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2017-2018学年山东省枣庄八中东校区高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2017-2018学年山东省枣庄八中东校区高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)已知复数za2a+ai,若z是纯虚数,则实数a等于()A2B1C0或1D12(5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A24B48C60D723(5分)随机变量XN(1,4),若p(x2)0.2,则p(0x1)为()A0.2B0.6C0.4D0.34(5分)某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务,则所选的四人中至少有一名女生的选法为()A14B8C6D45(5分)从1,2,3,4,5中不

2、放回地依次取2个数,事件A“第一次取到的是奇数”,B“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)()ABCD6(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为()A15B20C30D357(5分)欧拉公式eixcosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,他将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知,e3i表示的复数在复平面中位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8(5分)已知函数f(x)x2+cosx,f(x)是函数f(x)的导函数,则f(x)的图象大致是()ABCD9(5分

3、)曲线yx33x和直线yx所围成图形的面积是()A4B8C9D1010(5分)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制(无平局),甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为()ABCD11(5分)6名同学安排到3个社区A,B,C参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲同学必须到A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法种数为()A12B9C6D512(5分)已知函数f(x)alnx+x2(a+2)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是()A(1,+)B(2,0)C(1,0)D(2,1)二、填空题(本大题共4个小题

4、,每小题5分)13(5分)已知随机变量B(36,p),且E()12,则D(4+3) 14(5分)已知直线2xy+10与曲线ylnx+a相切,则实数a的值是 15(5分)若,则 16(5分)先阅读下面的文字:“求的值时,采用了如下的方式:令x,则有x,两边平方,可解得x2(负值舍去)”那么,可用类比的方法,求出2+的值是 三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)在(2)6的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x2的项18(12分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数(1)求X的分布列(结果用数

5、字表示);(2)求所选3个中最多有1名女生的概率19(12分)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店A店B店C店售价x(元)808682888490销售量y(件)887885758266(1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点,求出售价与销量的回归直线方程;(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元(保留整数)?20(12分)为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试

6、,统计数据如下表所示:优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110()试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;()为参加市里举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为,现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛,若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数,求X的分布列与数学期望附:K2P(K2k)0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.82821(12分)一个盒子内装有8张卡片,每张卡片上面写着1个数字,这8个数字各不相同,且奇数有3个,偶数有5个,每张卡片被取出的

7、概率相等()如果从盒子中一次随机取出2张卡片,并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数,求所得新数是偶数的概率;()现从盒子中一次随机取出1张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片,设取出了次才停止取出卡片,求的分布列和数学期望22(12分)已知函数f(x)(x1)ex()求f(x)的单调区间;()证明:当a0时,方程f(x)a在区间(1,+)上只有一个解;()设h(x)f(x)aln(x1)ax,其中a0若h(x)0恒成立,求a的取值范围2017-2018学年山东省枣庄八中东校区高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选

8、择题(每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)已知复数za2a+ai,若z是纯虚数,则实数a等于()A2B1C0或1D1【分析】由复数za2a+ai是纯虚数,得实部等于0且虚部不等于0,求解即可得答案【解答】解:复数za2a+ai是纯虚数,解得a1故选:B【点评】本题考查了复数的基本概念,是基础题2(5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A24B48C60D72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入,其它4个数在4个位置上

9、全排列即可【解答】解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排1,3,5中的一个数,共有3种排法,然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列,共有24种排法由分步乘法计数原理得,由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472个故选:D【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关键是做到合理的分布,是基础题3(5分)随机变量XN(1,4),若p(x2)0.2,则p(0x1)为()A0.2B0.6C0.4D0.3【分析】根据正态分布的对称性计算【解答】解:P(X0)P(X2)0.2,故选:D【点评】本题考查了正态分布的特点,属于基础

