1、2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知ab，则下列结论正确的是（）ABa+cb+cCacbcDa2b22（5分）用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是（）ABC且D或3（5分）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（）A假命题与真命题的个数相同B真命题的个数是奇数C真命题的个数是偶数D假命题的个数是奇数4（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线为y3x的是（）ABCD5（5分）已知数列an是等比数列，a22，则公比q等于（）A
2、2BC2D6（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a，c2，cosA，则b（）ABC2D37（5分）抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是（）ABC1D8（5分）如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，则（）A+B+C+D+9（5分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（）ABC10D1210（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm11（5分）有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选
3、手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A甲B乙C丙D丁12（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）命题p：x0R，则命题p的否定为 14（5分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11
4、，则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为 15（5分）若两个正实数x，y满足1，则x+2y的最小值是 16（5分）在平面内，点P，A，B三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，满足向量关系式，且x+y1类比以上结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，z满足向量关系式 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设命题p：实数x满足x2，或x6，命题q：实数x满足x23ax+2a20（其中a0）（）若a2，且pq为真命题，求实数x的取值范围；（）若q是p的
5、充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（）若，求b的值；（）若ABC的面积为，求ABC的周长19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ACAB1（）证明：ABB1C；（）若ABAC1，BC2，CAB190，CBB160，求二面角CABB1的正弦值20（12分）已知等差数列an中，公差d0，S627，且a3，a5，a8成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列的前n项和为Tn，则21（12分）某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每
6、天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？22（12分）设椭圆的左焦点为F1，右顶点为A，离心率为，已知点A是抛物线E：y22px（p0）的焦点，点F1到抛物线准线的距离是（）求椭圆C的方程和抛物线E的方程；（）若B是抛物线E上的一点且在第一象限，满足|AB|4，直线l交椭圆于M，N两点，且OBMN，当BMN的面积取得最大值时，求直线l的方程2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共1
7、2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知ab，则下列结论正确的是（）ABa+cb+cCacbcDa2b2【分析】分别用特殊值说明A，C，D不正确，从而只有B正确【解答】解：对于A：a1或b2时，根式无意义；对于B：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；对于C：c0时不成立；对于D：a1，b2时不成立故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质属基础题2（5分）用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是（）ABC且D或【分析】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑的反面是什么即可【解答】解：的
8、反面是，即或故选：D【点评】本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题3（5分）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（）A假命题与真命题的个数相同B真命题的个数是奇数C真命题的个数是偶数D假命题的个数是奇数【分析】根据四种命题及其关系的结论，原命题与它的逆否命题是等价的，即真假相同，且逆命题与它的否命题也是等价关系，真假性相同由此不难得出结论【解答】解：根据四种命题及其关系理论：原命题逆否命题，逆命题否命题；如果原命题是真命题，逆命题是假命题，则真命题共有两个；如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，则真命题共有四个；如果原命题是假命题，逆命题也是假命题，则真命题共有0个；故一
9、个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数一定是偶数，故选：C【点评】本题考查四种命题的关系、命题真假的判断，属基本题型的考查在判断命题的真假时，要充分利用“原命题与它的逆否命题真假相同”这一结论4（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线为y3x的是（）ABCD【分析】判断双曲线的焦点坐标所在的轴，求出双曲线的渐近线方程，即可得到选项【解答】解：选项A双曲线的焦点坐标在x轴，不正确；选项B双曲线的焦点坐标在x轴不正确；选项C：双曲线的焦点坐标在y轴，渐近线方程为：y3x，满足题意；正确；选项D双曲线的渐近线方程为：yx，不满足题意，不正确；故选：C【点评】本题考查双曲线的
10、简单性质的应用，是基本知识的考查5（5分）已知数列an是等比数列，a22，则公比q等于（）A2BC2D【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列an是等比数列，a22，q3，解得q故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a，c2，cosA，则b（）ABC2D3【分析】由余弦定理可得cosA，利用已知整理可得3b28b30，从而解得b的值【解答】解：a，c2，cosA，由余弦定理可得：cosA，整理可得：3b28b30，解得：b3或（舍去）故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理
11、，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7（5分）抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是（）ABC1D【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为yx，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离【解答】解：抛物线方程为y24x2p4，可得1，抛物线的焦点F（1，0）又双曲线的方程为a21且b23，可得a1且b，双曲线的渐近线方程为y，即yx，化成一般式得：因此，抛物线y24x的焦点到双曲线渐近线的距离为d故选：B【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的
12、距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8（5分）如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，则（）A+B+C+D+【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项【解答】解：，+，+，+，+，故选：A【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题9（5分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（）ABC10D12【分析
13、】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an是公差为1的等差数列，S84S4，8a1+14（4a1+），解得a1则a10+91故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB15，tan15tan（4530）2在RtADB中，又AD60，DBA
