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五年级奥数第20讲-最小公倍数(教)

1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:五年级课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第20讲最小公倍数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握倍数和最小公倍数的概念,最小公倍数的求法; 会利用最小公倍数解决实际问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。如:2和6是12的约数,12是2的倍数,12也是6的倍数;18的约数有1、18、2、9、3、6。注意:一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。任何数都有最小的约数1,最大的约数本身,最小的

2、倍数也是本身。一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3的倍数有:3、6、9、12其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。因数和约数的区别:约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数。二、 2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数三、质数与合数(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)(2)除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数(3)1既不是质数,

3、也不是合数(4)100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。(5)几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。记作2,3=6。如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的

4、公倍数的个数是无限的。注意:最大公约数最小公倍数=两数的乘积,即(a,b)a,b=ab。典例分析考点一:最小公倍数的求法例1、列举法:求6和10的最小公倍数。【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数,再从中找出公倍数和最小公倍数。6 的倍数:6 ,12 , 18 ,24 ,30,36,42,48 10 的倍数:10 ,20,30,40,50 所以6和10的最小公倍数是30。例2、短除法:求56和24的最小公倍数。【解析】 2 56 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56和24的最小公倍数是22273=168例3、分解质因数法:求120和100的最小公倍数【解析】120=22235 10

5、0=2255 120,100=222355=600例4、多个数求最小公倍数:求45、60和75的最小公倍数【解析】3 45 60 903 15 20 30 5 5 20 10 2 1 4 2 1 2 145,60,90=180 (当除到任意两数还有公因数时,则还要继续除下去)考点二:应用最小公倍数巧算例1、一次数学竞赛均是填空题,小明答错的恰是题目总数的,小亮答错5道题,两人都答错的题目占题目总数的,已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半,则他们都答对的题有多少道【解析】因小明答错的恰是题目总数的,两人都答错的题目占题目总数的,所以题目的总数应是4和6的倍数,然后根据小明、小亮答对的题

6、目数超过了试题总数的一半,分情况进行解答。解:已知题目个数一定是整数设为XX是4和6的倍数且5,X30;有X-5,X10;5时,即X20时,所以X=24;答:都答对的题有24-5-6+4=17。例2、某加油站有二位员工,从今年l月1日起规定:员工甲每工作3天后休息1天,员工乙每工作5天后休息2天,当遇到二人都休息时,必须另聘一位临时工,则今年共有多少天要聘1个时工人?【解析】甲每到4的倍数就休息,而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息因为4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年,所以在28的倍数休息的日子时;3652815(天),而在比7的倍数少一天休息时,甲乙第一次重逢的日子是第二十天,以

7、后每隔28天就共同休息一天,365-20=345(天),3452812(天)所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28(天)例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个?(希望杯考题)【解析】这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:964+1=25(个)后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑

8、不必重新挖。9612+1=9(个)答:。重新挖树坑时可以少挖9个。考点三:最小公倍数综合例1、有一些画片,如果平均分给3个同学,还余1张;如果平均分给5个同学,还余3张;如果平均分给4个同学,则少2张这些画片至少有多少张?【解析】由于平均分给3个同学,还余1张则这个数减1是3的倍数;如果平均分给5个同学,还余3张则这个数减3是5的倍数;如果平均分给4个同学,则少2张则这个数加2是4的倍数因此,我们可从3,4,5的最小公倍数入手来分析一下,3,4,5的最小公倍数为346=60由于是求最小,我们可从减开始,如果平均分给4个同学,则少2张,60-2=58,583=191,585=113,所以这个数最

9、小为58解:根据题意可知,这个数减1是3的倍数,减3是5的倍数,加2是4的倍数3,4,5的最小公倍数为346=6060-2=58,583=191,585=113,所以这个数最小为58例2、有一位天文观察家,他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的,只要是年份数除以10余数是5,且被3、5、7、9除时,没有余数,从公元00年到公元2000年时,星球飞近多少次?【解析】因为3、5、7、9的最小公倍数是:579=315,所以2000以内,3、5、7、9的公倍数有:315、630、945、1260、1575、1890;其中630、1260、1890是10的倍数,不符合题意;所以公元315年、945年、1

10、575年行星靠近地球,即共有3次答:从公元00年到公元2000年时,星球飞近3次P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击一、填空题1、30以内3的倍数有(),4的倍数有(),3和4的公倍数有(),最小公倍数是()。【解析】( 3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 ),( 4、8、12、16、20、24、28 ),(12、24),(12)2、在12、15、36、64、450、950六个数中,是3的倍数有(),是5的倍数的有(),是2的倍数的有();是2和5的公倍数的有(),是2和3的公倍数的有(),是3和5的公倍数的有();同时是2、3和5的公倍数的数是

11、()。【解析】(12、15、36、450),(15、450、950),(12、36、64、450、950),(450、950),(12、36、450),(15、450),(450)3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数,最大是(),最小是()。【解析】(7530),(3570)4、要使601既是2的倍数,又是3的倍数,那么里可以填()。【解析】(2、5、8)二、解答题5、写出每组数的最小公倍数8和1051和35和457和1991和79和1【解析】40,51,20,57,91,96、一个汽车站内有两路公共汽车甲路汽车每隔4分钟发出一辆,乙路汽车每隔6分钟发出一辆,至少每隔多

12、少分钟,两路汽车会同时发车?【解析】4和6的最小公倍数为12,如果每天两车首发为同一时间的话,则两车至少每隔12分钟会同时发车。7、一排路灯,原来每两盏之间的距离是30米,现在改用50米,如果起点的一盏路灯不动,至少再隔多少米又有一盏不必移动?【解析】因为30和50的最小公倍数是150,所以至少再隔150米又有一盏不必移动;答:至少再隔150米又有一盏不必移动8、有一批水果,总数在1000个以内。如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。这批水果共有多少个?【解析】根据题意可知,这批水果再增加2个后,每24个装一箱,每28

13、个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数,也就是说,只要把这批水果增加2个,就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。24,28,32=6726722=670(个)即:这批水果共有670个。 课后反击一、判断题1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。()2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。()【解析】,二、选择题3、a 是一个质数,则a的倍数有()个 A、1个 B、2个 C、无数个4、如果b是一个整数,那么2b一定是()A、合数 B、偶数 C、素数【解析】C,B三、解答题5、甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数

14、到图书馆去一次。甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。6、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?【解析】9和90或18和45。7、一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?【解析】把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、

15、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。答案:150块8、甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?【解析】甲跑一圈需要6003=200秒,乙跑一圈需要6004=150秒,丙跑一圈需要6002=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。直击赛场S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 倍数和最小公倍数的概

16、念,最小公倍数的求法;2、利用最小公倍数解决实际问题。名师点拨1、解答与公因数或公倍的应用题,关键是先求出最大公因数或最小公倍数,然后按题意解答要求的问题。最小公倍数的应用题,解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,使问题转换成已知数的最小公倍数,从而求出结果。2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作a、b,当(a、b)=1时,a、b= ab。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:最大公约数最小公倍数=两数的乘积即(a、b)a、b= ab要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是