1、2017-2018学年山东省枣庄市薛城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知ab，cd，那么一定正确的是（）AadbcBacbdCacbdDadbc2（5分）已知等差数列an满足：a313，a1333，则a7等于（）A19B20C21D223（5分）抛物线yx2的焦点到准线距离为（）A1B2CD4（5分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a2，b，则角A（）ABCD或5（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减
2、一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第三天走了（）A60里B48里C36里D24里6（5分）已知命题p：x0，命题q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay2xBCD8（5分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（）A2B4CD9（5分）下图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极小值点； 1是函数yf（x）的极小值点；yf
3、（x）在x0处切线的斜率小于零； yf（x）在区间（3，1）上单调增则正确命题的序号是（）ABCD10（5分）已知实数x，y满足，则z3xy的最大值为（）A5B1C3D411（5分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A（1+）米B2米C（1+）米D（2+）米12（5分）已知aR，若f（x）（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）Aa0Ba1Ca1Da0二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）命题“xR，使得x2+mx+m0”为
4、真命题，则实数m的取值范围为 14（5分）已知函数f（x）sinx+f（）x2，则f（） 15（5分）已知x0，y0，且+1，则x+2y的最小值是 16（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，其准线与双曲线x21相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p 三、解答题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）若函数f（x）在x1处有极值4（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在1，2上的最大值和最小值18（12分）在ABC中，A2B（）求证：a2bcosB；（）若b2，
5、c4，求B的值19（12分）已知数列an的前n项和Snn2n（nN*）正项等比数列bn的首项b11，且3a2是b2，b3的等差中项（I）求数列an，bn的通项公式；（II）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn20（12分）已知函数f（x）lnx+（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求证：当x0时，f（x）1；（3）若x+1af（x）对任意x1恒成立，求实数a的最大值21（12分）已知椭圆M：+1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大
6、值22（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4cos（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值2017-2018学年山东省枣庄市薛城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知ab，cd，那么一定正确的是（）AadbcBacbdCacbdDadbc【分析】根据不等式的性质，推出adcb，判定命题
7、D正确，举例说明A、B、C不正确【解答】解：ab，cd，由不等式的性质得cd，即dc，adcb，D正确；不妨令a2、b1、c1、d2，显然，ad4，bc1，A不正确；acbd2，B不正确；acbd3，C不正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质与不等关系的应用问题，是基础题目2（5分）已知等差数列an满足：a313，a1333，则a7等于（）A19B20C21D22【分析】由已知利用等差数列的通项公式求得d，再由a7a3+4d求解【解答】解：在等差数列an中，由a313，a1333，得d，a7a3+4d13+4221故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题3（5分）抛物
8、线yx2的焦点到准线距离为（）A1B2CD【分析】由抛物线的标准方程：x22y，2p2，p1，则焦点坐标（0，），准线方程：y，焦点到准线距离d（）1【解答】解：由抛物线的标准方程：x22y，可知焦点在y轴上，2p2，p1，则焦点坐标（0，），准线方程：y，焦点到准线距离d（）1，故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程及性质，考查计算能力，属于基础题4（5分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a2，b，则角A（）ABCD或【分析】由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出角A即可【解答】解：a2，b，由正弦定理得，则sinA，0A，ab，A或，
9、故选：D【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题5（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第三天走了（）A60里B48里C36里D24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列an、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列an，且公比为，6天后共走了378里
10、，S6，解得a1192，第三天走了a3a119248，故选：B【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题6（5分）已知命题p：x0，命题q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：p：x0，由得x0，即q：x0，则p是q的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合命题的等价条件进行转化是解决本题的关键比较基础7（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay2xBCD【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求
