1、2018-2019学年青海省西宁四中高二（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面2（5分）如图，在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是（）ABCD3（5分）一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A（+4）cm3B（+8）cm3Ccm3D（+4）cm34（5分）在ABC中
2、，BAC90，PA平面ABC，ABAC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A5B8C10D65（5分）正方体的内切球和外接球的半径之比为（）ABCD6（5分）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）AB4C4D67（5分）已知直线l1：yx+2a与直线平行，则a的值为（）AB1C1D18（5分）如果AB0，BC0，那么直线AxByC0不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9（5分）已知两条平行直线l1：3x+4y+50，l2：6x+by+c0间的距离为3，则b+c（）A12B48C36D12或4810（5分）已知a，b为不垂直的异
3、面直线，是一个平面，则a，b在内的射影不可能是（）A同一条直线B两条互相垂直的直线C两条平行直线D一条直线及其外一点11（5分）已知a，b满足a+2b1，则直线ax+3y+b0必过定点（）A（）B（）C（）D（）12（5分）直线xcos+y+20（为一切实数）的倾斜角的取值范围是（）AB0，）C）D）二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD与BC所成的角为 14（5分）如图，PA平面ABC，ABBC，PAABBC2，则二面角PBCA的大小为 15（5分）已知实数x，y满足5x+12y60，则的最
4、小值等于 16（5分）若过点P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 三解答题：（本大题共6小题，共70分）17（10分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点（1）求证：EF平面AA1B1B；（2）若AA13，AB2，求EF与平面ABC所成的角18（12分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（4，0），B（0，6），C（1，2）（1）求：过A，B的中点且与直线x+y20平行的直线方程；（2）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为l，求l与两坐标轴围成的三角形的面积19（12分）已知方程（m22m3）x+（2m2+m
5、1）y+62m0（mR）（1）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（2）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值；（3）若方程表示的直线l的倾斜角是45，求实数m的值20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE21（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD8，AD4，AB2DC4（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面
6、PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积22（12分）已知直线m：（a1）x+（2a+3）ya+60，n：x2y+30（1）当a0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系2018-2019学年青海省西宁四中高二（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共
7、面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3l1，l3所成的角是90l1l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选：B【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示2（5分）如图，在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确
8、的是（）ABCD【分析】利用直线斜率、截距的意义即可判断出结论【解答】解：直线yax经过原点直线yxa的斜率为1，在y轴上的截距为a假设a0，则a0，只有C符合，故选：C【点评】本题考查了直线斜率、截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A（+4）cm3B（+8）cm3Ccm3D（+4）cm3【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分左侧为长方体，右侧为半圆柱，则几何体的体积可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分左侧为长方体，右侧为半
9、圆柱，结合三视图可得，该几何体的体积为V（+4）cm3，故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题4（5分）在ABC中，BAC90，PA平面ABC，ABAC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A5B8C10D6【分析】利用线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质即可判断出【解答】解：PA平面ABC，PAAB，PAAD，PAAC，PAB，PAD，PAC都是直角三角形；BAC90，ABC是直角三角形；ABAC，D是BC的中点，ADBCABD，ACD是直角三角形由三垂线定理可知：BCPD，PBD，PCD也是直角三角形综上可知：直角三角形的个数是8个故选：
10、B【点评】本题考查了线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质，属于基础题5（5分）正方体的内切球和外接球的半径之比为（）ABCD【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是aa2r内切球，r内切球，a2r外接球，r外接球，r内切球：r外接球：3故选：D【点评】本题是基础题，本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，正方体的棱长是内切球的直径，考查计算能力6（5分）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）AB4C4D6