10、题4(5分)某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务,则所选的四人中至少有一名女生的选法为()A14B8C6D4【分析】根据题意,按女生的数目分2种情况讨论:、所选的四人中有1名女生,则有3名男生,、所选的四人中有2名女生,则有2名男生,由加法原理计算可得答案【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:、所选的四人中有1名女生,则有3名男生,有C43C218种情况,、所选的四人中有2名女生,则有2名男生,有C42C226种情况,则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+614种;故选:A【点评】本题考查排列、组合的应用,注意“至少有一名女生”的条件进行分类讨论5(5分)从1,2,3,4,

11、5中不放回地依次取2个数,事件A“第一次取到的是奇数”,B“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)()ABCD【分析】先计算P(AB)、P(A),再利用P(B|A),即可求得结论【解答】解:由题意,P(AB),P(A)P(B|A)故选:D【点评】本题考查条件概率,考查学生的计算能力,属于基础题6(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为()A15B20C30D35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)(1+x2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x2项,则(1+x)6提供含有x4的项

12、,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得可知r2时,可得展开式中x2的系数为可知r4时,可得展开式中x2的系数为(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+1530故选:C【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用属于基础题7(5分)欧拉公式eixcosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,他将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知,e3i表示的复数在复平面中位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用欧拉公式eixcosx+is

13、inx,化简e3i的表达式,通过三角函数的符号,判断复数的对应点所在象限即可【解答】解:因为欧拉公式eixcosx+isinx(i为虚数单位),所以e3icos3+isin3,因为3(,),cos30,sin30,所以e3i表示的复数在复平面中位于第二象限故选:B【点评】本题考查欧拉公式的应用,三角函数的符号的判断,是基本知识的考查8(5分)已知函数f(x)x2+cosx,f(x)是函数f(x)的导函数,则f(x)的图象大致是()ABCD【分析】由于f(x)x2+cosx,得f(x)xsinx,由奇函数的定义得函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,取x代入f()sin10,排除C

14、,只有A适合【解答】解:由于f(x)x2+cosx,f(x)xsinx,f(x)f(x),故f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,又当x时,f()sin10,排除C,只有A适合,故选:A【点评】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力,同时考查导数的计算,属于中档题9(5分)曲线yx33x和直线yx所围成图形的面积是()A4B8C9D10【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为2,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可;【解答】解:曲线yx33x与yx的交点坐标为(0,0),(2,2),(2,

15、2)根据题意画出图形,曲线yx33x和直线yx围成图形的面积S2x(x33x)dx2(4xx3)dx2(2x2x4)2(84)8,故选:B【点评】本小题考查根据定积分的几何意义,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考查了函数图象的对称性10(5分)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制(无平局),甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为()ABCD【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率,即可得出结论【解答】解:由题意,甲获得冠军的概率为+,其中比赛进行了3局的概率为+,所求概率为,故选:B【点评】本题考查

16、条件概率,考查相互独立事件概率公式,属于中档题11(5分)6名同学安排到3个社区A,B,C参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲同学必须到A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法种数为()A12B9C6D5【分析】本题可以分为两类进行研究,一类是乙和丙之一在A社区,另一在B社区,二类是乙和丙在B社区,计算出每一类的数据,然后求其和即可【解答】解:由题意将问题分为两类求解第一类,若乙与丙之一在甲社区,则安排种数为A21A316种第二类,若乙与丙在B社区,则A社区沿缺少一人,从剩下三人中选一人,另两人去C社区,故安排方法种数为A313种故不同的安排种数是6+39种故选:B【点评】本

17、题考点是计数原理的应用,考查了分类与分步两大计数原理及排列数公式,是计数原理中的基本题型12(5分)已知函数f(x)alnx+x2(a+2)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是()A(1,+)B(2,0)C(1,0)D(2,1)【分析】求出函数的定义域,求出原函数的导函数,对a分类求出函数的单调区间,求得极值,结合函数f(x)alnx+x2(a+2)x恰有两个零点列式求得a的范围【解答】解:函数定义域为x0,且f(x)2x(a+2)+当a0时,f(x)x22x,在(0,+)上仅有一个零点,不合题意;当a0,即0时,令f(x)0,得0x1,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),令f(x)0,得

