1、2017-2018学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知命题p：x0，exx+1，则p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+12（5分）抛物线y2x2的焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）3（5分）过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程是（）Ax2y10Bx2y+10C2x+y20Dx+2y104（5分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A4B3C2D15（5分）如图是一个几何体的三视图，
2、根据图中的数据（单位：cm），可知此几何体的体积是（）A24cm3BCD6（5分）圆x2+y24与圆（x3）2+（y4）249的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离7（5分）“0n2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD9（5分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则10（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点圆x2
3、+y2a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，A1C1中点，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）已知A（0，2），抛物线C：y2mx（m0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N中，若|FM|：|MN|1：，则三角形OFN面积为（）ABC4D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A的坐标为（1，2，3），其中心M的坐标为（0，2，1），则该正方体的棱长等
4、于 14（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是 米15（5分）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为 16（5分）已知圆O：x2+y21，圆M：（xa）2+（ya+4）21，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的最大值与最小值之和为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知，圆C：x2+y28y
5、+120，直线l：ax+y+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程18（12分）如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，AB4，C是O上一点，且ACBC，PCA45，E是PC中点，F为PB中点（1）求证：EF面ABC；（2）求证：EF面PAC；（3）求三棱锥BPAC的体积19（12分）已知命题p：直线ax+y20和直线3ax（2a+1）y+10垂直；命题q：三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分若pq为真命题，求实数a的取值集合20（12分）已知四棱锥SABCD，四边形ABCD是正方形，B
6、AASSD2，SABS2（1）证明：平面ABCD平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角BCMS的余弦值21（12分）已知抛物线C：y22px（p0）上一点A（m，2）到其焦点F的距离为2（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l与圆切于点M，与抛物线C切于点N，求FMN的面积22（12分）椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018学年山东省德州市高二（上）期末数
7、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知命题p：x0，exx+1，则p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+1【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：命题p：x0，exx+1，则p为x0，exx+1，故选：B【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化2（5分）抛物线y2x2的
8、焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）【分析】直接利用抛物线的简单性质写出结果即可【解答】解：抛物线y2x2，化为x2，它的焦点坐标为：（0，）故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题3（5分）过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程是（）Ax2y10Bx2y+10C2x+y20Dx+2y10【分析】因为所求直线与直线x2y20平行，所以设平行直线系方程为x2y+c0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x2y+c0，又经过（1，0），10+c0故c1，所求方程为x2y10；故选：A【点评】本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活4（5
9、分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A4B3C2D1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，zx2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如图），zx2yyxz，由图可知，当直线l经过点A（1，1）时，z最大，且最大值为zmax12（1）3故选：B【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题5（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知此几何体的体积是（）A24cm3BCD【分析】判断几何体的形状，画出直观图，然后求解几何体的体积即可
10、【解答】集体：由题意可得，几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为4，所以几何体的体积为：（cm3）故选：B【点评】本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，是基本知识的考查6（5分）圆x2+y24与圆（x3）2+（y4）249的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离【分析】根据圆心距等于两圆半径之差，得出两圆内切【解答】解：因为圆心距为：5，大圆半径减小圆半径为：725，故两圆内切故选：A【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定属基础题7（5分）“0n2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】“0n2”“方程表示双曲线