11、【分析】利用平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积【解答】解：因为平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，所以球的半径为：所以球的体积为：4故选：B【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力7（5分）已知直线l1：yx+2a与直线平行，则a的值为（）AB1C1D1【分析】利用两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，但在y轴上的截距不相等，可得（a22）1，22a，解得 a的值【解答】解：直线l1：yx+2a与直线平行，（a22）1，22a，解得a1故选：D【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，
12、但在y轴上的截距不相等，属于基础题8（5分）如果AB0，BC0，那么直线AxByC0不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案【解答】解：由题意可知B0，故直线的方程可化为，由AB0，BC0可得0，0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题9（5分）已知两条平行直线l1：3x+4y+50，l2：6x+by+c0间的距离为3，则b+c（）A12B48C36D12或48【分析】将l1：3x+4y+50改写为6x+8y+100，利用两条直线平行及距
13、离为3，即可求得结论【解答】解：将l1：3x+4y+50改写为6x+8y+100，因为两条直线平行，所以b8由3，解得c20或c40所以b+c12或48故选：D【点评】本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在内的射影不可能是（）A同一条直线B两条互相垂直的直线C两条平行直线D一条直线及其外一点【分析】以长方体为例，找出满足题意的两条异面直线和平面，然后判断选项是否正确【解答】解：不妨以长方体为例，则异面直线A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，C正确；异面直线AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂
14、直，B正确；异面直线DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及直线外一点，D正确；异面直线a、b在一个平面内的射影不可能是同一条直线，A错误故选：A【点评】本题考查了异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是基础题11（5分）已知a，b满足a+2b1，则直线ax+3y+b0必过定点（）A（）B（）C（）D（）【分析】利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标【解答】解：因为a，b满足a+2b1，则直线ax+3y+b0化为（12b）x+3y+b0，即x+3y+b（2x+1）0恒成立，解得，所以直线经过定点（）故选：B【点评】本题考查直线系方程的应用，考查
15、直线系过定点的求法，考查计算能力12（5分）直线xcos+y+20（为一切实数）的倾斜角的取值范围是（）AB0，）C）D）【分析】利用直线的斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：设直线xcos+y+20的倾斜角为则tancos，cos1，1，1cos1，即1tan1，解得0，）故选：B【点评】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数的单调性，属于基础题二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD与BC所成的角为600【分析】取BD的中点G，由题意及三角形中位线的性质可得EGF（或其补角）即
16、为AD与BC所成的角，EGF中，由余弦定理求得 cosEGF 的值，即得EGF 的值，从而得到AD与BC所成的角【解答】解：如图所示：取BD的中点G，连接GE，GF空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，故EG是三角形ABD的中位线，GF是三角形CBD的中位线，故EGF（或其补角）即为AD与BC所成的角EGF中，EF，由余弦定理可得 31+12cosEGF，cosEGF，EGF120，故AD与BC所成的角为60，故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，找出两异面直线所成的角，是解题的关键14（5分）如图，PA
17、平面ABC，ABBC，PAABBC2，则二面角PBCA的大小为45【分析】推导出BCPA，BC平面PAB，BCPB，从而ABP是二面角PBCA的平面角，由此能求出二面角PBCA的大小【解答】解：PA平面ABC，ABBC，PAABBC2，BCPA，PAABA，BC平面PAB，BCPB，ABP是二面角PBCA的平面角，PAAB，PAAB，ABP45二面角PBCA的大小为45故答案为：45【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15（5分）已知实数x，y满足5x+12y60，则的最小值等于【分析】易得的最小值即P点到原点距离，由
18、由点到直线的距离公式可得答案【解答】解：实数x，y满足5x+12y60，点P（x，y）在直线l：5x+12y600上运动，而的最小值即P点到原点距离，由点到直线的距离公式可得原点到直线5x+12y600的距离d，故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式，属基础题16（5分）若过点P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为（2，1）【分析】由直线的倾斜角为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围【解答】解：过点P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，直线的斜率小于0，即 0，即 0，解得2a1，故答案为 （2，1）【点评】本
