线在可行域的整点中,点M(5,2)使得z取得最小值所以每天派出A型车5辆,B型车2辆成本最小,最低成本1304元【点评】本题给出线性约束条件,求目标函数在约束条件下的最小值,着重考查了用简单的线性规划解决应用问题的知识,属于基础题22(12分)设椭圆的左焦点为F1,右顶点为A,离心率为,已知点A是抛物线E:y22px(p0)的焦点,点F1到抛物线准线的距离是()求椭圆C的方程和抛物线E的方程;()若B是抛物线E上的一点且在第一象限,满足|AB|4,直线l交椭圆于M,N两点,且OBMN,当BMN的面积取得最大值时,求直线l的方程【分

27、析】()根据椭圆的离心率公式及抛物线的焦点弦公式即可求得a和b的值,求得椭圆方程及抛物线方程;()根据题意求得B点坐标,设直线l的方程,代入椭圆方程,利用弦弦公式及二次函数的性质,即可求得直线l的方程【解答】解:()由题意可列方程组:,解得,所以b2a2c22从而椭圆C的方程为,抛物线E的方程为y28x()可设B(x0,y0),抛物线E的准线方程为x2,由抛物线的定义得:|AB|x0(2)x0+24,解得x02,所以,因为点B在第一象限,所以y04从而B(2,4)由于OBMN,所以KMNKOB2,l的方程可设为:y2x+m,即:2xy+m0M(x1,y1),N(x2,y2),消去y整理得9y2+8mx+2m240,(8m)236(2m24)0,则m218,解得:3m3,x1+x2,x1x2所以|MN|,点B(2,4)到直线l的距离d所以SBMN|MN|d,当m29时,即:m3时,BMN的面积取得最大值此时l的方程为2xy+30或2xy30【点评】本题考查椭圆的标准方程及抛物线的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式及二次函数的性质,考查计算能力,属于中档题