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六年级奥数第10讲-一般工程问题(教)

1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:六年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第10讲-工程问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解工作量、工作时间及工作效率的意思; 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率; 理解三者之间的关系,并用三者关系解题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的,还包括水管注水、行路等许多方面。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间,且这三者之间具有如下关系式:工作量=工作效率工作时间工作时间=工作量工作效率工作效率=工作量工作

2、时间工作量指工作的多少,它可以是全部工作量,一般用单位“1”表示;也可是部分工作量,常用分数表示。例如,工程的一半表示成,工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢,也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复合单位,用“工作量天”或“工作量时”等表示。但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。工程问题可分为两类:一类是已知具体工作量,另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时,我们要遵循以下原则:一是工作量没有具体给出的,可设工作量为单位“1”;二是由于工作总量为“1”,那么,参与这项工作的每个人(队)单独做的工作效率可用此人(队)单独做的工作时间的倒数表示。典例分析 考点一:用

3、“组合法”解工程问题 在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径例1、一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能完成工程的,乙队单独完成全部工程需要几天?【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是,只要求出甲队或乙队的工作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,就可以求出甲队2天的工作量3,从而求出甲队的工作效

4、率。所以: 1(3)(53)20(天 答:乙队单独完成全部工程需要20天。例2、一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙队做2天,则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天?【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是:(3)2;再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意,可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成,即可求出相等的时间。 (1)乙队每天完成这项工程的 (3)2 (2)两段时间一共是 1(2+)26(天) 答:两段时间一共是6天。例3、一项工作,甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后,

5、乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的;如果甲、乙合做3小时后,丙做6小时,也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做,需几小时完成?【解析】将条件“甲工作6小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时,甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”,则求出甲的工作效率。同理,运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几 (2)(62) 丙每小时完成这项工程的几分之几 (3)(63) 甲、丙合做需完成的时间为: 1(+)7(小时) 答:甲、丙合做完成需要7小时。考点二:特殊工程问题 有些工程题中,工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显,这

6、时我们就可以考虑运用一些特殊的思路,如综合转化、整体思考等方法来解题。例1、修一条路,甲队每天修8小时,5天完成;乙队每天修10小时,6天完成。两队合作,每天工作6小时,几天可以完成?【解析】把前两个条件综合为“甲队40小时完成”,后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则 1+6=4(天) 或1(+)6=4(天) 答:4天可以完成。例2、有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时。甲和丙在A仓库,乙在B仓库,同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后,两个仓库同时搬完,丙帮助甲、乙各多少时间?【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上

7、看,相当于三人共同完成工作量“2” 三人同时搬运了 2(+)=8(小时) 丙帮甲搬了 (1-8)=3(小时) 丙帮乙搬了 8-3=5(小时) 答:丙帮甲搬了3小时,帮乙搬了5小时。例3、甲、乙两人合作加工一批零件,8天可以完成。中途甲因事停工3天,因此,两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件,需要多少天才能完成?【解析】解法一:先求出乙的工作效率,再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 甲、乙同时做的工作量为(10-3) 乙单独做的工作量为1 乙的工作效率为3= 甲的工作效率为 甲单独做需要的天数为112(天)解法二:从题中得知,由于甲停工3天,致使甲、乙两人多做了(10-

8、8=)2天。由此可知,甲3天的工作量相当于这批零件的28=1/4 3(10-8)8=12(天)或 38(10-8)=12(天) 答:甲单独做需要12天完成。考点三:周期工程问题周期工程问题中,工作时工作人员(或物体)是按一定顺序轮流交替工作的。解答时,首先要弄清一个循环周期的工作量,利用周期性规律,使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间,这样才能正确解答。例1、一项工程,甲单独做需要12小时,乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时两人如此交替工作,问完成任务时需共用多少小时?【解析】把2小时的工作量看做一个循环,先求出

9、循环的次数。 需循环的次数为:1(+)=7(次) 7个循环后剩下的工作量是:1-(+)7= 余下的工作两还需甲做的时间为:=(小时) 完成任务共用的时间为:27+=14(小时) 答:完成任务时需共用14小时。例2、一项工程,甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成?【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示

10、如下: 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙甲竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,乙做一天等于甲做半天,即甲的工作效率是乙的2倍。 甲每天能做这项工程的126= 甲单独做完成的时间1=40(天) 答:这项工程由甲单独做需要40天才能完成。例3、打印一部稿件,甲单独打要12小时完成,乙单独打要15小时完成。现在,甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时如此这样交替下去,打印这部书稿共要多少小时?【解析】根据已知条件,我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中,甲、乙都工作了3小时。 每循环一次,他们共完成

11、全部工程的(+)3 总工作量里包含几个9/20:1=2 甲、乙工作两个循环后,剩下全工程的1-2 由于,所以,求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为(-) 打印这部稿件共需的时间为:62+1+=13(小时) 答:打印这部稿件共需13小时。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小时完成,先由哥哥栽了3小时后,又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的没有栽,已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵?【解析】把“哥哥先栽了3小时,弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后,哥哥又独做了2小时”,就可以求出哥