14、Dtan1560（2）12060在RtADC中，DAC60，AD60，DCADtan6060BCDCDB60（12060）120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题11（5分）有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A甲B乙C丙D丁【分析】本
15、题应用了合情推理【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故选：D【点评】本题考查了合情推理，属于易考题型12（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6【分析】由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通
16、过基本不等式即得结论【解答】解：由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），又|F1P|+|F2P|2a1，|PF2|F1P|2a2，|F2P|+2c2a1，|F2P|2c2a2，两式相减，可得：a1a22c，则+（+18）（2+18）8当且仅当，即有e23时等号成立，则的最小值为8，故选：C【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）命题p：x0R，则命题p的否定为xR，x2x+10【分析】根据含有量词的命题的否定即可
17、得到结论【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题p：x0R，则命题p的否定为：xR，x2x+10故答案为：xR，x2x+10【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14（5分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，过B作BDAC，交AC于点D，
18、直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，AC，BD，AD，A（0，0，0），B1（，1），B（，0），C1（0，1），（，1），（，1），设异面直线AB1与BC1所成角为，则cos异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题15（5分）若两个正实数x，y满足1，则x+2y的最小值是8【分析】根据1可得x+2y（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件【解答】解：两个正实数x，y满足1，x+2y
19、（x+2y）（）4+4+28，当且仅当时取等号即x4，y2，故x+2y的最小值是8故答案为：8【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题16（5分）在平面内，点P，A，B三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，满足向量关系式，且x+y1类比以上结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，z满足向量关系式，且x+y+z1【分析】利用类比推理、向量共线与向量共面定理及其性质即可得出【解答】解：类比已知结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是
20、：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，z满足向量关系式为：，且x+y+z1故答案为：，且x+y+z1【点评】本题考查了类比推理、向量共线与向量共面定理及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设命题p：实数x满足x2，或x6，命题q：实数x满足x23ax+2a20（其中a0）（）若a2，且pq为真命题，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（）把a2代入命题p，可得x的取值范围是x|2x4，再根据pq为真命题，即可求出（）q是p的充分不必要条，可得，解
21、得即可【解答】解：（）当a2命题q：2x4，命题p：x2或x6p：2x6，又pq为真命题，x满足，2x4，实数x的取值范围x|2x4；（）由题意得：命题q：ax2a；q是p的充分不必要条件，2a3，实数a的取值范围a|2a3【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（）若，求b的值；（）若ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（）由已知及正弦定理可求b的值（）利用三角形面积公式可求，由余弦定理可求b+c的值，即可得解三角形的周长【解答】解：（）在ABC中，由题意知，由正弦定理得：
22、，（），由余弦定理得：，ABC的周长为【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ACAB1（）证明：ABB1C；（）若ABAC1，BC2，CAB190，CBB160，求二面角CABB1的正弦值【分析】（）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，证明B1CBC1，AOB1C，推出B1C平面ABO然后证明ABB1C（）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz求出平面ABC的一个法向量，平面ABB1一个法向量，利用向量的数量积求解即可【解答】（）证明
23、：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为BC1与B1C的中点，ACAB1，AOB1C，又AOABA，所以B1C平面ABO故ABB1C（）解：在ABC1中，ABAC1，AOBC1结合（）可知，BC1，CB1，OA三条直线两两垂直，因此，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz在ACB1中，CAB190，ACAB1，又因为O为B1C的中点，所以AOCOB1O因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，因为BC2，所以，AOCOB1O1所以A（0，0，1），B1（0，1，0），C（0，1，0），设是平面ABC的一个法向量，则，即，所以可
24、取x1，则同理，平面ABB1一个法向量则，所以【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知等差数列an中，公差d0，S627，且a3，a5，a8成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列的前n项和为Tn，则【分析】（）利用等差数列以及等比数列通项公式，求出首项与公差，然后求解通项公式（）利用裂项消项法转化求解数列的和即可【解答】解：（）由题意得整理得an2+（n1）dn+1（）【点评】本题等差数列以及等比数列的通项公式，数列求和的方法方法，考查计算能力21（12分）某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B
25、型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？【分析】设公司派出A型车x辆，B型车y辆，花费的成本为z元，得目标函数是z160x+252y在满足线性约束条件的情况下，讨论A、B两种车的派出方案，经计算可得当派出A型车3辆与B型车4辆，可使每天所花费的成本最低为1304元【解答】解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，成本为z，所以x和y需满足：可行域如图目标函数为z160x+252y把z160x
26、+252y变形为得到斜率为，在y轴上的截距为随z变化的一组平行直线在可行域的整点中，点M（5，2）使得z取得最小值所以每天派出A型车5辆，B型车2辆成本最小，最低成本1304元【点评】本题给出线性约束条件，求目标函数在约束条件下的最小值，着重考查了用简单的线性规划解决应用问题的知识，属于基础题22（12分）设椭圆的左焦点为F1，右顶点为A，离心率为，已知点A是抛物线E：y22px（p0）的焦点，点F1到抛物线准线的距离是（）求椭圆C的方程和抛物线E的方程；（）若B是抛物线E上的一点且在第一象限，满足|AB|4，直线l交椭圆于M，N两点，且OBMN，当BMN的面积取得最大值时，求直线l的方程【分
27、析】（）根据椭圆的离心率公式及抛物线的焦点弦公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程及抛物线方程；（）根据题意求得B点坐标，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用弦弦公式及二次函数的性质，即可求得直线l的方程【解答】解：（）由题意可列方程组：，解得，所以b2a2c22从而椭圆C的方程为，抛物线E的方程为y28x（）可设B（x0，y0），抛物线E的准线方程为x2，由抛物线的定义得：|AB|x0（2）x0+24，解得x02，所以，因为点B在第一象限，所以y04从而B（2，4）由于OBMN，所以KMNKOB2，l的方程可设为：y2x+m，即：2xy+m0M（x1，y1），N（x2，y2），消去y整理得9y2+8mx+2m240，（8m）236（2m24）0，则m218，解得：3m3，x1+x2，x1x2所以|MN|，点B（2，4）到直线l的距离d所以SBMN|MN|d，当m29时，即：m3时，BMN的面积取得最大值此时l的方程为2xy+30或2xy30【点评】本题考查椭圆的标准方程及抛物线的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题