1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第08讲尾数与余数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解尾数、余数概念； 掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法； 培养学生观察发现、总结归纳的学习能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、基本概念1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。377896的尾数是6,573450的尾数是0.2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。356=55,余数是5； 188813=62932,余数是2.尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利
2、用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。二、方法技巧 解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答：1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题；2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周期就是几；3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直接求出余数了。典例分析 考点一：分解被除数写出符合条件的除数例1、写出除213后余3的全部两位数。 【解析】因为213=2103，把210分解质因数：210=2357，所以，符号题目要求的两位数有25=10，27=14，35=15，37=2
3、1，57=35，235=30，237=42，一共有7个两位数。例2、写出除1290后余3的全部三位数 【解析】因为1290=1287+3，把1290分解质因数：1287=331113，所以只要3,11,13这三个数组合相乘，得到的三位数就都满足条件。符合条件的三位数有：3313=117,1113=143,31113=429。考点二：确定一个乘积结果的尾数例1、125125125125100个25积的尾数是几？【解析】因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5，所以这个乘积结果的尾数就是5。例2、444450个4积的个位数是几？【解析】我们先列举前几个4的积，看看个位
4、数在怎样变化，1个4个位就是4；44的个位是6；444的个位是4；4444的个位是6由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。502=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。考点三：确定循环类结果的数字或余数例1、把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？【解析】因为0.142857142857，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于1006=164，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。例2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000
5、个数被3除后所得的余数是多少？【解析】这组数除以3的余数是按照2,2,1,0,1,1,2,0这8个一组的周期循环重复的，10008=125，余数是0，第1000个数被3整除后所得的余数就和第8个余数相同，也就是余数是0。考点四：采用试除法解决余数问题例1、555552001个513，当商是整数时，余数是几？【解析】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现，重复周期是6。20016=3333，所以，当商是整数时，余数是4。例2、44446100个4，当商是整数时，余数是几？【解析】经过
6、试除发现余数是按照2、0、4这三个数字不断重复出现，重复周期是3。1003=331，所以，当商是整数时，余数是2。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？【解析】注意区别除与除以的含义。178-3=175,175=557，所以符合条件的两位数有：25，35。2、（2126）（2126）（2126）100个（2126）积的尾数是几？【解析】每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（2126）连乘，积的个位还是6。3、999
7、951个9积的个位数是几？【解析】51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，循环周期是2，512=251，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。4、写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？【解析】= 0.714285714285这是一个循环小数，循环节为714285循环周期为6，506=82所以，第50个数字为循环节的第2个数字，即为1。5、66664100个6 当商是整数时，余数是几？【解析】经过试除后发现无论多少个6，余数都是2，所以100个6时，余数仍为2。6、94949494102个94494949101个49，差的个位是多少？【解析】4=4，44=16，444=64
8、，4444=256，发现若干个94相乘积的尾数以：4、6重复出现，循环周期是2，102 2=51，所以102个94相乘的积尾数是6；同理可知若干个49相乘积的尾数以9、1重复出现，循环周期是2,1012=501，所以101个49相乘的结果以9为尾数。作差时，个位6-9，不够减，需向前借一位，16-9=7，所以差的个位，及差的尾数是7。7、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？【解析】这串数依次为：3、 10 、13、 23、 36 、59、 95 、154被3除的余数为0、1、1、2、0、
9、2、2、1、0、1是0、1、1、2、0、2、2、1的循环,周期为8，19913=6632也就是第二个数,所以余数是1。 课后反击1、写出除109后余4的全部两位数【解析】除109，所以109是被除数。109-4=105,105=537，所以符合条件的两位数有53=15，37=21，57=35。2、1.51.51.51.5200个1.5积的尾数是几？【解析】尾数是5，因为无论多少个5相乘，都遵循55=25。3、（1263）（1263）（1263）（1263）1000个（1263）积的尾数是几？【解析】尾数是6，一组23=6，而不论多少组，都遵循66=36。4、把化成小数，求小数点后面第2001位
10、上的数字。【解析】111=0.090909结果以09为循环节，周期是2,20012=10001，所以第2001位上的数字是0。5、88887200个8 当商是整数时，余数是几？【解析】经试除后发现，余数以1、4、6、2、5、2、0，重复循环出现，循环周期是6，2006=332，所以结果的余数是4。6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，。这列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第1992个数被5除余数是几？【解析】设这串数为a1，a2，a3，a1992，据题意可知：a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+
11、3a5 =1+1+2+3+4a1992 = 1+1+2+3+1991=1+（1+199）19912=1+9961991；因为9965=1991，19915=3981，所以9961991的积除以5余数为1，1+9961991除以5的余数是2。因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。故答案为：2。7、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？【解析】（1）甲数和乙数的和除以9的余数与甲、乙两数分别除以9，所得的余数和除以9的余数相等。（5+7）9=13，余数是3。（2）甲数
12、减乙数所得的差除以9的余数与甲、乙两数分别除以9，所得的余数差除以9的余数相等。（7-5）9=02，余数是2。（3）甲数与乙数的积除以9的余数与甲、乙两数分别除以9，所所得的余数积除以9的余数相等。759=38，余数是8。8、12100+1299+123+12+1的个位数字是几？【解析】这个和的个位数字只取决于1+12+123+1234的个位数，因为从12345开始，每项的个位数都是0，而1+12+123+1234=33，所以这个式子和的个位数字是3。直击赛场 1、【2015希望杯初赛】9个13相乘，积的个位数字是【解析】113个位是3，1313个位是9,131313个位是7，13131313
13、个位是1，发现乘积结果的个位数字（尾数）以3、9、7、1循环，周期为4。94=21，所以积的个位数字是3。2、【2015希望杯初赛】如果自然数、b、c除以14都余5，则+ b+c除以14，得到的余数是【解析】5+5+5=15,1514=11，所以得到的余数是1。3、【2016鹏程杯】设=1+21+22+23+24+2999+21000，则被3除的余数是 【解析】=1+2（1+2）+23（1+2）+25(1+2)+ +2999(1+2)，所以被3除的余数是1。4、【2016 华罗庚金杯小学高年级组决赛题C】 n为正整数，形式为2n-1的质数称为梅森数，例如：22-1=3，23-1=7是梅森数。最
14、近，美国学者刷新了最大的梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是【解析】这个梅森数是2742072811，21=2 24=16 27=12822=4 25=32 28=25623=8 26=64 2n的个位数字以2、4、8、6重复，循环周期为4，742072814=185518201，所以274207281的末尾数字是2，梅森数2742072811的个位数字是1。S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、分解被除数写出符合条件的除数2、确定一个乘积结果的尾数3、确定循环类结果的数字或余数4、采用试除法解决余数问题名师点拨 1、当需要求解有规律的一组数字的尾数（个位数字时），找到循环周期是关键，最后用要求解的数除以周期，根据余数得到个位数字的顺序，最终得到答案。2、两个数分别除以同一个数，得到2个不同的余数，则这两个数和、差、积的余数就是这2个余数的和、差、积与这个除数作商的余数。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是