1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：三年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第16讲-数字趣谈 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 在日常生活中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地掌握它。典例分析 考点一：枚举计数例1、在10和40之间有多
2、少个数是3的倍数？【解析】由尝试法可求出答案：34=12 35=15 36=18 37=21 38=2439=27 310=30 311=33 312=36 313=39例2、 在10和1000之间有多少个数是3的倍数？【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：103=31 说明10以内有3个数是3的倍数；10003=3331 说明1000以内有333个数是3的倍数。3333=330 说明101000之间有330个数是3的倍数。例3、从19九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【解析】将19的九个自然数从小到大排成一
3、列：1，2，3，4，5，6，7，8，9先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=29。依次做下去，可得11=38，11=47，11=56。共有4种不同的写法。例4、2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？【解析】2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：234=24，2429；235=30，3029，不合题意。所以，这三批学生的人数是2，3，4人。例5、一本连环画共100页，排页
4、码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排这本书的页码共要用多少个铅字？【解析】这道题可以分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用19=9个；从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用290=180个；第100页，只有1页共用3个铅字。所以这本书的页码共用91803=192个铅字。 例6、一本书共250页，求编码时需要多少个数码？【解析】由于本书的页码有一位数、 两位数、 三位数； 而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。 一位数：有9个，共需91=9个数码； 两位数：有90个，共需902=180个数码； 三位数：有250-99=151个，共需1513=453个
5、数码； 共需9+180+453=642个数码。 记住规律：一位数： 19，有9个；两位数： 1099，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数： 100999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数： 9000个；例7、 给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？【解析】刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算： 一位数：有9个，共计用去9个数码； 两位数：有90个，共需902=180个数码； 三位数：有900个，共需9003=2700个数码； 而此题只有 723个数码，多于9+180，小于 9+180+2700，说明数的页数是三位数。 一位
6、数和两位数共计用去9+180=189个数码， 还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码， 则还有5343=178个三位数， 第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。例8、 一本书的页码， 在印刷时必须用198个铅字， 自这一本书的页码中数字1出现多少次？【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码， 还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码， 则还有93=3个三位数， 第3个三位数是102，故本书有 102页。 那么本题转化为：一本书有102页，问1出现多少次？ 即相当于问： 1102里1出现的次数。 数少时可以按由小到大
7、的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。 因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。 本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的： 最多有3位数， 因此，1如果出现一定是在个位、十位、或百位。 所以我们把个、十、百位的1分类计数，然后再相加。 个位1： 1,11,21,31， 101。有11个；十位1： 10， 11,12， 19。有10个；百位1： 100,101,102。有3个。1出现24次。考点二：计数和数论的综合题例1、 13998这些自然数中，有多少个能被4整除？【解析】最简单的方法是找规律，除以几，数就有几种可能，如除以4，余数可能 03，共四种；连续自然数（或等差数列
8、）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以4余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1 周期为4,39984=9992，余下的2个为1和2，因此能被4整除的共999个。注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；除以4余1的和除以4余2的都有 999+1=1000个。例2、 12343998这些自然数中，有多少个能被4整除？【解析】 12343998共有3998-1234+1=2765个数。1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 除以4余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2 周期为4,27654=
9、6911，余下的一个是2，因此能被4整除的有691个。注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；除以4余2的都有691+1=692个。考点三：计数问题中的乘法原理 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。乘法原理： 一般的， 完成一个任务有N步， 第一步有A种做法， 第二步有 B种做法，第三步有C种做法，那么完成这个任务共有ABC种方法。例1、 从北京到天津有3种路线， 从天津到大连有4种路线， 那么从北京经过天津再去大连共有几种路线。【解析】完成任务分两步，第一步从北京到天津，第二步从天津到大连， 分步用乘法原理， 34=12例2、 17中选4个不同数字，组成四位数
10、，共有多少个？【解析】组成四位数，需要一位一位的确定各个位上的数字，分四步。 第一步： 17中选一个数字放到千位，共7种； 第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到百位，共6种； 第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到十位，共5种； 第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到个位，共4种； 分步用乘法： 7654=840种。 特殊元素优先排列，特殊位置优先考虑。例3、 17中选4个不同数字，组成四位奇数，共有多少个？【解析】特殊位置优先考虑 奇数，末位特殊， 1,3,5,7共4中选择。第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位，共6种；第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位，共5种；第