11、出双曲线的渐近线方程【解答】解：由双曲线的离心率，可知ca，又a2+b2c2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为：yx故选：B【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力8（5分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（）A2B4CD【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案【解答】解：由于q2，；故选：C【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视9（5分）下图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出
12、下列命题：3是函数yf（x）的极小值点； 1是函数yf（x）的极小值点；yf（x）在x0处切线的斜率小于零； yf（x）在区间（3，1）上单调增则正确命题的序号是（）ABCD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率【解答】解：根据导函数图象可知当x（，3）时，f（x）0，在x（3，1）时，f（x）0函数yf（x）在（，3）上单调递减，在（3，1）上单调递增，故正确则3是函数yf（x）的极小值点，故正确在（3，1）上单调递增1不是函数yf（x）的最小值点，故不正确；函数yf（x）在x0处的导数大于0
13、切线的斜率大于零，故不正确；故选：A【点评】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题10（5分）已知实数x，y满足，则z3xy的最大值为（）A5B1C3D4【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z3xy得y3xz，平移直线y3xz，则由图象可知当直线y3xz经过点A时直线y3xz的截距最小，此时z最大，为3xy3，解得，即A（1，0），此时点A在z3xy，解得z3，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决
14、本题的关键11（5分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A（1+）米B2米C（1+）米D（2+）米【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米，在ABC中，依余弦定理得：AB2AC2+BC22ACBCcosACB，即（y0.5）2y2+x22yx，化简，得y（x1）x2，x1，x10
15、，因此y，y（x1）+2+2，当且仅当x1时，取“”号，即x1+时，y有最小值2+故选：D【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题12（5分）已知aR，若f（x）（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）Aa0Ba1Ca1Da0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围【解答】解：f（x）（x+）ex，f（x）（）ex，设h（x）x3+x2+axa，h（x）3x2+2x+a，a0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，h（0）a0，h（1
16、）20，h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f（x0）0，且在（0，x0）上，f（x）0，在（x0，1）上，f（x）0，x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a0时，x（0，1），h（x）3x2+2x0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a0时，h（x）x3+x2+a（x1），x（0，1），h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值综上所述，a0故选：A【点
17、评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）命题“xR，使得x2+mx+m0”为真命题，则实数m的取值范围为（0，4）【分析】利用不等式恒成立，通过判别式小于0，列出不等式求解即可【解答】解：xR，x2+mx+m0恒成立，等价于m24m0，解得m（0，4）实数m的取值范围为（0，4）故答案为：（0，4）【点评】本题考查二次函数的简单性质以及函数恒成立，是基础题14（5分）已知函数f（x）sinx+f（）x2，则f（）0【分析】根据题意，求出函数的导数f（x）cosx+2xf（x）
18、，将x代入计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）sinx+f（）x2，其导数f（x）cosx+2xf（），令x，f（）cos+2f（），解可得f（）0，故答案为：0【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题15（5分）已知x0，y0，且+1，则x+2y的最小值是8【分析】根据x+2y（x+2y）（+）2+2，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：x+2y（x+2y）（+）2+24+28，当且仅当 时，等号成立，故 x+2y的最小值为 8，故答案为：8【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题16（5分）已知抛物线y22px（p0）的
19、焦点为F，其准线与双曲线x21相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p2【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N利用三角形是直角三角形，转化求解即可【解答】解：由题设知抛物线y22px的准线为x，代入双曲线方程x21，解得 y，由双曲线的对称性知MNF为等腰直角三角形，FMN，tanFMN1，p2，即p2，故答案为：2【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力三、解答题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）若函数f（x）在x