18、x1,函数f(x)的单调递增区间为(1,+)f(x)的极小值也就是f(x)在(0,+)上的最小值为f(1)1a2a1,当x0时,f(x)+,要使函数f(x)alnx+x2(a+2)x恰有两个零点,则a10,即a1,1a0;当01,即0a2时,令f(x)0,得0x或x1,函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+)令f(x)0,得x1,函数f(x)的单调递减区间为(,1)f(x)的极大值为f()0,极小值为f(1)1a2a10,f(x)在(0,+)上仅有一个零点,不合题意;当1,即a2时,f(x)0恒成立,函数f(x)的单调递增区间为(0,+),不可能有两个零点,不合题意;当1,即a2时,令

19、f(x)0,得0x1或x,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+)令f(x)0,得1x,函数f(x)的单调递减区间为(1,)f(x)的极大值为f(1)1a2a10,极小值f()0,f(x)在(0,+)上仅有一个零点,不合题意综上,函数f(x)alnx+x2(a+2)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是(1,0)故选:C【点评】本题考查函数零点的判定,训练了利用导数研究函数的单调性,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分)13(5分)已知随机变量B(36,p),且E()12,则D(4+3)128【分析】根据题意求出p、D()的值,再根据公式计算D(

20、4+3)的值【解答】解:随机变量B(36,p),且E()12,n36,np36p12,解得p,D()np(1p)36(1)8,D(4+3)428128故答案为:128【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题,是基础题14(5分)已知直线2xy+10与曲线ylnx+a相切,则实数a的值是2+ln2【分析】求出切点的坐标,代入切线方程求出a的值即可【解答】解:y,设切点是(x0,lnx0+a),则y2,故x0,lnx0ln2,代入切线得:1+ln2a+10,解得:a2+ln2,故答案为:2+ln2【点评】本题考查了切线方程问题,考查导数的应用,是一道基础题15(5分)若,则1【分析】

21、在已知二项式定理中,分别取x0,x,联立即可求得【解答】解:由,取x0,可得a01,取x,可得,a01故答案为:1【点评】本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题16(5分)先阅读下面的文字:“求的值时,采用了如下的方式:令x,则有x,两边平方,可解得x2(负值舍去)”那么,可用类比的方法,求出2+的值是1+【分析】利用类比的方法,设2+x,则2+x,解方程可得结论【解答】解:设 2+x,则2+xx22x10x1,x0,x1+,故答案为:1+【点评】本题考查类比推理,考查学生的计算能力,解题的关键是

22、掌握类比的方法三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(10分)在(2)6的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x2的项【分析】(1)根据二项式展开式的通项公式,求得第3项的二项式系数及系数(2)在二项式展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求得r的值,即可求得展开式中的含x2的项【解答】解:(1)在(2)6的展开式中,第3项的二项式系数为15,又T3(2)4 240x,所以,第3项的系数为240(2)Tk+1(2)6k(1)k26kx3k,令3k2,得k1,可得含x2的项为第2项,且T2192x2【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式

23、系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题18(12分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数(1)求X的分布列(结果用数字表示);(2)求所选3个中最多有1名女生的概率【分析】(1)由题意知本题是一个超几何分步,随机变量X表示所选3人中女生的人数,X可能取的值为0,1,2,且,由此能求出X的分布列(2)由X的分布列能求出所选3人中最多有一名女生的概率【解答】解:(1)由题意知本题是一个超几何分步,随机变量X表示所选3人中女生的人数,X可能取的值为0,1,2,且,P(X0),P(X1),P(X2),X的分布列为:X012P(2)由(1)知所选3人中

24、最多有一名女生的概率为:【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意超几何分布的性质的合理运用19(12分)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店A店B店C店售价x(元)808682888490销售量y(件)887885758266(1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点,求出售价与销量的回归直线方程;(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元(保留整数)?【分析