11、四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位，共4种； 分步用乘法： 4654=480种。考点四：数论中位值原理的应用位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。如： 1234=1000+200+30+4=11000+2100+310+411在千这个位置上，它代表的数值是1个1000；2在百这个位置上，它代表的数值是2个100；3在十这个位置上，它代表的数值是3个10；4在个这个位置上，它代表的数值是4个1；位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。位值原理的两种展开方式：（ 1）全部展开：如： 1234=11000+2100+310+41（ 2）分析题意，根据需要灵活展开
12、：如：1234=12100+341；12345=121000+3451；12345=123100+451；12345=121000+3410+51；例1、 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，那么，所得的三位数是原数的6倍。求这个两位数。【解析】 设原来的两位数是ab，那么新的三位数就是ab 0 ，新数是原数的6倍，得到方程： ab 0 =6ab（ a,b均为整数； 0a9； 0b9）根据位值原理： ab=10a+b； ab 0 =100a+b；则100a+b=6（ 10a+b） 100a+b=60a+6b 40a=5b 8a=b（ 0a9； 0b9） a=1,b=8原数为18。例2、 有一
13、个三位数， 个位数字是百位的2倍， 百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198， 求原数。【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198。设原数为abc，则新数为cba，原数+198=新数abc+198=cba100a+10b+c+198=100c+10b+a198=99c-99ac-a=2又，个位数字是百位的2倍，即c=2a，差倍问题， c=4,a=2又，百位数字与个位数字之和等于十位数字， b=a+c=6原数为264例3、 一个三位数，个位数字是 3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字当成十位数字，那么新
14、数比原数小171，求原数。【解析】 设原数为ab3，则新数为3ab，（ a,b均为整数； 0a9； 0b9）新数比原数小171，即：3ab+171=ab3（ 新数+171=原数）可以按刚才思路展开，但仔细分析后就会发现ab始终作为一个整体出现，可以用第二种展开方式： 3ab=300+ab， ab3=10ab+3，3ab+171=ab3300+ab+171=10ab+3，设ab=X，300+X+171=10X+3X=523原数为523。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、在20和50之间有多少个数是6的倍数？【解析】要想求出从20到50之间6的倍数的个数，根据找
15、一个数倍数的方法，列举出6的倍数，然后找出在 20-50范围内的即可6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、，所以在20到50之间6的倍数的个数：24、30、36、42、48，共五个；答：在20和50之间有5个数是6的倍数。 2、在1到1000之间有多少个数是4的倍数？【解析】在1到1000之间有多少个数是4的倍数，也就是说1000里面有几个4，用除法直接求出10004=250(个)，答：在1到1000之间有250个数是4的倍3、从19九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【解析】将13拆分成两个不同的自然数之和，只要从19中分别列举出来即可因
16、为，13=4+9=5+8=6+7，又因为和为13两个加数交换位置还是同一种写法，所以只有3种不同的写法。4、将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？【解析】根据分析可得，12=0+1+11=1+1+10=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+2+8=2+3+7=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4=0+2+10=0+3+9=0+4+8=0+5+7，去掉相同的自然数相加之和：1+1+10，2+2+8，2+5+5，3+3+6，4+4+4；还剩：175=12(种)；所以，共有12种不同的分拆方法。答：共有12种不同的分拆方法。5、2001年
17、5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？【解析】三个不同的数字中，2、3、4的乘积是24；比31小，3、4、5的乘积比31大，那么大概范围就是这几个数字；只有2、3、5的乘积最接近31；而且比31小，所以这三批学生最多是2人、3人和5人.故答案为：2人；3人；5人.6、将12个乒乓球分别标上自然数1、2、3、12作为球号，然后放在布袋中，甲、乙、丙三人各从袋中拿出4个球，而且三人各自所拿四个球的球号和都相等。甲的两个球标着5和12，乙的两个球标着6和8，丙的一个球标着1，问丙的其他三个球上分别标的是多少？【解析
18、】12个乒乓球上的数之和是12312=78，每人的4个球上数之和是26。 甲另外两球的数之和是26512=9， 乙另外两球之和是2668=12， 丙另外三球之和是261=25。 因为918=27=36=45， 但是1、5、6、8的球都在别人的手中， 所以甲剩下的两球上标有2和7。 又因为12=111=210=39=48=57，而1、2、5、7、8的球已经出现， 所以乙剩下的两球数字是3、9。那么丙所拿的球是4、10、11。7、有三个不同的数字，排列3次，组成3个三位数，这3个三位数相加的和是768，又知道计算的过程中没有进位，那么这3个数字连乘所得积是多少？【解析】因为没有进位，所以三个数字的
19、百位数字之和是7，十位数字之和是6，各位数字之和是8，而在每个三位数中，原来的三个数字各出现一次，那么有3倍的三个数字之和为768=21，这三个数字的和为213=7。因为3个数字各不相同，所以只能是1、2、4（不能是0），它们的积是124=8。 课后反击1从1开始，按照1、5、9、13的规律往下排，第100个数是多少？【解析】3972四张卡片上分别写着1、9、9、5，用它们组成的四位数中最大与最小的数之和是多少？【解析】99511599=115503猜谜语比赛，谜语按难易分为两类，每人可以猜三条，每猜对一条较难的谜语得3分，每猜对一条较容易的谜语得1分。结果有8人得1分，7人得2分，6人得3分
20、，5人得4分，4人得5分。问恰好猜对两条谜语的有多少人？【解析】得1分的人是猜对一条较易的；得2分的人是猜对两条较易的；得3分的人可能是猜对三条较易的，也可能是猜对一条难的；得4分的人是猜对一条较易的和一条难的；得5分的人是猜对两条较易的和一条难的；所以恰好猜对两条的有2分的，也有4分的，共有75=12人。4用5、7、2、0、8，这5个数字组成两个五位数，这两个五位数相减的差是66663。这两个数中较大的一个数可能是多少？【解析】首先两个五位数的首位只能是8和2，个位是5和2或0和7。因为两个五位数首位只能是8和2，所以五位数的个位只能是0和7，其它数位可以类推，8725020587=6666
21、3，8752020857=66663。较大的数可能是87250或87520。5有两个数，A的各位数字之和是35，B的各位数字之和是26，两数相加时进位三次，那么A+B的各位数字之和是多少？【解析】每进位一次，低位减10，高位加1，那么数字和减小9，现在两位数相加进位3次， 则数字和减小93=27。所以352627=34。6有一个四位数，去掉千位数字后所得三位数的15倍恰好是原来的四位数。求这个四位数？【解析】因为后三位数的14倍等于千位数字乘以1000，只有7000是14的倍数，所以这个数的千位数字是7， 后三位700014=500，这个四位数是7500。(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 学会综合运用枚举法、乘法原理、位值原理等方法解决数字问题。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是