1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:五年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题 第03讲鸡兔同笼问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题; 掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 大约一千五百年前,我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题: 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 意思是:笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题,就是我们今天要学习的内
2、容。解决鸡兔同笼问题的主要方法有:1、砍足法(抬腿法)解答思路:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”这样,鸡和兔的脚的总数就由只变成了只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多因此,脚的总只数与总头数的差,就是兔子的只数,即(只)显然,鸡的只数就是(只)了 2、假设法(经典)鸡兔同笼问题的基本关系式是:如果假设全是兔,那么则有: 鸡数=(每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡,那么就有: 兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数
3、3、方程法根据鸡兔的脚之和列方程解答。典例分析 考点一:图解法和列表法例1、鸡兔同笼,有20个头,54只脚,鸡兔各多少只?【解析】从有1只鸡开始一个一个地试,把试的结果列成表格。头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)2011978202187620317742041672202013754刚好,13只鸡,7只兔。这样做太麻烦,先假设兔和鸡各占一半。头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)2010106054201195820128562013754先假设兔和鸡各占一半,根据脚的总数量与实际数量的大小关系,确定减少鸡还是兔,这样就减少列举的次数。例2、有鸡兔共30只,兔脚比鸡脚多60只,问鸡兔各多少只?【解析
4、】可以用列表的方式,先假定鸡兔各占一半,头(个)鸡(只)兔(只)鸡脚兔脚鸡兔脚之差3015153060303014162864363013172668423012182472483011192652301020208060所以10只鸡20只兔。点评:从表中可以看出:增加一只兔,减少一只鸡,它们的脚数差增加6.同样,减少一只兔,增加一只鸡,它们的脚数差减少6.也就是说,用一只鸡换一只兔,脚数差的变化为6只。例3、笼子里有鸡和兔共8只,一共22条腿。鸡和兔各有几只?【解析】本题可以用列表法解答,现在我们用另一种方法图解法来解答。第一步:先画8个 表示鸡兔共有8个头 。第二步:给每个头都配上2条腿,
5、共16条腿,这样8只全是鸡。第三步:把剩下的6条腿配在3个图上,这样2条腿的有5个,4条腿的有3个。也就是有5只鸡,3只兔。把上面的过程列成算式:假设全是鸡:8个头只需要16条腿82=16(只)还剩下6条腿:22-16=6(只)再把6条腿加在3只鸡上,就变成3只兔。62=3(只)考点二:假设法例1、有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只?【解析】假设20只全是鸡,那么就有鸡脚202=40只,比实际少了44-40=4只,是因为每只兔少算了4-2=2只脚,所以兔有42=2只。鸡有20-2=18只。例2、鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?【解析】假设100只都是鸡,没有兔,那么
6、就有鸡脚200只,而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180(只)。现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只),而180630,因此有兔子30只,鸡100-3070(只)。解:有兔(2100-20)(24)30(只),有鸡100-30=70(只)。答:有鸡70只,兔30只。例3、现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。问:大、小瓶各有多少个?【解析】小瓶有(450-20)(42)30(个),大瓶有50-3020(
7、个)。答:有大瓶20个,小瓶30个。例4、彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。买了16套彩色文化用品,则共需1916304(元),比实际多30428024(元),是因为普通文化用品每套多算了19118(元),所以买普通文化用品 2483(套),买彩色文化用品 16313(套)。例5、100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚
8、各有多少人?【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300140160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少312(个),因为160280,故小和尚有80人,大和尚有1008020(人)。同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试。在下面的例题中,我们只给出一种假设方法。考点三:列方程解决鸡兔同笼问题例1、鸡、兔共笼,鸡比兔多20只,足数共280只,问鸡、兔各几只?【解析】本题可以用假设法解答。假设鸡与兔
9、的数量一样,则足数共280-202=240只,则兔有240(4+2)=40只,鸡有40+20=60只。鸡兔同笼问题除了用假设法解答外,还可以用方程解答解:设有x只鸡,则有x-20只兔。根据足数共280只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40答:鸡60只、兔40只。例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”,小船看成“鸡”,学生看成“脚”。解:设大船x条,小船10-x条。 6x+4(10-x)=41+1 X=110-1=9答:大船租1条、小船租9条。例3
10、、大院里养了三种动物,每只小山羊戴着3个铃铛,每只狮子狗戴着一个铃铛,大白鹅不戴铃铛小明数了数,一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛,三种动物各有多少只?【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题,应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件,即把狮子狗与小山羊看成“兔”,大白鹅看成“鸡”,这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”,大白鹅看成“鸡”。解:设小山羊和狮子狗共有x只,大白鹅有9-x只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4再设小山羊有y只,狮子狗有5-y只 3y+(5-y)=11 Y=35-3=2答:小山羊有3只,狮子狗有2只
