1、2017-2018学年山东省枣庄八中东校区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知复数za2a+ai，若z是纯虚数，则实数a等于（）A2B1C0或1D12（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A24B48C60D723（5分）随机变量XN（1，4），若p（x2）0.2，则p（0x1）为（）A0.2B0.6C0.4D0.34（5分）某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A14B8C6D45（5分）从1，2，3，4，5中不
2、放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）（）ABCD6（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A15B20C30D357（5分）欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD9（5分
3、）曲线yx33x和直线yx所围成图形的面积是（）A4B8C9D1010（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）ABCD11（5分）6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A12B9C6D512（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，0）C（1，0）D（2，1）二、填空题（本大题共4个小题
4、，每小题5分）13（5分）已知随机变量B（36，p），且E（）12，则D（4+3） 14（5分）已知直线2xy+10与曲线ylnx+a相切，则实数a的值是 15（5分）若，则 16（5分）先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令x，则有x，两边平方，可解得x2（负值舍去）”那么，可用类比的方法，求出2+的值是 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）在（2）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含x2的项18（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数（1）求X的分布列（结果用数
5、字表示）；（2）求所选3个中最多有1名女生的概率19（12分）某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）808682888490销售量y（件）887885758266（1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？20（12分）为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试
6、，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望附：K2P（K2k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.82821（12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个，每张卡片被取出的
7、概率相等（）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；（）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片，设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望22（12分）已知函数f（x）（x1）ex（）求f（x）的单调区间；（）证明：当a0时，方程f（x）a在区间（1，+）上只有一个解；（）设h（x）f（x）aln（x1）ax，其中a0若h（x）0恒成立，求a的取值范围2017-2018学年山东省枣庄八中东校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选
8、择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知复数za2a+ai，若z是纯虚数，则实数a等于（）A2B1C0或1D1【分析】由复数za2a+ai是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案【解答】解：复数za2a+ai是纯虚数，解得a1故选：B【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A24B48C60D72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上
9、全排列即可【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有24种排法由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472个故选：D【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题3（5分）随机变量XN（1，4），若p（x2）0.2，则p（0x1）为（）A0.2B0.6C0.4D0.3【分析】根据正态分布的对称性计算【解答】解：P（X0）P（X2）0.2，故选：D【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础
10、题4（5分）某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A14B8C6D4【分析】根据题意，按女生的数目分2种情况讨论：、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C218种情况，、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C226种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+614种；故选：A【点评】本题考查排列、组合的应用，注意“至少有一名女生”的条件进行分类讨论5（5分）从1，2，3，4，
11、5中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）（）ABCD【分析】先计算P（AB）、P（A），再利用P（B|A），即可求得结论【解答】解：由题意，P（AB），P（A）P（B|A）故选：D【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A15B20C30D35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）（1+x2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x2项，则（1+x）6提供含有x4的项
12、，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得可知r2时，可得展开式中x2的系数为可知r4时，可得展开式中x2的系数为（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+1530故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用属于基础题7（5分）欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用欧拉公式eixcosx+is
13、inx，化简e3i的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可【解答】解：因为欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位），所以e3icos3+isin3，因为3（，），cos30，sin30，所以e3i表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点评】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，是基本知识的考查8（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】由于f（x）x2+cosx，得f（x）xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x代入f（）sin10，排除C
14、，只有A适合【解答】解：由于f（x）x2+cosx，f（x）xsinx，f（x）f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x时，f（）sin10，排除C，只有A适合，故选：A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题9（5分）曲线yx33x和直线yx所围成图形的面积是（）A4B8C9D10【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；【解答】解：曲线yx33x与yx的交点坐标为（0，0），（2，2），（2，
15、2）根据题意画出图形，曲线yx33x和直线yx围成图形的面积S2x（x33x）dx2（4xx3）dx2（2x2x4）2（84）8，故选：B【点评】本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性10（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）ABCD【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为+，其中比赛进行了3局的概率为+，所求概率为，故选：B【点评】本题考查
16、条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题11（5分）6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A12B9C6D5【分析】本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，二类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可【解答】解：由题意将问题分为两类求解第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A21A316种第二类，若乙与丙在B社区，则A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A313种故不同的安排种数是6+39种故选：B【点评】本