11、”“方程表示双曲线”“1n3”【解答】解：“0n2”“方程表示双曲线”，“方程表示双曲线”“1n3”“0n2”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）过点（2，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD【分析】当AOB面积取最大值时，OAOB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率【解答】解：当AOB面积取最大值时，OAOB，曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，圆心O（0，0），半径r，OAOB，AB2，圆心O
12、（0，0）到直线直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，不合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为yk（x2），圆心（0，0）到直线l的距离d1，解得k，k0，k故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用问题，解题的关键是根据AOB的面积取到最大值时OAOB，是中档题9（5分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平
13、面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于A，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题B正确对于C，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能l，也可能，故C不正确；对于D，若“m，n，m，n”，
14、则“”也可能l，所以D不成立故选：B【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目10（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点圆x2+y2a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD【分析】可设A为第一象限的点，且|AF1|m，|AF2|n，运用双曲线的定义和勾股定理可得m，n的方程，消去m，n，即可得到所求离心率【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|m，|AF2|n，由题意可得2m3n，由双曲线的定义可得mn2a，由勾股定理可得m2+n24（a2+b2），联立消去m，n，可得：
15、36a2+16a24a2+4b2，即b212a2，则e，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意定义法的运用，考查化简运算能力，属于中档题11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，A1C1中点，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM与AN所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），M（2，1，2），A（2，0，0），A1（2，
16、0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），（0，1，2），（1，1，2），设BM与AN所成角为，则cosBM与AN所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题12（5分）已知A（0，2），抛物线C：y2mx（m0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N中，若|FM|：|MN|1：，则三角形OFN面积为（）ABC4D【分析】求出N点纵坐标，过M向准线作垂线，利用抛物线性质和锐角三角函数定义计算|OF|，从而得出三角形的面积【解答】解：过M作抛物线的准
17、线的垂线MP，设准线与x轴的交点为Q，如图所示：则|MP|MF|，F（，0），直线FA的方程为：1，即8x+my2m0，抛物线的准线方程为：x，代入直线FA的方程得N（，4），即|NQ|4，cosNMP，sinNMP，tanNMP，tanNFOtanNMP，即，|FQ|2，|OF|FQ|，SOFN2故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A的坐标为（1，2，3），其中心M的坐标为（0，2，1），则该正方体的棱长等于【分析】设该正方体的棱长为
18、a利用2a，可得：a【解答】解：设该正方体的棱长为a（1，4，2），2a，可得：a2故答案为：2【点评】本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质、正方体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是32米【分析】由已知可得椭圆短半轴长，设出椭圆方程，求得x4时的y值，由y4.5求得a的最大值，即可得到隧道设计的拱宽d的最小值【解答】解：由题意可知，b6，设椭圆方程为，则当x4时，车辆的高度不超过4.5米，y4.5，得a16
19、隧道设计的拱宽d至少应是2a32（米）故答案为：32【点评】本题考查椭圆的性质，关键是对题意的理解，是基础题15（5分）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为36【分析】先先计算出AOB的面积，再由OC平面AOB时，三棱锥CAOB的高取到最大值，可得出三棱锥OABC的体积的最大值，进而求出球O的半径，最后利用球体的表面积公式可计算出球O的表面积【解答】解：设球O的半径长为R，由已知条件可知，AOB为等腰直角三角形，且该三角形的面积为，如下图，当OC平面AOB时，三棱锥COAB的高取到最大值为R，所以，三棱锥OABC的体积的最
20、大值为，解得R3，因此，球O的表面积为4R243236故答案为：36【点评】本题考查球的表面积的计算，解决本题的关键主要在于找准三棱锥高取最大值时顶点的位置，属于中等题16（5分）已知圆O：x2+y21，圆M：（xa）2+（ya+4）21，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的最大值与最小值之和为4【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式，解可得a的取值范围，将最大值与最小值相加即可得答案【解答】解：根据题意，如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则AP
21、O30，在RtPAO中，PO2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a4）则|PO|min|MO|1，|PO|max|MO|+1，又由|MO|，则有12+1，解可得：2a2+，即a的最大值为2+，最小值为2，则实数a的最大值与最小值之和（2+）+（2）4；故答案为：4【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知，圆C：x2+y28y+120，直线l：ax+y+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，