19、题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系三解答题：（本大题共6小题，共70分）17（10分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点（1）求证：EF平面AA1B1B；（2）若AA13，AB2，求EF与平面ABC所成的角【分析】（1）取AB中点D，连结A1D、DF，推导出四边形DFEA1是平行四边形，从而A1DEF，由此能证明EF平面AA1B1B（2）取AC中点H，连结HF，则EFH为EF与面ABC所成角，由此能求出EF与平面ABC所成的角【解答】证明：（1）取AB中点D，连结A1D、DF，在ABC中，D、F为中点，DF，又A1C1AC，且A1EA1C1，
20、DFA1E，四边形DFEA1是平行四边形，A1DEF，A1D平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，EF平面AA1B1B解：（2）取AC中点H，连结HF，EHAA1，AA1面ABC，EH面ABC，EFH为EF与面ABC所成角，在RtEHF中，FH，EHAA13，tanHFEtan60，HFE60，EF与平面ABC所成的角为60【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题18（12分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（4，0），B（0，6），C（1，2）（1
21、）求：过A，B的中点且与直线x+y20平行的直线方程；（2）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为l，求l与两坐标轴围成的三角形的面积【分析】（1）利用中点坐标公式可得A，B的中点坐标M，再利用点斜式即可得出（2）由，可得与AB所在直线垂直的直线的斜率为，利用点斜式可得满足条件的直线l的方程，化为截距式即可得出【解答】解：（1）因为A（4，0），B（0，6）所以A，B的中点坐标为M（2，3），而直线x+y20的斜率k11，所以满足条件的直线方程为y3（x+2）即x+y10为所求（2）因为，所以与AB所在直线垂直的直线的斜率为，所以满足条件的直线l的方程为，即2x+3y80，化为截距式：1l与两坐
22、标轴围成的三角形的面积【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19（12分）已知方程（m22m3）x+（2m2+m1）y+62m0（mR）（1）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（2）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值；（3）若方程表示的直线l的倾斜角是45，求实数m的值【分析】（1）由2m2+m10，再结合（1）可求得m的值，从而可求得这时的直线方程；（2）利用，可求得m的值；（3）依题意，可求得直线l的斜率，从而可求得实数m的值【解答】解：（1）斜率不存在，即2m2+m1
23、0，解得；（2）依题意，有，解得；（3）依题意有，解得【点评】本题考查直线的方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE【分析】（1）根据三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得到CC1平面ABC，从而ADCC1，结合已知条件ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD平面BCC1B1，从而平面ADE平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形A1B1C1中，A1FB1C
24、1，再用类似（1）的方法，证出A1F平面BCC1B1，结合AD平面BCC1B1，得到A1FAD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F平面ADE【解答】解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1A1C1，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FA
25、DA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题21（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD8，AD4，AB2DC4（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ADBD，根据面面垂直的性质得出BD平面PAD，故而平面BDM平面PAD；（2）过P作POAD，则PO平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可【解答
26、】（1）证明：在ABD中，AD4，AB4，BD8，AD2+BD2AB2，ADBD又面PAD面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD面PAD，又BD面BDM，面MBD面PAD（2）解：过P作POAD，面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，PO平面PAD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2过D作DNAB，则DNS梯形ABCD（2+4）24，VPABCD16【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题22（12分）已知直线m：（a1）x+（2a+3）ya+60，n：x2y+30（1）当a0时，
27、直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系【分析】（1）a0时，直线m的方程化为：x+3y+60，联立，解m与n的交点当直线l过原点时，可得直线l的斜率与方程；当直线l不过原点时，设l的方程为，将（21，9）代入得b，可得满足条件的直线l方程（2）设原点O到直线m的距离为d，可得，解得a，利用相互平行或垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：（1）a0时，直线m的方程化为：x+3y+60，联立，解得，即m与n的交点为（21，9）当直线l过原点时，直线l的方程为3x7y0；当直线l不过原点时，设l的方程为，将（21，9）代入得b12，所以直线l的方程为xy+120，故满足条件的直线l方程为3x7y0或xy+120（2）设原点O到直线m的距离为d，则，解得：或，当时，直线m的方程为x2y50，此时mn；当时，直线m的方程为2x+y50，此时mn【点评】本题考查了直线的截距式、直线的交点、相互平行或垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题