17、题考点是计数原理的应用，考查了分类与分步两大计数原理及排列数公式，是计数原理中的基本题型12（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，0）C（1，0）D（2，1）【分析】求出函数的定义域，求出原函数的导函数，对a分类求出函数的单调区间，求得极值，结合函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点列式求得a的范围【解答】解：函数定义域为x0，且f（x）2x（a+2）+当a0时，f（x）x22x，在（0，+）上仅有一个零点，不合题意；当a0，即0时，令f（x）0，得0x1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），令f（x）0，得
18、x1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+）f（x）的极小值也就是f（x）在（0，+）上的最小值为f（1）1a2a1，当x0时，f（x）+，要使函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则a10，即a1，1a0；当01，即0a2时，令f（x）0，得0x或x1，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+）令f（x）0，得x1，函数f（x）的单调递减区间为（，1）f（x）的极大值为f（）0，极小值为f（1）1a2a10，f（x）在（0，+）上仅有一个零点，不合题意；当1，即a2时，f（x）0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），不可能有两个零点，不合题意；当1，即a2时，令
19、f（x）0，得0x1或x，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+）令f（x）0，得1x，函数f（x）的单调递减区间为（1，）f（x）的极大值为f（1）1a2a10，极小值f（）0，f（x）在（0，+）上仅有一个零点，不合题意综上，函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（1，0）故选：C【点评】本题考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13（5分）已知随机变量B（36，p），且E（）12，则D（4+3）128【分析】根据题意求出p、D（）的值，再根据公式计算D（
20、4+3）的值【解答】解：随机变量B（36，p），且E（）12，n36，np36p12，解得p，D（）np（1p）36（1）8，D（4+3）428128故答案为：128【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，是基础题14（5分）已知直线2xy+10与曲线ylnx+a相切，则实数a的值是2+ln2【分析】求出切点的坐标，代入切线方程求出a的值即可【解答】解：y，设切点是（x0，lnx0+a），则y2，故x0，lnx0ln2，代入切线得：1+ln2a+10，解得：a2+ln2，故答案为：2+ln2【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题15（5分）若，则1【分析】
21、在已知二项式定理中，分别取x0，x，联立即可求得【解答】解：由，取x0，可得a01，取x，可得，a01故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题16（5分）先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令x，则有x，两边平方，可解得x2（负值舍去）”那么，可用类比的方法，求出2+的值是1+【分析】利用类比的方法，设2+x，则2+x，解方程可得结论【解答】解：设 2+x，则2+xx22x10x1，x0，x1+，故答案为：1+【点评】本题考查类比推理，考查学生的计算能力，解题的关键是
22、掌握类比的方法三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）在（2）6的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含x2的项【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，求得第3项的二项式系数及系数（2）在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项【解答】解：（1）在（2）6的展开式中，第3项的二项式系数为15，又T3（2）4 240x，所以，第3项的系数为240（2）Tk+1（2）6k（1）k26kx3k，令3k2，得k1，可得含x2的项为第2项，且T2192x2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式
23、系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题18（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数（1）求X的分布列（结果用数字表示）；（2）求所选3个中最多有1名女生的概率【分析】（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选3人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，且，由此能求出X的分布列（2）由X的分布列能求出所选3人中最多有一名女生的概率【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选3人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，且，P（X0），P（X1），P（X2），X的分布列为：X012P（2）由（1）知所选3人中
24、最多有一名女生的概率为：【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布的性质的合理运用19（12分）某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）808682888490销售量y（件）887885758266（1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？【分析
25、】（1）先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程（2）设定价为x，得出利润关于x的函数f（x），利用二次函数的性质求出f（x）的极大值点【解答】解：（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为A（83，83），B（85，80），C（87，74）85，792.25，79（2.25）85270.25售价与销量的回归直线方程为2.25x+270.25（2）设定价为x元，则利润为f（x）（x40）（2.25x+270.25）2.25x2+360.25x10810当x80时，f（x）取得最大值，即利润最大【点评】本题考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档
26、题20（12分）为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望附：K2P（K2k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.828【分析】（）由题意求出
27、K2，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（I）由题意：K27.822K27.8226.635，有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，X的分布列为：X0123PE（X）2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一21（12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个，每张卡片被取出的概率相等（）如果从盒
28、子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；（）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片，设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望【分析】（）直接利用古典概型的概率公式求解即可；（）由题意知抽取的次数可能取值为1、2、3、4，计算概率的分布列，再求出数学期望【解答】解：（）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”，因为奇数加奇数可得偶数，偶数加偶数也得偶数，所以P（A），即所得新数是偶数的概率为；（）根据题意，所有可能的取值为1，2，3
29、，4；计算P（1），P（2），P（3），P（4）；所以的分布列为：1234P数学期望为E（）1+2+3+4【点评】本题主要考查了排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，也考查了运用知识解决实际应用问题的能力22（12分）已知函数f（x）（x1）ex（）求f（x）的单调区间；（）证明：当a0时，方程f（x）a在区间（1，+）上只有一个解；（）设h（x）f（x）aln（x1）ax，其中a0若h（x）0恒成立，求a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到函数g（x）在（1，+）的零点个数，求出方程在（1，+
30、）的解的个数即可；（）设h（x）f（x）aln（x1）ax，a0，根据函数的单调性求出函数的最小值，h（x0）（x01）aln（x01）ax0aalna0，求出a的范围即可【解答】解：（）由已知f（x）ex+（x1）exxex，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，故f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；（）设g（x）f（x）a（x1）exa，a0，g（x）xex，由（）知，函数g（x）在区间（0，+）递增，且g（1）a0，g（a+1）aea+1aa（ea+11）0，故g（x）在（1，+）上只有1个零点，方程f（x）a在区间（1，+）上只有1个解；（）设h（x）f（x）aln
31、（x1）ax，a0，h（x）的定义域是x|x1，h（x）xexa（x1）exa，令h（x）0，则（x1）exa0，由（）得g（x）（x1）exa在区间（1，+）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x01）a0，故h（x），h（x）在区间（0，+）上的情况如下：x（1，x0）x0（x0，+）h（x）0+h（x）递减极小值h（x0）递增函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）（x01）aln（x01）ax0，由（x01）a0，得x01，故h（x0）alnaalna，由题意h（x0）0，即aalna0，解得：0ae，故a的范围是（0，e【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数的零点以及函数恒成立问题，是一道综合题