20、1处有极值4（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在1，2上的最大值和最小值【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f（x）0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在1，2上的最大值和最小值【解答】（1）f（x）3x2+2ax+b，依题意有f（1）0，f（1）4，即得（4分）所以f（x）3x2+4x7（3x+7）（x1），由f（x）0，得x1，所以函数f（x）的单调递减区间（，1）（7分）（2）由（1）知f（x）x3+2x27x，f（x）3x2+4x+7（3x+7）（x1），令
21、f（x）0，解得x1，x21f（x），f（x）随x的变化情况如下表： x1 （1，1） 1 （1，2） 2 f（x） 0+f（x） 8 极小值4 2由上表知，函数f（x）在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增故可得f（x）minf（1）4，f（x）maxf（1）8（13分）【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大18（12分）在ABC中，A2B（）求证：a2bcosB；（）若b2，c4，求B的值【分析】（）由正弦定理，得，即可证明：a2bcosB；（）若b2，c4，利用余弦定理
22、，即可求B的值【解答】（）证明：因为A2B，所以由正弦定理，得，得，所以a2bcosB（）解：由余弦定理，a2b2+c22bccosA，因为b2，c4，A2B，所以16cos2B4+1616cos2B，所以，因为A+B2B+B，所以，所以，所以【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）已知数列an的前n项和Snn2n（nN*）正项等比数列bn的首项b11，且3a2是b2，b3的等差中项（I）求数列an，bn的通项公式；（II）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（I）数列an的前n项和snn2n，当n1时，a1s1；当n2时，an
23、snsn1可得an利用等比数列的通项公式可得bn（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）数列an的前n项和snn2n，当n1时，a1s10；当n2时，ansnsn1（n2n）（n1）2（n1）2n2当n1时上式也成立，an2n2设正项等比数列bn的公比为q，则，b2q，b3q2，3a26，3a2是b2，b3的等差中项，26q+q2，得q3或q4（舍去），bn3n1 （）由（）知cnanbn（2n2）3n12（n1）3n1，数列cn的前n项和Tn2030+2131+2232+2（n2）3n2+2（n1）3n1， 3Tn2031+2132+2232+2（n2）3n
24、1，+2（n1）3n，得：2Tn231+232+23n12（n1）3n 23n32（n1）3n（32n）3n3Tn【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、及数列递推公式，“错位相减法”，属于中档题20（12分）已知函数f（x）lnx+（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求证：当x0时，f（x）1；（3）若x+1af（x）对任意x1恒成立，求实数a的最大值【分析】（1）求得f（x）的导数可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；（2）求得f（x）的导数，可得单调性和极值、最值，即可得证；（3）由题意可得x1alnx在x1恒成立，由g（x）alnx
25、x+1，x1，求得导数，讨论a的范围，可得单调性，极值和最值，即可得到所求最大值【解答】解：（1）函数f（x）lnx+的导数为f（x），可得f（1）1，f（1）0，则曲线在x1处的切线方程为y1；（2）证明：由f（x），可得x1时，f（x）0，f（x）递增；0x1时，f（x）0，f（x）递减，则f（x）在x1处取得极小值，且为最小值1，则f（x）1；（3）x+1af（x）对任意x1恒成立，即为x1alnx在x1恒成立，由g（x）alnxx+1，x1，可得g（x）1，若a1，可得ax0，g（x）0，g（x）递减，可得g（x）g（1）0，符合题意；若a1，可得xa，g（x）递减，1xa，g（x）递
26、增，xa处g（x）取得极大值，且为最大值，g（a）alnaa+1，由a1，可得g（a）0，则g（x）0不成立综上可得a的最大值为1【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题21（12分）已知椭圆M：+1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【分析】（）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|0；当直线l斜率
27、存在（显然k0）时，设直线方程为yk（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值【解答】解：（）因为F（1，0）为椭圆的焦点，所以c1，又b，所以a2，所以椭圆方程为1；（）直线l无斜率时，直线方程为x1，此时D（1，），C（1，），ABD，ABC面积相等，|S1S2|0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为yk（x+1）（k0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，显然
28、0，方程有根，且x1+x2，x1x2，此时|S1S2|2|y1|y2|2|y1+y2|2|k（x2+1）+k（x1+1）|2|k（x2+x1）+2k|，（k时等号成立）所以|S1S2|的最大值为【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题22（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4cos（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值【分析】（1）根据xcos，ysin求出C的普通方程即可；（2）将直线方程代入C的方程，再利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|t1+t2|即可得出【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为4cos，化为24cos，可得直角坐标方程：x2+y24x，配方为（x2）2+y24；（2）把（t为参数）代入（x2）2+y24，得，设A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t240，所以|PA|+|PB|【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题