12、哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每小时栽总数的几分之几 (11)(31) 一共要移栽的西红柿苗多少棵 7()112(棵) 答:共要移栽西红柿苗112棵。2、一条公路,甲队独修24天可以完成,乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路,几天可以完成?【解析】将条件“先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修(4+7)11天后,再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。 丙队每天修这条公路的 1(+)(4+7) 三队合修完成时间为 1(+)10(天) 答:10天可以

13、完成。3、一件工作,甲独做要20天完成,乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天,然后由乙继续做完,从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天?【解析】解法一:根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答,很容易理解。 设甲做了x天,则乙做了(14-x)天。 x+(14-x)=1 X=5解法二:假设这14天都由乙来做,那么完成的工作量就是14,比总工作量多了14-1=,乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=,因此甲做了 =5(天) 答:这件工作由甲先做了5天。 4、放满一个水池的水,如果同时开放号阀门,15小时放满;如果同时开放号阀门,12小时可以放满;如果同时开放号阀门,8小时

14、可以放满。问:同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池?【解析】从整体入手,比较条件中各个阀门出现的次数可知,号阀门各出现3次,号阀门各出现2次。如果+再加一个,则是五个阀门各放3小时的总水量。 1(+)3=13=6(小时) 答:同时开放这五个阀门5小时可以放满这个水池。5、一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天数完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5:3。甲、乙每天各做多少个?【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种

15、轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下: 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙剩60个竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为:60(5-3)5=150(个) 乙每天做的个数为:60(5-3)3=90(个) 答:甲每天做150个,乙每天做90个。6、有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。

16、这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?【解析】由题意可以推出:按甲、乙、丙次序轮做,能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数,三种轮流方式完工的天数,必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做,用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下:甲乙丙,甲乙丙,甲乙丙, 甲乙丙甲,乙丙甲,乙丙甲, 乙丙丙甲乙,丙甲乙,丙甲乙, 丙甲从中可以退出:丙=甲;由于乙=甲丙=甲甲,又推出乙=甲;与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以,按甲、乙、丙的次序轮做,用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示:甲乙丙,甲乙丙,甲乙丙, 甲乙乙丙甲,乙丙甲,乙丙甲, 乙丙甲丙甲乙

17、,丙甲乙,丙甲乙, 丙甲乙由此推出:丙=甲,丙=乙 丙队每天做这项工程的= 乙队每天做这项工程的= 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1(+)=5(天) 答:甲、乙、丙合作要5天完工。7、有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余2,否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的,丙的效率也是乙的。(1) 丙的工作效率(2) 乙的工作效率

18、(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1(+)2天 答:这项工程由甲、乙、丙合作要2天完工。 课堂反击1、一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做5天,乙队再做4天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现,两段时间相等。这两段时间一共是几天?【解析】乙队的工作效率: (5)4 总共的天数: 1(+2)212天 答:这两段时间一共是12天。2、 一项工作,甲、乙、丙三人合做,4小时可以完成。如果甲做4小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的;如果甲、乙合做2小时后,丙再做4小时,可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成?【解析】甲队的工作效率 (2)

19、(42) 丙队的工作效率 (2)(42) 甲、丙合做需要的时间 1(+)6小时 答:这项工作如果由甲、丙合做需6小时完成。3、 一件工作,甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成?【解析】乙每小时做这件工程的 (14)(6+4) 甲、乙合做完成需要的时间 1(+)6小时 答:这件工作始终由甲、乙合做6小时可以完成。4、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管,24分钟能包空池灌满;单开乙管,18分钟能把空池灌满。现在,甲、乙两管轮流开放,按照甲1分钟,乙2分钟,甲2分钟,乙1分钟,甲1分钟,乙2分钟如此交替下去,灌满一池水共需几分

20、钟?【解析】把6分钟看作一个循环(1) 每循环一次的工作量(+)(1+2)(2) 总工作量里面有几个 13(3) 3个循环后剩下的工作量 13(4) 一共需要的时间 63+1+()20分钟 答:灌满一池水共需20分钟。5、有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余2,否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的,丙的效率也是乙的。(

21、1) 丙的工作效率(2) 乙的工作效率(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1(+)2天 答:这项工程由甲、乙、丙合作要2天完工。6、有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余1,否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的,乙的效率是甲的。(1) 丙的效率(2) 乙的效率(1)(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1(+)4天 答:这项工程由甲、乙、丙合作要4天完工。S(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 解题过程中,我们会发现,解答工程问题,常常是围绕找工作效率进行中,有些工作效率可以通过工作时间得到,而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时,我们要弄清原来的、现在的之间的关系,以两者关系为突破口解答问题。工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间,且这三者之间具有如下关系式: 工作量=工作效率工作时间 工作时间=工作量工作效率 工作效率=工作量工作时间 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是