11、,大白鹅有4只。例4、小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多问小毛做对几道题?【解析】设错了x题,对了20-2x题。 5(20-2x)-2x=64 X=3 20-23=14答:小毛做对14道题.点评:将三种以及更多的动物/东西,转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。即:抓住转化后的“头”与“脚”。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、今有鸡兔共居一笼,已知鸡头与兔头共35个,鸡脚与兔脚共94只,问鸡兔各几只?【解析】假设全是鸡,那么就有鸡脚352=70只,比实际少了94-70=24
12、只,是因为每只兔少算了4-2=2只,所以兔有242=12只。鸡有35-12=23只。2、鸡与兔共有200只,鸡的脚比兔的脚少56只,问鸡与兔各多少只?【解析】假设200只都是兔,没有鸡,那么就有兔脚2004=800只,而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多800只,而实际上只多56只,比实际的差多800-56=744(只)。是因为每只鸡换成兔,鸡的脚减少2只,兔的脚增加4只,也就是一只鸡变成一只兔,兔的脚与鸡的脚之差就会增加6只。因此鸡有7446124只,兔子200-134=76只。3、在一个停车场上,现有车辆辆,其中汽车有个轮子,摩托车有个轮子,这些车共有个轮子,那么三轮摩托车有多少辆?【解析】假
13、设都是三轮摩托车,应有341=123(个)轮子,少了127-123=4(个)轮子每把一辆汽车假设为三轮摩托车,会减少4-3=1(个)轮子汽车有41=4(辆);从而求出三轮摩托车有41-4=37(辆)或者假设都是汽车,应有441=164(个)轮子,多了164-127=37(个)轮子;所以摩托车有37(4-3)=37(辆)4、小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?【解析】利用假设法,假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样,那么两人跳的总数减少了12(2+3)60(下)。可求出小乐每分钟跳(78060)
14、(2+3+3)90(下),小乐一共跳了903270(下),因此小喜比小乐共多跳7802702240(下)。5、列方程解答:鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?【解析】设鸡x只,兔100-x只。 2x-4(100-x)=20 X=70 100-70=30答:鸡70只、兔30只。6、五年二班全体同学,植树节那天共栽树180棵平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵;又知女生比男生多4人,该班男生和女生各多少人?【解析】设男生x人,女生x+4人。 5x+3(x+4)=180 X=21 21+4=25答:该班男生有21人,女生有25人。7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的
15、3种糖果共100千克,共收入2570元已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元,那么,每千克25元的糖果售出了多少千克?【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元,则每千克20元的收入:元,所以卖出:千克,所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共千克,相当于将题目转换成:卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克,收入1970元,问:每千克25元的糖果售出了多少千克?转换成了最基本的鸡兔同笼问题 课堂反击1、鸡兔同笼,头共,足共,鸡兔各几只?【解析】假设46只都是兔,一共应有446=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚,这
16、是因为我们把鸡当成了兔子,如果把1只鸡当成1只兔,就要比实际多4-2=2(只)脚,那么56只脚是我们把562=28只鸡当成了兔子,所以鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18(只)2、鸡、兔同笼,鸡比兔多只,足数共只,问鸡、兔各几只?【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和,鸡比兔多的只数,求鸡、兔各几只我们假设鸡与兔只数一样多,那么现在它们的足数一共有: 274-226=222(只),每一对鸡、兔共有足: 2+4=6(只),鸡兔共有对数(也就是兔子的只数): 2226=37(对),则鸡有37+26=63(只)3、工人运青瓷花瓶250个,规定完整运到目的地一个给运费20元,损坏一个倒赔100元
17、运完这批花瓶后,工人共得4400元,则损坏了多少个?【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差(元),即损1个花瓶不但得不到20元的运费,而且要付出120元本例可假设250个花瓶都完好,这样可得运费20250=5000(元)这样比实际多得5000-4400=600(元) 就是因为有损坏的瓶子,损坏1个花瓶相差120元现共相差600元,从而求出共损坏多少个花瓶根据以上分析,可得损坏了(20250-4400)(100+20)=5(个)4、某学校有30间宿舍,大宿舍每间住6人,小宿舍每间住4人已知这些宿舍中共住了168人,那么其中有多少间大宿舍?【解析】如果30
18、间都是小宿舍,那么只能住430=120(人),而实际上住了168人大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2(人),所以大宿舍有(168-120)2=24(间)5、学校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120个学生进行活动。问:象棋与跳棋各有多少副?【解析】假设26副全是跳棋,那么可供266=152人活动,比实际多了156-120=36人,是因为每副象棋多算了6-2=4人,所以象棋有364=9副。跳棋有26-9=17副。6、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错或不做一题倒扣1分小华得了88分,问他做对几题?【解析】设作对x题,做错和不做共有20-x题。 5x-(20-x
19、)=88 X=1820-18=2答:他做对18题.7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。问:贺年卡、明信片各买了几张?分析:把贺年卡看成“兔”,明信片看成“鸡”,单价就是鸡兔的脚,总价40元就是“脚和”,14张就是“头和”。解:设贺年卡x张,明信片14-x张。 3.5x+2.5(14-x)=40 X=5 14-5=9答:贺年卡买了5张、明信片买了9张。直击赛场 S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 名师点拨 解决鸡兔同笼问题的主要方法有:1、列表法根据鸡与兔的数量和,把所有可能的情况列举出来,找到符合条件的解。一般采用半数列举法,
20、即假定鸡兔各占一半,这样列举可以减少列举的次数,提高效率。2、图示法先画出所有的头,再把每个头上画上2只脚,再把剩下的脚画在部分图上,每个图上加上2只脚,直到脚全部用完。这样,有4只脚的就是兔子,2只脚的就是鸡。也可以把每个头上画上4只脚,再从有4只脚的头上取下2只画在没有脚的头上,直到所有的头都有脚。这样有4只脚的就是兔子,2只脚的就是鸡。3、假设法假设全是鸡或全是兔,计算脚数与实际脚数的差,分析产生差的原因,利用产生差的原因解题。变形题注意对假设对象的调整,根据不同的情况做合理假设,不可千篇一律。4、方程法利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是:鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和变形题注意数量关系的变化。5、关于鸡兔同笼变形题先在题中找到对应的“鸡”和“兔”,“鸡脚”和“兔脚”,再按照鸡兔同笼的方法解答。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是