25、】(1)先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量,根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程(2)设定价为x,得出利润关于x的函数f(x),利用二次函数的性质求出f(x)的极大值点【解答】解:(1)三家连锁店的平均售价和销售量分别为A(83,83),B(85,80),C(87,74)85,792.25,79(2.25)85270.25售价与销量的回归直线方程为2.25x+270.25(2)设定价为x元,则利润为f(x)(x40)(2.25x+270.25)2.25x2+360.25x10810当x80时,f(x)取得最大值,即利润最大【点评】本题考查了线性回归方程的求解,二次函数的性质,属于中档

26、题20(12分)为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110()试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;()为参加市里举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为,现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛,若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数,求X的分布列与数学期望附:K2P(K2k)0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.828【分析】()由题意求出

27、K2,由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关(II)由题意X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X)【解答】解:(I)由题意:K27.822K27.8226.635,有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关(II)由题意X的可能取值为0,1,2,3,X的分布列为:X0123PE(X)2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一21(12分)一个盒子内装有8张卡片,每张卡片上面写着1个数字,这8个数字各不相同,且奇数有3个,偶数有5个,每张卡片被取出的概率相等()如果从盒

28、子中一次随机取出2张卡片,并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数,求所得新数是偶数的概率;()现从盒子中一次随机取出1张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片,设取出了次才停止取出卡片,求的分布列和数学期望【分析】()直接利用古典概型的概率公式求解即可;()由题意知抽取的次数可能取值为1、2、3、4,计算概率的分布列,再求出数学期望【解答】解:()记事件A为“任取2张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”,因为奇数加奇数可得偶数,偶数加偶数也得偶数,所以P(A),即所得新数是偶数的概率为;()根据题意,所有可能的取值为1,2,3

29、,4;计算P(1),P(2),P(3),P(4);所以的分布列为:1234P数学期望为E()1+2+3+4【点评】本题主要考查了排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识,也考查了运用知识解决实际应用问题的能力22(12分)已知函数f(x)(x1)ex()求f(x)的单调区间;()证明:当a0时,方程f(x)a在区间(1,+)上只有一个解;()设h(x)f(x)aln(x1)ax,其中a0若h(x)0恒成立,求a的取值范围【分析】()求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;()求出函数的导数,根据函数的单调性,得到函数g(x)在(1,+)的零点个数,求出方程在(1,+

30、)的解的个数即可;()设h(x)f(x)aln(x1)ax,a0,根据函数的单调性求出函数的最小值,h(x0)(x01)aln(x01)ax0aalna0,求出a的范围即可【解答】解:()由已知f(x)ex+(x1)exxex,令f(x)0,解得:x0,令f(x)0,解得:x0,故f(x)在(,0)递减,在(0,+)递增;()设g(x)f(x)a(x1)exa,a0,g(x)xex,由()知,函数g(x)在区间(0,+)递增,且g(1)a0,g(a+1)aea+1aa(ea+11)0,故g(x)在(1,+)上只有1个零点,方程f(x)a在区间(1,+)上只有1个解;()设h(x)f(x)aln

31、(x1)ax,a0,h(x)的定义域是x|x1,h(x)xexa(x1)exa,令h(x)0,则(x1)exa0,由()得g(x)(x1)exa在区间(1,+)上只有1个零点,是增函数,不妨设g(x)的零点是x0,则(x01)a0,故h(x),h(x)在区间(0,+)上的情况如下:x(1,x0)x0(x0,+)h(x)0+h(x)递减极小值h(x0)递增函数h(x)的最小值是h(x0),h(x0)(x01)aln(x01)ax0,由(x01)a0,得x01,故h(x0)alnaalna,由题意h(x0)0,即aalna0,解得:0ae,故a的范围是(0,e【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查函数的零点以及函数恒成立问题,是一道综合题