22、且AB2时，求直线l的方程【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+120配方得标准方程为x2+（y4）24，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+
23、4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2，x1x2则AB2两边平方并代入解得：a7或a1，直线l的方程是7xy+140和xy+20另解：圆心到直线的距离为d，AB22，可得d，解方程可得a7或a1，直线l的方程是7xy+140和xy+20【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题18（12分）如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，AB4，C是O上一点，且ACBC，PCA45，E是PC中点，F为PB中点（1）求证：EF面ABC；（2）求证：EF面PAC；（3）求
24、三棱锥BPAC的体积【分析】（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，可得EFBC，由线面平行的判定可得EF面ABC；（2）由PA面ABC，得BCPA，结合AB是O的直径，得BCAC，则BC面PAC，而EFBC，可得EF面PAC；（3）由已知求解三角形ABC，可得，再由等积法求三棱锥BPAC的体积【解答】（1）证明：在三角形PBC中，E是PC中点，F为PB中点，EFBC，又BC平面ABC，EF平面ABC，EF面ABC；（2）证明：PA面ABC，BC平面ABC，BCPA，又AB是O的直径，BCAC，又PAACA，BC面PAC，EFBC，EF面PAC；（3）解：PCA45，PAAC，在
25、RtABC中，ACBC，AB4，【点评】本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19（12分）已知命题p：直线ax+y20和直线3ax（2a+1）y+10垂直；命题q：三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分若pq为真命题，求实数a的取值集合【分析】由两直线垂直与系数间的关系求得p为真命题的a的范围；再由三条直线2x3y+10，4x+3y+50，axy10将平面划分为六部分分类求得a的范围，取并集得答案【解答】解：p真：则3a2（2a+1）0，即3a22a1（3a+1）（a1）0，解
26、得或a1；q真：2x3y+10与4x+3y+50不平行，则2x3y+10与axy10平行或4x+3y+50与axy10平行或三条直线交于一点，若2x3y+10与axy10平行，由，得，若4x+3y+50与axy10平行，由，得，若三条直线交于一点，由，得，代入axy10，得q真，或或，pq真，p、q至少有一个为真，a的取值集合为【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查两直线平行、垂直与系数间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题20（12分）已知四棱锥SABCD，四边形ABCD是正方形，BAASSD2，SABS2（1）证明：平面ABCD平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角BC
27、MS的余弦值【分析】（1）推导出BAAS，BAAD，BA平面SAD，由此能证明平面ABCD平面SAD（2）设AD的中点为O，SOAD，SO平面ABCD，过O作直线OxAD，则Ox，OD，OS两两垂直，以O为坐标原点，Ox，OD，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角BCMS的余弦值【解答】证明：（1），sinBAS1，即BAAS，又ABCD为正方形，BAAD，BAASA，BA平面SAD，BA平面ABCD，平面ABCD平面SAD解：（2）设AD的中点为O，ASSD，SOAD，由（1）可知平面ABCD平面SAD，且平面ABCD平面SADAD，SO平面ABCD，在平面A
28、BCD内，过O作直线OxAD，则Ox，OD，OS两两垂直以O为坐标原点，Ox，OD，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面BCM的法向量为，则，即，取，设平面CMS的法向量为，则，即，取，由图可知，二面角BCMS的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知抛物线C：y22px（p0）上一点A（m，2）到其焦点F的距离为2（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l与圆切于点M，与抛物线C切于点N，求FMN的面积【分析】（1）由A（m，2）在
29、抛物线y22px上，得，再由抛物线焦半径公式可得，解得p，从而可得抛物线C的方程；（2）设直线l方程为：ykx+b，由l与圆相切，得到3b24k2+4，由直线l与抛物线y24x相切，联立后结合判别式等于0可得kb1，进一步求得k与b的值，得到N点坐标，求得|MN|，然后求出F到直线l的距离，代入三角形面积公式求解FMN的面积【解答】解：（1）A（m，2）在抛物线y22px上，由题意可知，解得p2，抛物线C的方程为y24x；（2）设直线l方程为：ykx+b，l与圆相切，整理得3b24k2+4，依题意直线l与抛物线y24x相切，由，得k2x2+（2kb4）x+b20（*）则（2kb4）24k2b2
30、0kb1，由解得或，此时方程（*）化为x24x+40，解得x2，点，直线l为：或，F（1，0）到l的距离为，【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题22（12分）椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件求出a，b关系，利用点在椭圆上求解a，b，即可得到椭圆方程（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程
31、：ykx+1，联立直线与椭圆方程，设AB坐标，利通过韦达定理，假设存在定点Q（0，t）符合题意，结合kQAkQB，转化求解即可【解答】解：（1），a22c2b2+c2，bc，a22b2，椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，解得b24，a28，所以椭圆C的方程为：；（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：ykx+1，由得（2k2+1）x2+4kx60，16k2+24（2k2+1）0，设，假设存在定点Q（0，t）符合题意，PQAPQB，kQAkQB，上式对任意实数k恒等于零，4t0，即t4，Q（0，4），当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点（0，2），（0，2），显然此时PQAPQB，综上，存在定点Q（0，4）满足题意【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力